Полное метрическое пространство

В математическом анализе метрическое пространство $М$ называется полным (или пространством Коши если каждая последовательность точек Коши в $М$ имеет предел , который также находится в $М.$ ) ,

Интуитивно пространство является полным, если в нем нет «недостающих точек» (внутри или на границе). Например, набор рациональных чисел не является полным, потому что, например, ${\sqrt {2}}$ «отсутствует» в нем, хотя можно построить сходящуюся к нему последовательность Коши рациональных чисел (см. дополнительные примеры ниже). Всегда можно «заполнить все дыры», что приведет к заполнению заданного пространства, как описано ниже.

Определение

Последовательность Коши

Последовательность $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$ в метрическом пространстве $(X,d)$ называется Коши, если для любого положительного действительного числа $r>0$ есть целое положительное число $N$ такая, что для всех натуральных чисел $m,n>N,$ $d(x_{m},x_{n})<r.$

Полное пространство

Метрическое пространство $(X,d)$ является полным, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

Любая последовательность Коши точек в $X$ имеет предел, который также находится в $X.$
Любая последовательность Коши в $X$ сходится в $X$ (то есть до определенного момента $X$ ).
Любая убывающая последовательность непустых замкнутых подмножеств $X,$ с диаметрами, стремящимися к 0, имеет непустое пересечение : если $F_{n}$ закрыт и непуст, $F_{n+1}\subseteq F_{n}$ для каждого $n,$ и $\operatorname {diam} \left(F_{n}\right)\to 0,$ тогда есть уникальная точка $x\in X$ общий для всех наборов $F_{n}.$

Примеры

Пространство Q рациональных чисел со стандартной метрикой , определяемой абсолютным значением разности . , не является полным Рассмотрим, например, последовательность, определенную формулой $x_{1}=1$ и $x_{n+1}={\frac {x_{n}}{2}}+{\frac {1}{x_{n}}}.$ Это последовательность рациональных чисел Коши, но она не сходится ни к какому рациональному пределу: если бы последовательность действительно имела предел $x,$ затем, решив $x={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{x}}$ обязательно $x^{2}=2,$ однако ни одно рациональное число не обладает этим свойством. Однако, если рассматривать его как последовательность действительных чисел , он сходится к иррациональному числу. ${\sqrt {2}}$ .

( Открытый интервал $0,1)$ , опять же с метрикой абсолютной разности, также не является полным. Последовательность, определяемая $x_{n}={\tfrac {1}{n}}$ является Коши, но не имеет предела в данном пространстве. Однако замкнутый интервал $[0,1]$ полон; например, данная последовательность имеет предел в этом интервале, а именно ноль.

Пространство R действительных чисел и пространство C комплексных чисел (с метрикой, заданной абсолютной разностью) полны, как и евклидово пространство R. ^н, с обычной метрикой расстояния . Напротив, бесконечномерные нормированные векторные пространства могут быть или не быть полными; те, которые являются полными, являются банаховыми пространствами . Пространство C $[a, b]$ непрерывных вещественных функций на замкнутом и ограниченном интервале является банаховым пространством и, следовательно, полным метрическим пространством относительно нормы супремума . Однако верхняя норма не дает нормы в пространстве C $(a, b)$ непрерывных функций на $(a, b)$ , поскольку оно может содержать неограниченные функции . Вместо этого, с топологией компактной сходимости , C $(a, b)$ может быть задана структура пространства Фреше : локально выпуклое топологическое векторное пространство, топология которого может быть индуцирована полной трансляционно-инвариантной метрикой.

Пространство Q _p -адических p чисел полно для любого простого числа $p.$ Это пространство дополняет Q -адической метрикой p точно так же, как R дополняет Q обычной метрикой.

Если $S$ — произвольное множество, то множество $S Н$ всех последовательностей в $S$ становится полным метрическим пространством, если мы определим расстояние между последовательностями $\left(x_{n}\right)$ и $\left(y_{n}\right)$ быть ${\tfrac {1}{N}}$ где $N$ — наименьший индекс, для которого $x_{N}$ отличается от $y_{N}$ или $0$ если такого индекса нет. Это пространство гомеоморфно произведению . счетного дискретного числа копий пространства $S.$

римановы многообразия Полные называются геодезическими ; полнота следует из теоремы Хопфа–Ринова .

Некоторые теоремы

Каждое компактное метрическое пространство полно, хотя полные пространства не обязательно должны быть компактными. Фактически, метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено . Это обобщение теоремы Гейне–Бореля , которая утверждает, что любое замкнутое и ограниченное подпространство $S$ Р $ н$ компактен и, следовательно, полон. ^[1]

Позволять $(X,d)$ быть полным метрическим пространством. Если $A\subseteq X$ является замкнутым множеством, то $A$ также является полным. Позволять $(X,d)$ быть метрическим пространством. Если $A\subseteq X$ является полным подпространством, то $A$ также закрыт.

Если $X$ представляет собой набор и $M$ — полное метрическое пространство, то множество $B(X,M)$ всех ограниченных функций $f$ из $X$ в $M$ является полным метрическим пространством. Здесь мы определяем расстояние в $B(X,M)$ с точки зрения расстояния в $M$ с высшей нормой $d(f,g)\equiv \sup\{d[f(x),g(x)]:x\in X\}$

Если $X$ является топологическим пространством и $M$ — полное метрическое пространство, то множество $C_{b}(X,M)$ состоящий из всех непрерывных ограниченных функций $f:X\to M$ является замкнутым подпространством $B(X,M)$ и, следовательно, также полный.

Теорема Бэра о категориях утверждает, что каждое полное метрическое пространство является пространством Бэра . То есть объединение счетного числа нигде не плотных подмножеств пространства имеет пустую внутреннюю часть .

Теорема Банаха о неподвижной точке утверждает, что сжимающее отображение в полном метрическом пространстве допускает неподвижную точку . Теорема о неподвижной точке часто используется для доказательства теоремы об обратной функции в полных метрических пространствах, таких как банаховы пространства.

Теорема ^[2] (Ч. Урсеску) — Пусть $X$ — полное метрическое пространство и пусть $S_{1},S_{2},\ldots$ быть последовательностью подмножеств $X.$

Если каждый $S_{i}$ закрыт в $X$ затем ${\textstyle \operatorname {cl} \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {int} S_{i}\right)=\operatorname {cl} \operatorname {int} \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right).}$
Если каждый $S_{i}$ открыт в $X$ затем ${\textstyle \operatorname {int} \left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {cl} S_{i}\right)=\operatorname {int} \operatorname {cl} \left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right).}$

Завершение

Для любого метрического пространства M можно построить полное метрическое пространство M′ (которое также обозначается как ${\overline {M}}$ ), которое содержит M как плотное подпространство . Оно обладает следующим универсальным свойством : если N — любое полное метрическое пространство и f — любая равномерно непрерывная функция от M до N , то существует единственная равномерно непрерывная функция f′ от M’ до N , которая расширяет f . пространство М' определяется с точностью до изометрии Этим свойством изометрически содержащих М ), и называется пополнением М. среди всех полных метрических пространств , (

Пополнение M можно построить как набор классов эквивалентности последовательностей Коши в M . Для любых двух последовательностей Коши $x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)$ и $y_{\bullet }=\left(y_{n}\right)$ в M мы можем определить их расстояние как $d\left(x_{\bullet },y_{\bullet }\right)=\lim _{n}d\left(x_{n},y_{n}\right)$

(Этот предел существует, поскольку действительные числа полны.) Это всего лишь псевдометрика , но еще не метрика, поскольку две разные последовательности Коши могут иметь расстояние 0. Но «расстояние 0» — это отношение эквивалентности на множестве всех последовательностей Коши. последовательностей, а множество классов эквивалентности является метрическим пространством, пополнением M . Исходное пространство вкладывается в это пространство посредством отождествления элемента x из M' с классом эквивалентности последовательностей из M, сходящихся к x (т. е. классом эквивалентности, содержащим последовательность с постоянным значением x ). Это определяет изометрию плотного подпространства, как и требуется. Обратите внимание, однако, что эта конструкция явно использует полноту действительных чисел, поэтому пополнение рациональных чисел требует несколько иного подхода.

Конструкция Кантора действительных чисел аналогична приведенной выше конструкции; действительные числа представляют собой пополнение рациональных чисел с использованием обычного абсолютного значения для измерения расстояний. Дополнительная тонкость, с которой приходится иметь дело, заключается в том, что логически недопустимо использовать полноту действительных чисел в их собственной конструкции. Тем не менее, классы эквивалентности последовательностей Коши определяются, как указано выше, и легко показать, что множество классов эквивалентности представляет собой поле которого являются рациональные числа , подполем . Это поле полно, допускает естественный тотальный порядок и является единственным вполне упорядоченным полным полем (с точностью до изоморфизма ). Оно определяется как поле действительных чисел ( см. также Построение действительных чисел более подробно ). Один из способов визуализировать это отождествление с действительными числами, как это обычно рассматривается, состоит в том, что класс эквивалентности, состоящий из тех последовательностей Коши рациональных чисел, которые «должны» иметь данный действительный предел, отождествляется с этим действительным числом. Сокращения десятичное разложение дает только один выбор последовательности Коши в соответствующем классе эквивалентности.

Для простого $p,$ p $возникают путем$ -адические числа дополнения рациональных чисел относительно другой метрики.

Если предыдущая процедура завершения применяется к нормированному векторному пространству, результатом является банахово пространство, содержащее исходное пространство в качестве плотного подпространства, а если она применяется к пространству внутреннего произведения , результатом является гильбертово пространство, содержащее исходное пространство как плотное подпространство.

Топологически полные пространства

Полнота — это свойство метрики , а не топологии , а это означает, что полное метрическое пространство может быть гомеоморфно неполному. Примером могут служить действительные числа, которые полны, но гомеоморфны открытому интервалу $(0,1)$ , который не является полным.

В топологии рассматриваются вполне метризуемые пространства — пространства, для которых существует хотя бы одна полная метрика, индуцирующая данную топологию. Полностью метризуемые пространства можно охарактеризовать как пространства, которые можно записать как пересечение счетного числа открытых подмножеств некоторого полного метрического пространства. Поскольку вывод теоремы Бэра о категориях является чисто топологическим, он применим и к этим пространствам.

Вполне метризуемые пространства часто называют топологически полными . Однако последний термин несколько условен, поскольку метрика не является самой общей структурой топологического пространства, для которой можно говорить о полноте (см. раздел Альтернативы и обобщения ). Действительно, некоторые авторы используют термин «топологически полный» для более широкого класса топологических пространств — полностью униформизируемых пространств . ^[3]

Топологическое пространство, гомеоморфное сепарабельному полному метрическому пространству, называется польским пространством .

Альтернативы и обобщения

Поскольку последовательности Коши также могут быть определены в общих топологических группах , альтернативой использованию метрической структуры для определения полноты и построения пополнения пространства является использование групповой структуры. Чаще всего это наблюдается в контексте топологических векторных пространств , но требует только наличия непрерывной операции «вычитания». В этой настройке расстояние между двумя точками $x$ и $y$ измеряется не действительным числом $\varepsilon$ через метрику $d$ в сравнении $d(x,y)<\varepsilon ,$ но по открытому соседству $N$ из $0$ путем вычитания при сравнении $x-y\in N.$

Общее обобщение этих определений можно найти в контексте однородного пространства , где антураж представляет собой набор всех пар точек, находящихся не более чем на определенном «расстоянии» друг от друга.

Также возможна замена последовательности Коши при определении полноты сетями Коши Коши или фильтрами . Если каждая сеть Коши (или, что то же самое, каждый фильтр Коши) имеет предел в $X,$ затем $X$ называется полным. Кроме того, можно построить пополнение для произвольного равномерного пространства, аналогичное пополнению метрических пространств. Наиболее общая ситуация, в которой применяются сети Коши, — это пространства Коши ; они тоже имеют понятие полноты и завершенности, как и однородные пространства.

См. также

Пространство Коши - Концепция общей топологии и анализа
Завершение (алгебра) - в алгебре любой из нескольких связанных функторов на кольцах и модулях, которые приводят к созданию полных топологических колец и модулей.
Полное однородное пространство — топологическое пространство с понятием однородных свойств.
Полное топологическое векторное пространство - TVS, в котором точки, которые постепенно приближаются друг к другу, всегда сходятся к одной точке.
Вариационный принцип Экланда - теорема, утверждающая, что существуют почти оптимальные решения некоторых проблем оптимизации.
Теорема Кнастера – Тарского - Теорема о порядке и теории решеток

Примечания

^ Сазерленд, Уилсон А. (1975). Введение в метрические и топологические пространства . ISBN 978-0-19-853161-6 .
^ Залинеску, К. (2002). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . Ривер Эдж, Нью-Джерси, Лондон: World Scientific. п. 33. ISBN 981-238-067-1 . ОСЛК 285163112 .
^ Келли, Задача 6.L, с. 208

Ссылки

Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Спрингер. ISBN 0-387-90125-6 .
Крейциг, Эрвин , Вводный функциональный анализ с приложениями (Wiley, Нью-Йорк, 1978). ISBN 0-471-03729-X
Ланг, Серж , «Реальный и функциональный анализ». ISBN 0-387-94001-4
Мейзе, Рейнхольд; Фогт, Дитмар (1997). Введение в функциональный анализ . Рамануджан, М.С. (пер.). Оксфорд: Кларендон Пресс; Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-851485-9 .

[1] Сазерленд, Уилсон А. (1975). Введение в метрические и топологические пространства . ISBN 978-0-19-853161-6 .

[Zalinescu_2002_p._33-2] Залинеску, К. (2002). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . Ривер Эдж, Нью-Джерси, Лондон: World Scientific. п. 33. ISBN 981-238-067-1 . ОСЛК 285163112 .

[3] Келли, Задача 6.L, с. 208

[1]

[2]

[3]