Обычное пространство

Аксиомы разделения в топологических пространствах
Колмогорова Классификация
Т 0	(Kolmogorov)
Т 1	(Фреше)
Т 2	(Хаусдорф)
T 2 ½	(Урысон)
полностью Т 2	(полностью Хаусдорф)
TТ3	(обычный Хаусдорф)
T 3½	(Тихонов)
Т 4	(обычно Хаусдорф)
TТ5	(совершенно нормально Хаусдорф)
TТ6	(совершенно нормально Хаусдорф)
История

В топологии и смежных областях математики топологическое пространство X называется регулярным пространством , если каждое замкнутое подмножество C X имеют и точка p, не содержащаяся в C, непересекающиеся открытые окрестности . Таким образом, p и C могут быть разделены окрестностями. Это условие известно как Аксиома Т ₃ . Термин « Т3 _{» обычно} пространство означает «регулярное хаусдорфово пространство ». Эти условия являются примерами аксиом разделения .

Определения

Точка x , представленная точкой слева на рисунке, и замкнутое множество F , представленное замкнутым диском справа, разделены своими окрестностями U и V , представленными более крупными открытыми дисками . У точки x достаточно места для перемещения по открытому диску U , а у закрытого диска F достаточно места для перемещения по открытому диску V , но U и V не касаются друг друга.

Топологическое пространство X является регулярным пространством , если для любого замкнутого множества F и любой точки x , не принадлежащей F , существуют окрестность U x , и окрестность V точки F которые не пересекаются . Короче говоря, должна быть возможность разделить x и F непересекающимися окрестностями.

А Т ₃ пробел или регулярное хаусдорфово пространство — топологическое пространство, которое одновременно является регулярным и хаусдорфовым пространством . (Хаусдорфово пространство или пространство T ₂ — это топологическое пространство, в котором любые две различные точки разделены окрестностями.) Оказывается, пространство является T ₃ тогда и только тогда, когда оно одновременно регулярно и T ₀ . (AT ₀ или пространство Колмогорова — это топологическое пространство, в котором любые две различные точки топологически различимы , т. е. для каждой пары различных точек по крайней мере одна из них имеет открытую окрестность, не содержащую другую.) Действительно, если пространство Хаусдорф, то это T ₀ , и каждое регулярное пространство T ₀ является хаусдорфовым: учитывая две различные точки, по крайней мере одна из них не попадает в замыкание другой, поэтому (по регулярности) существуют непересекающиеся окрестности, отделяющие одну точку от (замыкания о) другой.

Хотя представленные здесь определения «обычного» и «Т ₃ » не являются редкостью, в литературе существуют значительные различия: некоторые авторы меняют определения «обычного» и «Т ₃ », как они используются здесь, или используют оба термина. взаимозаменяемо. В этой статье свободно используется термин «регулярный», но обычно вместо менее точного «T ₃ » используется однозначное слово «регулярный Хаусдорф». Подробнее об этом вопросе см. в разделе « История аксиом разделения» .

А локально регулярное пространство — это топологическое пространство, в котором каждая точка имеет открытую регулярную окрестность. Всякое регулярное пространство локально регулярно, но обратное неверно. Классическим примером локально регулярного пространства, которое не является регулярным, является линия с жучьими глазами .

Отношения с другими аксиомами разделения

Регулярное пространство обязательно также предрегулярно , т. е. любые две топологически различимые точки могут быть разделены окрестностями.Поскольку хаусдорфово пространство — это то же самое, что и предрегулярное T ₀ пространство , регулярное пространство, которое также является T _0, должно быть хаусдорфовым (и, следовательно, T ₃ ).Фактически, регулярное Хаусдорфово пространство удовлетворяет несколько более сильному условию T _2½ .(Однако такое пространство не обязательно должно быть полностью хаусдорфовым .)Таким образом, в определении Т ₃ могут упоминаться Т ₀ , Т ₁ или Т _2½ вместо Т ₂ (хаусдорфовость) ; все они эквивалентны в контексте регулярных пространств.

Говоря более теоретически, условия регулярности и Т ₃ -ности связаны факторами Колмогорова .Пространство регулярно тогда и только тогда, когда его фактор Колмогорова равен T ₃ ; и, как уже упоминалось, пространство является T ₃ тогда и только тогда, когда оно одновременно регулярное и T ₀ .Таким образом, обычное пространство, встречающееся на практике, обычно можно принять за T ₃ , заменив это пространство его фактором Колмогорова.

Существует множество результатов для топологических пространств, которые верны как для регулярных, так и для хаусдорфовых пространств.В большинстве случаев эти результаты справедливы для всех предрегулярных пространств; они были перечислены отдельно для регулярных и хаусдорфовых пространств, поскольку идея предрегулярных пространств возникла позже.С другой стороны, те результаты, которые действительно касаются регулярности, обычно не применимы и к нерегулярным хаусдорфовым пространствам.

Есть много ситуаций, когда другое условие топологических пространств (например, нормальность , псевдонормальность , паракомпактность или локальная компактность ) будет подразумевать регулярность, если выполняется какая-то более слабая аксиома разделения, такая как предрегулярность. Такие условия часто бывают двух версий: обычная версия и версия Хаусдорфа.Хотя хаусдорфово пространство, как правило, не является регулярным, хаусдорфово пространство, которое также (скажем) локально компактно, будет регулярным, поскольку любое хаусдорфово пространство предрегулярно.Таким образом, с определенной точки зрения, регулярность здесь не является проблемой, и вместо этого мы могли бы наложить более слабое условие, чтобы получить тот же результат.Однако определения обычно все же формулируются с точки зрения регулярности, поскольку это условие более известно, чем любое более слабое.

Большинство топологических пространств, изучаемых в математическом анализе, являются регулярными; на самом деле они обычно совершенно регулярны , что является более сильным условием.Обычные пробелы также следует противопоставлять обычным пробелам .

Примеры и непримеры

Нульмерное пространство относительно малой индуктивной размерности имеет базу, состоящую из открытозамкнутых множеств .Каждое такое пространство регулярно.

Как описано выше, любое вполне регулярное пространство является регулярным, и любое пространство T ₀ , которое не является хаусдорфовым (и, следовательно, не предрегулярным), не может быть регулярным.Большинство примеров регулярных и нерегулярных пространств, изучаемых в математике, можно найти в этих двух статьях.С другой стороны, пространства, которые являются регулярными, но не вполне регулярными или предрегулярными, но не регулярными, обычно строятся только для того, чтобы предоставить контрпримеры к гипотезам, показывая границы возможных теорем .Конечно, можно легко найти регулярные пространства, которые не являются T ₀ и, следовательно, не являются хаусдорфовыми, например, недискретное пространство , но эти примеры дают больше понимания T _0, аксиомы чем регулярности. Примером правильного пространства, которое не является полностью правильным, является тихоновский штопор .

Наиболее интересные пространства в математике, которые являются регулярными, также удовлетворяют некоторым более сильным условиям.Таким образом, регулярные пространства обычно изучаются, чтобы найти свойства и теоремы, подобные приведенным ниже, которые фактически применяются к полностью регулярным пространствам, обычно в анализе.

Существуют пространства Хаусдорфа, которые не являются регулярными. Примером может служить K-топология на множестве $\mathbb {R}$ действительных чисел. В более общем смысле, если $C$ является фиксированным незамкнутым подмножеством $\mathbb {R}$ с пустой внутренностью относительно обычной евклидовой топологии, можно построить более тонкую топологию на $\mathbb {R}$ взяв за основу коллекцию всех наборов $U$ и $U\setminus C$ для $U$ открытый в обычной топологии. Эта топология будет хаусдорфовой, но не регулярной.

Элементарные свойства

Предположим, что X — регулярное пространство.Тогда для любой точки x и окрестности G точки x существует замкнутая окрестность точки x , которая является подмножеством G E .Проще говоря, замкнутые окрестности точки x образуют локальную базу в точке x .Фактически это свойство характеризует регулярные пространства; если замкнутые окрестности каждой точки топологического пространства образуют в этой точке локальную базу, то пространство должно быть регулярным.

Взяв внутренности этих замкнутых окрестностей, мы видим, что регулярные открытые множества образуют основу для открытых множеств регулярного пространства X .Это свойство на самом деле слабее регулярности; Топологическое пространство, регулярные открытые множества которого образуют базу, является полурегулярным .