K-топология

В математике , особенно в области топологии , К-топология , ^[1] также называемая топологией удаленной последовательности Смирнова , ^[2] — это топология на множестве действительных чисел R , обладающая некоторыми интересными свойствами. Относительно стандартной топологии на R множество $K=\{1/n:n=1,2,\dots \}$ не является замкнутым , поскольку не содержит своей предельной точки 0. Однако относительно K-топологии множество K объявляется замкнутым путем добавления дополнительных открытых множеств к стандартной топологии на R . Таким образом, K-топология на R строго тоньше стандартной топологии на R . Чаще всего это полезно для контрпримеров в базовой топологии. , он представляет собой пример хаусдорфова пространства нерегулярного В частности .

Формальное определение

Пусть R — множество действительных чисел и пусть $K=\{1/n:n=1,2,\dots \}.$ K -топология на R — это топология, полученная путем взятия за основу совокупности всех открытых интервалов $(a,b)$ вместе со всеми наборами формы $(a,b)\setminus K.$ ^[1]Окрестности точки $x\neq 0$ такие же, как и в обычной евклидовой топологии. Районы г. $0$ имеют форму $U\setminus K$ , где $U$ это район $0$ в обычной топологии. ^[3]

Характеристики

В этом разделе T будет обозначать K-топологию, а ( R , T ) будет обозначать множество всех действительных чисел с K-топологией как топологическое пространство .

1. K-топология строго тоньше стандартной топологии на R . Следовательно, оно хаусдорфово , но не компактно .

2. K-топология не является регулярной , поскольку K — замкнутое множество, не содержащее $0$ , но набор $K$ и точка $0$ не имеют непересекающихся окрестностей. И как дальнейшее следствие, факторпространство K-топологии, полученной схлопыванием K в точку, не является Хаусдорфовым. Это показывает, что фактор хаусдорфова пространства не обязательно должен быть хаусдорфовым.

3. K-топология связна . Однако это не связано с путем ; он имеет ровно два компонента пути : $(-\infty ,0]$ и $(0,+\infty ).$

4. K-топология не является локально связной в точке. $0$ и не подключен локально в $0$ . Но он локально связан по пути и локально связан повсюду.

5. Замкнутый интервал [0,1] не является компактным как подпространство в ( R , T ), поскольку он не является компактным даже в предельной точке ( K — бесконечное замкнутое дискретное подпространство в ( R , T ), следовательно, не имеет предельной точки. в [0,1]). В более общем смысле, никакое подпространство A в ( R , T ), содержащее K, не является компактным.

См. также

Список топологий

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б Мункрес 2000 , с. 82.
^ Стин и Зеебах 1995 , Контрпример 64.
^ Уиллард 2004 , Пример 14.2.

Ссылки

Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9 . OCLC 42683260 .
Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур младший (1995) [1978]. Контрпримеры в топологии ( Дувра переиздание , изд. 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3 . МР 0507446 .
Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7 . ОСЛК 115240 .

[FOOTNOTEMunkres200082-1] Jump up to: ^а ^б Мункрес 2000 , с. 82.

[FOOTNOTESteenSeebach1995Counterexample_64-2] Стин и Зеебах 1995 , Контрпример 64.

[FOOTNOTEWillard2004Example_14.2-3] Уиллард 2004 , Пример 14.2.

[1]

[2]

[3]