Звездная доработка

В математике , особенно при изучении топологии и открытых покрытий топологического пространства X , звездное уточнение это особый вид уточнения открытого покрытия X. — Родственной концепцией является понятие барицентрического уточнения .

Звездные уточнения используются в определении полностью нормального пространства и в одном определении однородного пространства . Это также полезно для определения характеристики паракомпактности .

Определения

Общее определение имеет смысл для произвольных покрытий и не требует топологии. Позволять $X$ быть набором и пусть ${\mathcal {U}}$ быть прикрытием ​ $X,$ то есть, ${\textstyle X=\bigcup {\mathcal {U}}.}$ Учитывая подмножество $S$ из $X,$ звезда ​ ​ $S$ относительно ${\mathcal {U}}$ это объединение всех множеств $U\in {\mathcal {U}}$ которые пересекаются $S,$ то есть,

$$\operatorname {st} (S,{\mathcal {U}})=\bigcup {\big \{}U\in {\mathcal {U}}:S\cap U\neq \varnothing {\big \}}.$$

Учитывая точку $x\in X,$ мы пишем $\operatorname {st} (x,{\mathcal {U}})$ вместо $\operatorname {st} (\{x\},{\mathcal {U}}).$

Покрытие ${\mathcal {U}}$ из $X$ является уточнением покрытия ${\mathcal {V}}$ из $X$ если каждый $U\in {\mathcal {U}}$ содержится в каком-то $V\in {\mathcal {V}}.$ Ниже приведены два особых вида уточнения. Покрытие ${\mathcal {U}}$ называется уточнением барицентрическим ${\mathcal {V}}$ если для каждого $x\in X$ звезда $\operatorname {st} (x,{\mathcal {U}})$ содержится в каком-то $V\in {\mathcal {V}}.$ Покрытие ${\mathcal {U}}$ называется уточнением звездным ${\mathcal {V}}$ если для каждого $U\in {\mathcal {U}}$ звезда $\operatorname {st} (U,{\mathcal {U}})$ содержится в каком-то $V\in {\mathcal {V}}.$

Свойства и примеры

Каждое звездное уточнение покрытия является барицентрическим уточнением этого покрытия. Обратное неверно, но барицентрическое уточнение барицентрического уточнения является звездным уточнением.

Учитывая метрическое пространство $X,$ позволять ${\mathcal {V}}=\{B_{\epsilon }(x):x\in X\}$ быть сборкой всех открытых шаров $B_{\epsilon }(x)$ фиксированного радиуса $\epsilon >0.$ Коллекция ${\mathcal {U}}=\{B_{\epsilon /2}(x):x\in X\}$ представляет собой барицентрическое уточнение ${\mathcal {V}},$ и коллекция ${\mathcal {W}}=\{B_{\epsilon /3}(x):x\in X\}$ это звездная доработка ${\mathcal {V}}.$

См. также

• Семейство наборов – любая коллекция наборов или подмножеств набора.

Ссылки

• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN  978-0-697-06889-7 . OCLC   395340485 .
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN  978-0-486-43479-7 . OCLC   115240 .