Разрушение коллектора

Чтобы узнать о концепции гомотопии, см. Коллапс (топология) .

В римановой геометрии сжимающееся , или сжатое многообразие — это n- мерное многообразие M , которое допускает последовательность римановых метрик g _i , такую, что при стремлении i к бесконечности многообразие близко к k -мерному пространству, где k < n в смысл расстояния Громова –Хаусдорфа . Обычно существуют некоторые ограничения на кривизну сечения ( M , g _i ). Самый простой пример — плоское многообразие , метрику которого можно масштабировать на 1/ i , так что многообразие оказывается близко к точке, но его кривизна остаётся равной 0 для всех i .

Примеры

Вообще говоря, существует два типа разрушения:

(1) Первый тип — это коллапс при сохранении равномерно ограниченной кривизны, скажем $|\sec(M_{i})|\leq 1$.

Позволять $M_{i}$ быть последовательностью $n$ размерные римановы многообразия, где $\sec(M_{i})$ обозначает секционную кривизну i -го многообразия. Существует теорема, доказанная Джеффом Чигером , Кенджи Фукая и Михаилом Громовым , которая утверждает, что: Существует константа $\varepsilon (n)$ такое, что если $|\sec(M_{i})|\leq 1$ и ${\rm {Inj}}(M_{i})<\varepsilon (n)$, затем $M_{i}$ допускает N -структуру , причем ${\rm {Inj}}(M)$ обозначающий радиус инъективности многообразия M . Грубо говоря, N -структура — это локальное действие нильмногообразия , которое является обобщением F-структуры , введенной Чигером и Громовым. Эта теорема обобщает предыдущие теоремы Чигера-Громова и Фукая, где они касаются только случаев действия тора и случаев ограниченного диаметра соответственно.

(2) Второй тип — это схлопывание при сохранении только нижней границы кривизны, скажем $\sec(M_{i})\geq -1$.

Это тесно связано с так называемым случаем многообразий почти неотрицательной кривизны , который обобщает многообразия неотрицательной кривизны, а также многообразия почти плоских многообразий. Многообразие называется почти неотрицательно искривленным, если оно допускает последовательность метрик $g_{i}$, такой, что $\sec(M,g_{i})\geq -1/n$ и ${\rm {diam}}(M,g_{i})\leq 1/n$. Роль, которую играет многообразие почти неотрицательной кривизны в этом коллапсирующем случае, когда кривизна ограничена снизу, такая же, как играет почти плоское многообразие в случае ограниченной кривизны.

Когда кривизна ограничена только снизу, предельное пространство, называемое $X$ является пространством Александрова . Ямагучи доказал, что на регулярной части предельного пространства существует локально тривиальная форма расслоения $M_{i}^{n}$ к $X$ когда $i$ достаточно велико, слой представляет собой многообразие почти неотрицательной кривизны. Здесь регулярное означает $(\delta ,n)$-радиус фильтра равномерно ограничен снизу положительным числом или, грубо говоря, пространством, локально замкнутым к евклидову пространству.

Что происходит в особой точке $X$? Ответа на этот вопрос в целом нет. Но в размерности 3 Сиоя и Ямагучи дают полную классификацию этого типа схлопавшегося многообразия. Они доказали, что существует $\varepsilon (n)$ и $\delta (n)$ такая, что если трехмерное многообразие $M$ удовлетворяет ${\rm {Vol}}(M)<\varepsilon (n)$ тогда верно одно из следующих условий: (i) M является граф-многообразием или (ii) $M$ имеет диаметр меньше $\delta (n)$ и имеет конечную фундаментальную группу.

Ссылки

• Чигер, Джефф ; Громов, Михаил (1986). «Схлопывание римановых многообразий с сохранением их кривизны ограниченной. I» . Журнал дифференциальной геометрии . 23 (3): 309–346. дои : 10.4310/jdg/1214440117 . МР   0852159 . Збл   0606.53028 .
• Чигер, Джефф ; Громов, Михаил (1990). «Схлопывание римановых многообразий при сохранении ограниченной кривизны. II» . Журнал дифференциальной геометрии . 32 (1): 269–298. дои : 10.4310/jdg/1214445047 . МР   1064875 . Збл   0727.53043 .
• Чигер, Джефф ; Фукая, Кенджи ; Громов, Михаил (1992). «Нильпотентные структуры и инвариантные метрики на коллапсирующих многообразиях» . Журнал Американского математического общества . 5 (2): 327–372. doi : 10.1090/S0894-0347-1992-1126118-X . МР   1126118 . Збл   0758.53022 .