Многогранное пространство

Полиэдральное пространство — это некоторое метрическое пространство . ( Евклидово ) многогранное пространство — это (обычно конечный) симплициальный комплекс , в котором каждый симплекс имеет плоскую метрику. (Другие пространства, представляющие интерес, — это сферические и гиперболические многогранные пространства, где каждый симплекс имеет метрику постоянной положительной или отрицательной кривизны). В дальнейшем все многогранные пространства считаются евклидовыми многогранными пространствами.

Примеры

Все одномерные многогранные пространства являются просто метрическими графами . Хорошим источником двумерных примеров являются триангуляции двумерных поверхностей. Поверхность выпуклого многогранника $R^{3}$ представляет собой двумерное многогранное пространство.

Любое PL-многообразие (которое по сути то же самое, что и симплициальное многообразие , только с некоторыми техническими предположениями для удобства) является примером многогранного пространства. На самом деле можно рассматривать псевдомногообразия , хотя разумнее ограничиться нормальными многообразиями.

Метрические особенности

При изучении многогранных пространств (особенно тех, которые являются также топологическими многообразиями ) метрические особенности играют центральную роль. Пусть многогранное пространство представляет собой n-мерное многообразие. Если точка в многогранном пространстве, которое является n-мерным топологическим многообразием, не имеет окрестности, изометричной евклидовой окрестности в R^n, эта точка называется метрической особенностью. Это особенность коразмерности k, если она имеет окрестность, изометричную R^{nk} с метрическим конусом . Особенно важны особенности коразмерности 2; они характеризуются одним числом - коническим углом.

Особенности можно изучать и топологически. Тогда, например, не существует топологических особенностей коразмерности 2. В трехмерном полиэдральном пространстве без края (грани, не склеенные с другими гранями) любая точка имеет окрестность, гомеоморфную либо открытому шару, либо конусу над проективным самолет . В первом случае точка обязательно является метрической особенностью коразмерности 3. Общая проблема топологической классификации особенностей в многогранных пространствах в значительной степени не решена (за исключением простых утверждений о том, что, например, любая особенность является локально конусом над сферическим многогранным пространством на одно измерение меньше, и мы можем изучать особенности там).

Кривизна

Интересно изучение кривизны многогранных пространств (кривизны в смысле пространств Александрова ), в частности многогранных пространств неотрицательной и неположительной кривизны. Неотрицательная кривизна особенностей коразмерности 2 подразумевает неотрицательную кривизну в целом. Однако это неверно для неположительной кривизны. Например, рассмотрим R^3 с удаленным одним октантом. Тогда на краях этого октанта (особенности коразмерности 2) кривизна неположительная (из-за ветвящихся геодезических), но не в начале координат (особенности коразмерности 3), где треугольник типа (0,0, e), (0,e,0), (e,0,0) имеет медиану длиннее, чем была бы в евклидовой плоскости, что характерно для неотрицательной кривизны.

Дополнительная структура

Могут быть применены многие концепции римановой геометрии . Существует только одно очевидное понятие параллельного транспорта и только одно естественное соединение . В этом случае концепция голономии поразительно проста. Ограниченная группа голономии тривиальна, поэтому существует гомоморфизм фундаментальной группы на группу голономии . Устранение всех особенностей может оказаться особенно удобным, чтобы получить пространство с плоской римановой метрикой и изучить в нем голономии. Одним из возникающих таким образом понятий являются полиэдральные кэлеровы многообразия, когда голономии содержатся в группе, сопряженной с унитарными матрицами . В этом случае голономии также сохраняют симплектическую форму вместе с комплексной структурой на этом многогранном пространстве (многообразии) с удаленными особенностями. Все понятия, такие как дифференциальная форма , дифференциальная форма L2 и т. д., корректируются соответствующим образом.

Другие темы

Другое направление исследований — разработки динамических биллиардов в многогранных пространствах, например неположительной кривизны (гиперболические биллиарды). Полиэдральные пространства положительной кривизны возникают также как связи точек (обычно метрических особенностей) в евклидовых многогранных пространствах.

История

В полной общности многогранные пространства были впервые определены Милкой.

Ссылки

• Бураго, Дмитрий; Юрий Бураго; Сергей Иванов (12 июня 2001 г.) [1984]. Курс метрической геометрии . Американское математическое общество (издатель). стр. 417 страниц. ISBN   0-8218-2129-6 (издание 2001 г.).

• Дмитрий Панов. «Полиэдральные многообразия Кэлера»