Слово метрика

В теории групп метрика словесная дискретной группы $G$ это способ измерения расстояния между любыми двумя элементами $G$. Как следует из названия, слово «метрика» метрику означает $G$, присваивая любым двум элементам $g$, $h$ из $G$ расстояние $d(g,h)$ который измеряет, насколько эффективно их разница $g^{-1}h$ может быть выражено как слово , буквы которого взяты из порождающего набора группы. Слово метрика на G очень тесно связано с графом Кэли группы G : слово метрика измеряет длину кратчайшего пути в графе Кэли между двумя элементами G .

установка Генераторная для $G$ необходимо сначала выбрать перед словом метрику на $G$ указано. Различные варианты генераторного набора обычно дают разные словесные метрики. Хотя на первый взгляд это кажется слабостью понятия «метрика слова», его можно использовать для доказательства теорем о геометрических свойствах групп, как это делается в геометрической теории групп .

Примеры

Группа целых чисел $\mathbb {Z}$

Группа целых чисел $\mathbb {Z}$ генерируется набором {-1,+1}. Целое число -3 может быть выражено как -1-1-1+1-1, слово длиной 5 в этих генераторах. Но слово, которое наиболее эффективно выражает -3, - это -1-1-1, слово длиной 3. Таким образом, расстояние между 0 и -3 в словесной метрике равно 3. В более общем смысле, расстояние между двумя целыми числами m и n в слове метрика равно | m - n |, поскольку самое короткое слово, представляющее разность m - n, имеет длину, равную | м - н |.

Группа $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$

Для более наглядного примера элементы группы $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ можно рассматривать как векторы в декартовой плоскости с целыми коэффициентами. Группа $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ генерируется стандартными единичными векторами $e_{1}=\langle 1,0\rangle$, $e_{2}=\langle 0,1\rangle$ и их обратные $-e_{1}=\langle -1,0\rangle$, $-e_{2}=\langle 0,-1\rangle$. График Кэли ​ $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ это так называемая геометрия такси . На плоскости его можно представить как бесконечную квадратную сетку городских улиц, где каждая горизонтальная и вертикальная линия с целочисленными координатами представляет собой улицу, а каждая точка $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ находится на пересечении горизонтальной и вертикальной улиц. Каждый горизонтальный отрезок между двумя вершинами представляет собой порождающий вектор. $e_{1}$ или $-e_{1}$, в зависимости от того, движется ли сегмент в прямом или обратном направлении, и каждый вертикальный сегмент представляет собой $e_{2}$ или $-e_{2}$. Автомобиль начиная с $\langle 1,2\rangle$ и путешествуя по улицам, чтобы $\langle -2,4\rangle$ может совершить путешествие по разным маршрутам. Но независимо от того, какой маршрут будет выбран, автомобиль должен проехать не менее |1 - (-2)| = 3 горизонтальных блока и не менее |2 - 4| = 2 вертикальных блока, для общего расстояния поездки не менее 3 + 2 = 5. Если автомобиль съезжает с дороги, поездка может быть длиннее, но минимальное расстояние, пройденное автомобилем, равно по значению словесной метрике между $\langle 1,2\rangle$ и $\langle -2,4\rangle$ следовательно, равен 5.

В общем, учитывая два элемента $v=\langle i,j\rangle$ и $w=\langle k,l\rangle$ из $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$, расстояние между $v$ и $w$ в слове метрика равна $|i-k|+|j-l|$.

Определение

Пусть G — группа, пусть S — порождающее множество для G и предположим, что замкнуто относительно обратной операции над G. S Слово — над множеством S это просто конечная последовательность $w=s_{1}\ldots s_{L}$ чьи записи $s_{1},\ldots ,s_{L}$ являются элементами S . Целое число L называется длиной слова $w$. Используя групповую операцию в G , записи слова $w=s_{1}\ldots s_{L}$ можно умножать по порядку, помня, что записи являются элементами G . Результатом этого умножения является элемент ${\bar {w}}$ в группе G , которая называется оценкой слова w . В частном случае пустое слово $w=\emptyset$ имеет нулевую длину, и его оценка является единичным элементом G .

Для данного элемента g из G его словесная норма | г | относительно порождающего набора S определяется как кратчайшая длина слова $w$ над S, оценка которого ${\bar {w}}$ равен г. ​Учитывая два элемента g , h в G , расстояние d(g,h) в словесной метрике относительно S определяется как $|g^{-1}h|$. Эквивалентно, d( g , h ) — это кратчайшая длина слова w над S такая, что $g{\bar {w}}=h$.

Слово метрика на G удовлетворяет аксиомам метрики , и это нетрудно доказать. Доказательство аксиомы симметрии d( g , h ) = d( h , g ) для метрики использует предположение, что порождающий набор S замкнут относительно обратного.

Вариации

Слово метрика имеет эквивалентное определение, сформулированное в более геометрических терминах с использованием графа Кэли группы G относительно порождающего набора S . Когда каждому ребру графа Кэли присвоена метрика длины 1, расстояние между двумя элементами группы g , h в G равно кратчайшей длине пути в графе Кэли от вершины g до вершины h .

Слово метрика на G также может быть определено без предположения, что порождающее множество S замкнуто относительно инверсии. Для этого сначала симметризуем S , заменив его большим порождающим набором, состоящим из каждого $s$ в S, а также его инверсию $s^{-1}$. Затем определите метрику слова относительно S как метрику слова относительно симметризации S .

Пример в свободной группе

В свободной группе на двухэлементном множестве { a , b } расстояние между a и b в словесной метрике равно 2.

Предположим, что F — свободная группа в двухэлементном множестве $\{a,b\}$. Слово w в симметричном порождающем наборе $\{a,b,a^{-1},b^{-1}\}$ называется сокращенным, если буквы $a,a^{-1}$ не встречаются рядом друг с другом в w , равно как и буквы $b,b^{-1}$. Каждый элемент $g\in F$ представлен уникальным сокращенным словом, и это сокращенное слово является самым коротким словом, представляющим g . Например, поскольку слово $w=b^{-1}a$ редуцируется и имеет длину 2, словесная норма $w$ равно 2, поэтому расстояние в слове норма между $b$ и $a$ равно 2. Это можно визуализировать с помощью графа Кэли, где кратчайший путь между b и a имеет длину 2.

Теоремы

Изометрия левого действия

Группа G действует сама на себя умножением слева: действие каждого $k\in G$ берет каждый $g\in G$ к $kg$. Это действие является изометрией слова метрика. Доказательство простое: расстояние между $kg$ и $kh$ равно $|(kg)^{-1}(kh)|=|g^{-1}h|$, что равно расстоянию между $g$ и $h$.

группы

В общем, словесная метрика в группе G не уникальна, поскольку разные симметричные порождающие наборы дают разные словесные метрики. Однако конечно порожденные словесные метрики уникальны с точностью до билипшицевой эквивалентности: если $S$, $T$ представляют собой два симметричных конечных порождающих множества для G с соответствующими словесными метриками $d_{S}$, $d_{T}$, то существует константа $K\geq 1$ такой, что для любого $g,h\in G$,

${\frac {1}{K}}\,d_{T}(g,h)\leq d_{S}(g,h)\leq K\,d_{T}(g,h)$.

Эта константа K является всего лишь максимумом $d_{S}$ словесные нормы элементов $T$ и $d_{T}$ словесные нормы элементов $S$. Это доказательство также простое: любое слово над S можно преобразовать заменой в слово над T увеличив длину слова не более чем в K раз , и аналогичным образом преобразуя слова над T в слова над S. ,

Билипшицева эквивалентность словесных метрик, в свою очередь, означает, что скорость роста конечно порожденной группы является корректно определенным изоморфным инвариантом группы, не зависящим от выбора конечного порождающего множества. Это, в свою очередь, означает, что различные свойства роста, такие как полиномиальный рост, степень полиномиального роста и экспоненциальный рост, являются инвариантами изоморфизма групп. Эта тема обсуждается далее в статье о скорости роста группы.

Квазиизометрические инварианты группы

В геометрической теории групп группы изучаются по их действиям на метрических пространствах. Принцип, который обобщает билипшицеву инвариантность словесных метрик, гласит, что любая конечно порожденная словесная метрика на любому собственному G квазиизометрична геодезическому метрическому пространству , на котором G действует , собственно разрывно и кокомпактно . Метрические пространства, на которых G действует таким образом, называются модельными пространствами для G .

Из этого, в свою очередь, следует, что любое квазиизометрически инвариантное свойство, которому удовлетворяет словесная метрика группы G или любое модельное пространство группы G, является инвариантом к изоморфизму группы G . Современная геометрическая теория групп в значительной степени занимается изучением инвариантов квазиизометрии.

См. также

• Функция длины
• Самый длинный элемент группы Кокстера

Ссылки

• Дж. В. Кэннон, Геометрическая теория групп , в Справочнике по геометрической топологии, страницы 261–305, Северная Голландия, Амстердам, 2002 г., ISBN   0-444-82432-4