Личности Грина

В математике связывающих тождества Грина представляют собой набор из трех тождеств в векторном исчислении, объем с границей области, на которой действуют дифференциальные операторы. Они названы в честь математика Джорджа Грина , открывшего теорему Грина .

Первая личность Грина

Это тождество выводится из теоремы о дивергенции, примененной к векторному полю $F = ψ \nabla φ$ с использованием расширения правила произведения , согласно которому $\nabla \cdot (ψ X) = \nabla ψ \cdot X + ψ \nabla\cdot X$ : пусть $φ$ и $ψ$ скаляры функции, определенные в некоторой области $U \subset R д$ и предположим, что $φ$ дважды непрерывно дифференцируема , а $ψ$ непрерывно дифференцируема один раз. Используя приведенное выше правило произведения, но полагая $X = \nabla φ$ , проинтегрируйте $\nabla\cdot(ψ \nabla φ)$ по $U$ . Затем ^{[ 1 ]} $\int _{U}\left(\psi \,\Delta \varphi +\nabla \psi \cdot \nabla \varphi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\psi \left(\nabla \varphi \cdot \mathbf {n} \right)\,dS=\oint _{\partial U}\psi \,\nabla \varphi \cdot d\mathbf {S}$ где $∆ \equiv \nabla 2$ — оператор Лапласа , $\partial U$ — граница области $U$ , $n$ — направленная наружу единица, нормальная к элементу поверхности $dS$ , а $d S = n dS$ — ориентированный элемент поверхности.

Эта теорема является частным случаем теоремы о дивергенции и, по сути, является многомерным эквивалентом интегрирования по частям с $ψ$ и градиентом $φ,$ заменяющим $u$ и $v$ .

Обратите внимание, что первое тождество Грина, приведенное выше, является частным случаем более общего тождества, полученного из теоремы о дивергенции путем замены $F = ψ Γ$ , $\int _{U}\left(\psi \,\nabla \cdot \mathbf {\Gamma } +\mathbf {\Gamma } \cdot \nabla \psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\psi \left(\mathbf {\Gamma } \cdot \mathbf {n} \right)\,dS=\oint _{\partial U}\psi \mathbf {\Gamma } \cdot d\mathbf {S} ~.$

Вторая личность Грина

Если $φ$ и $ψ$ дважды непрерывно дифференцируемы на $U \subset R 3$ и $ε$ однажды непрерывно дифференцируемо, можно выбрать $F = ψε \nabla φ - φε \nabla ψ,$ чтобы получить $\int _{U}\left[\psi \,\nabla \cdot \left(\varepsilon \,\nabla \varphi \right)-\varphi \,\nabla \cdot \left(\varepsilon \,\nabla \psi \right)\right]\,dV=\oint _{\partial U}\varepsilon \left(\psi {\partial \varphi \over \partial \mathbf {n} }-\varphi {\partial \psi \over \partial \mathbf {n} }\right)\,dS.$

В частном случае $ε = 1$ во всем $U \subset R 3$ , затем, $\int _{U}\left(\psi \,\nabla ^{2}\varphi -\varphi \,\nabla ^{2}\psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\left(\psi {\partial \varphi \over \partial \mathbf {n} }-\varphi {\partial \psi \over \partial \mathbf {n} }\right)\,dS.$

выше уравнении $\partial φ / \partial n$ является производной φ $В приведенном$ по направлению к внешней нормали к указывающей поверхности $n$ поверхностного элемента $dS$ , ${\partial \varphi \over \partial \mathbf {n} }=\nabla \varphi \cdot \mathbf {n} =\nabla _{\mathbf {n} }\varphi .$

Явное включение этого определения во второе тождество Грина с $ε = 1$ приводит к $\int _{U}\left(\psi \,\nabla ^{2}\varphi -\varphi \,\nabla ^{2}\psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\left(\psi \nabla \varphi -\varphi \nabla \psi \right)\cdot d\mathbf {S} .$

В частности, это показывает, что лапласиан является самосопряженным оператором в $L 2$ внутренний продукт для функций, исчезающих на границе, так что правая часть приведенного выше тождества равна нулю.

Третья личность Грина

Третье тождество Грина выводится из второго тождества путем выбора $φ = G$ , где функция Грина $G$ считается фундаментальным решением оператора Лапласа , ∆. Это означает, что: $\Delta G(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\eta }})=\delta (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\eta }})~.$

Например, в $Р 3$ , решение имеет вид $G(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\eta }})={\frac {-1}{4\pi \|\mathbf {x} -{\boldsymbol {\eta }}\|}}~.$

Третье тождество Грина гласит, что если $ψ$ — функция, дважды непрерывно дифференцируемая на $U$ , то $\int _{U}\left[G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }})\,\Delta \psi (\mathbf {y} )\right]\,dV_{\mathbf {y} }-\psi ({\boldsymbol {\eta }})=\oint _{\partial U}\left[G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }}){\partial \psi \over \partial \mathbf {n} }(\mathbf {y} )-\psi (\mathbf {y} ){\partial G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }}) \over \partial \mathbf {n} }\right]\,dS_{\mathbf {y} }.$

Упрощение возникает, если $ψ$ сама является гармонической функцией , т.е. решением уравнения Лапласа . Тогда $\nabla 2 ψ = 0,$ и тождество упрощается до $\psi ({\boldsymbol {\eta }})=\oint _{\partial U}\left[\psi (\mathbf {y} ){\frac {\partial G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }})}{\partial \mathbf {n} }}-G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }}){\frac {\partial \psi }{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {y} )\right]\,dS_{\mathbf {y} }.$

Второй член в приведенном выше интеграле можно исключить, если $G$ выбрать в качестве функции Грина , которая обращается в нуль на границе $U$ ( граничное условие Дирихле ), $\psi ({\boldsymbol {\eta }})=\oint _{\partial U}\psi (\mathbf {y} ){\frac {\partial G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }})}{\partial \mathbf {n} }}\,dS_{\mathbf {y} }~.$

Эта форма используется для построения решений задач Дирихле с краевыми условиями. Решения задач с граничными условиями Неймана также могут быть упрощены, хотя теорема о дивергенции, примененная к дифференциальному уравнению, определяющему функции Грина, показывает, что функция Грина не может интегрироваться до нуля на границе и, следовательно, не может обращаться в нуль на границе. См. функции Грина для лапласиана или ^{[ 2 ]} за подробную аргументацию, с альтернативой.

Далее можно проверить, что приведенное выше тождество также применимо, когда $ψ$ является решением уравнения Гельмгольца или волнового уравнения , а $G$ — подходящей функцией Грина. В таком контексте это тождество является математическим выражением принципа Гюйгенса и приводит к формуле дифракции Кирхгофа и другим приближениям.

На коллекторах

Тождества Грина справедливы на римановом многообразии. В этом случае первые два ${\begin{aligned}\int _{M}u\,\Delta v\,dV+\int _{M}\langle \nabla u,\nabla v\rangle \,dV&=\int _{\partial M}uNv\,d{\widetilde {V}}\\\int _{M}\left(u\,\Delta v-v\,\Delta u\right)\,dV&=\int _{\partial M}(uNv-vNu)\,d{\widetilde {V}}\end{aligned}}$ где $u$ и $v$ — гладкие вещественнозначные функции на $M$ , $dV$ — форма объёма, совместимая с метрикой, $d{\widetilde {V}}$ — индуцированная форма объёма на границе $M$ , $N$ — направленное наружу единичное векторное поле, нормальное к границе, а $∆ u = div(grad u)$ — лапласиан.

Векторное тождество Грина

Второе тождество Грина устанавливает связь между вторыми и (расходящимися) производными первого порядка двух скалярных функций. В дифференциальной форме $p_{m}\,\Delta q_{m}-q_{m}\,\Delta p_{m}=\nabla \cdot \left(p_{m}\nabla q_{m}-q_{m}\,\nabla p_{m}\right),$ где $pm — два произвольных$ и $qm .$ дважды непрерывно дифференцируемых скалярных поля Это тождество имеет большое значение в физике, поскольку таким образом можно установить уравнения непрерывности для скалярных полей, таких как масса или энергия. ^{[ 3 ]}

В теории векторной дифракции вводятся две версии второго тождества Грина.

Один вариант вызывает расхождение векторного произведения. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} и устанавливает взаимосвязь в терминах скручиваемости поля $\mathbf {P} \cdot \left(\nabla \times \nabla \times \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \cdot \left(\nabla \times \nabla \times \mathbf {P} \right)=\nabla \cdot \left(\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)-\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)\right).$

Это уравнение можно записать в терминах лапласианов:

$\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} +\mathbf {Q} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right]-\mathbf {P} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)\right]=\nabla \cdot \left(\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)\right).$

Однако условия $\mathbf {Q} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right]-\mathbf {P} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)\right],$ не может быть легко записано в терминах дивергенции.

Другой подход вводит бивекторы, эта формулировка требует диадической функции Грина. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]} Представленный здесь вывод позволяет избежать этих проблем. ^{[ 9 ]}

Учтите, что скалярные поля во втором тождестве Грина являются декартовыми компонентами векторных полей, т. е. $\mathbf {P} =\sum _{m}p_{m}{\hat {\mathbf {e} }}_{m},\qquad \mathbf {Q} =\sum _{m}q_{m}{\hat {\mathbf {e} }}_{m}.$

Суммируя уравнение для каждого компонента, получаем $\sum _{m}\left[p_{m}\Delta q_{m}-q_{m}\Delta p_{m}\right]=\sum _{m}\nabla \cdot \left(p_{m}\nabla q_{m}-q_{m}\nabla p_{m}\right).$

LHS согласно определению скалярного произведения может быть записана в векторной форме как $\sum _{m}\left[p_{m}\,\Delta q_{m}-q_{m}\,\Delta p_{m}\right]=\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} .$

RHS немного сложнее выражать в терминах векторных операторов. Ввиду дистрибутивности оператора дивергенции по сложению сумма дивергенции равна дивергенции суммы, т. е. $\sum _{m}\nabla \cdot \left(p_{m}\nabla q_{m}-q_{m}\nabla p_{m}\right)=\nabla \cdot \left(\sum _{m}p_{m}\nabla q_{m}-\sum _{m}q_{m}\nabla p_{m}\right).$

Напомним векторное тождество градиента скалярного произведения: $\nabla \left(\mathbf {P} \cdot \mathbf {Q} \right)=\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} +\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)+\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right),$ которое, записанное в векторных компонентах, имеет вид

$\nabla \left(\mathbf {P} \cdot \mathbf {Q} \right)=\nabla \sum _{m}p_{m}q_{m}=\sum _{m}p_{m}\nabla q_{m}+\sum _{m}q_{m}\nabla p_{m}.$

Этот результат аналогичен тому, что мы хотим показать в векторных терминах, «за исключением» знака минус. Поскольку дифференциальные операторы в каждом слагаемом действуют либо над одним вектором (скажем, $p_{m}$ 's) или другой ( $q_{m}$ х), вклад в каждый член должен быть $\sum _{m}p_{m}\nabla q_{m}=\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right),$ $\sum _{m}q_{m}\nabla p_{m}=\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} +\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right).$

Правильность этих результатов можно строго доказать путем оценки компонентов вектора . Следовательно, RHS можно записать в векторной форме как

$\sum _{m}p_{m}\nabla q_{m}-\sum _{m}q_{m}\nabla p_{m}=\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} -\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right).$

Объединив эти два результата, получаем результат, аналогичный теореме Грина для скалярных полей:
Теорема для векторных полей: $\color {OliveGreen}\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} =\left[\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} -\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)\right].$

Ротор векторного произведения можно записать как $\nabla \times \left(\mathbf {P} \times \mathbf {Q} \right)=\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} -\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right);$

Тогда векторную идентичность Грина можно переписать как $\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} =\nabla \cdot \left[\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)-\nabla \times \left(\mathbf {P} \times \mathbf {Q} \right)+\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)\right].$

Поскольку дивергенция ротора равна нулю, третий член обращается в нуль, что дает векторное тождество Грина : $\color {OliveGreen}\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} =\nabla \cdot \left[\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)+\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)\right].$

С помощью аналогичной процедуры лапласиан скалярного произведения можно выразить через лапласиан факторов $\Delta \left(\mathbf {P} \cdot \mathbf {Q} \right)=\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} +2\nabla \cdot \left[\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} +\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} \right].$

Как следствие, теперь неудобные члены можно записать в терминах дивергенции по сравнению с векторным уравнением Грина: $\mathbf {P} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)\right]-\mathbf {Q} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right]=\nabla \cdot \left[\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right].$

Этот результат можно проверить, разложив дивергенцию скаляра на вектор в правой части.

См. также

Ссылки

^ Штраус, Вальтер. Уравнения в частных производных: Введение . Уайли.
^ Джексон, Джон Дэвид (14 августа 1998 г.). Классическая электродинамика . Джон Уайли и сыновья. п. 39.
^ Гуасти, М. Фернандес (17 марта 2004 г.). «Уравнение сохранения дополнительных полей, полученное из скалярного волнового уравнения». Журнал физики A: Математический и общий . 37 (13). Издательство ИОП: 4107–4121. Бибкод : 2004JPhA...37.4107F . дои : 10.1088/0305-4470/37/13/013 . ISSN 0305-4470 .
^ С любовью, Август Э.Х. (1901). «I. Интегрирование уравнений распространения электрических волн» . Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А, содержащая статьи математического или физического характера . 197 (287–299). Королевское общество: 1–45. дои : 10.1098/rsta.1901.0013 . ISSN 0264-3952 .
^ Страттон, Дж.А.; Чу, ЖЖ (1 июля 1939 г.). «Теория дифракции электромагнитных волн». Физический обзор . 56 (1). Американское физическое общество (APS): 99–107. Бибкод : 1939PhRv...56...99S . дои : 10.1103/physrev.56.99 . ISSN 0031-899X .
^ Брюс, Нил С. (22 июля 2010 г.). «Двойное рассеяние векторной волны Кирхгофа на идеально проводящих поверхностях с бесконечными наклонами». Журнал оптики . 12 (8). Издательство IOP: 085701. Бибкод : 2010JOpt...12h5701B . дои : 10.1088/2040-8978/12/8/085701 . ISSN 2040-8978 . S2CID 120636008 .
^ Франц, Вт (1 сентября 1950 г.). «К теории дифракции». Труды Физического общества. Раздел А. 63 (9). Издательство ИОП: 925–939. Бибкод : 1950PPSA...63..925F . дои : 10.1088/0370-1298/63/9/301 . ISSN 0370-1298 .
^ Чен-То Тай (1972). «Теория Кирхгофа: скалярная, векторная или диадическая?». Транзакции IEEE по антеннам и распространению . 20 (1). Институт инженеров по электротехнике и электронике (IEEE): 114–115. Бибкод : 1972ITAP...20..114T . дои : 10.1109/tap.1972.1140146 . ISSN 0096-1973 .
^ Фернандес-Гуасти, М. (2012). «Второе тождество Грина для векторных полей» . ISRN Математическая физика . 2012 . Хиндави Лимитед: 1–7. дои : 10.5402/2012/973968 . ISSN 2090-4681 .

Внешние ссылки

«Зеленые формулы» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
[1] Личности Грина в Wolfram MathWorld

[strauss-1] Штраус, Вальтер. Уравнения в частных производных: Введение . Уайли.

[2] Джексон, Джон Дэвид (14 августа 1998 г.). Классическая электродинамика . Джон Уайли и сыновья. п. 39.

[3] Гуасти, М. Фернандес (17 марта 2004 г.). «Уравнение сохранения дополнительных полей, полученное из скалярного волнового уравнения». Журнал физики A: Математический и общий . 37 (13). Издательство ИОП: 4107–4121. Бибкод : 2004JPhA...37.4107F . дои : 10.1088/0305-4470/37/13/013 . ISSN 0305-4470 .

[4] С любовью, Август Э.Х. (1901). «I. Интегрирование уравнений распространения электрических волн» . Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А, содержащая статьи математического или физического характера . 197 (287–299). Королевское общество: 1–45. дои : 10.1098/rsta.1901.0013 . ISSN 0264-3952 .

[5] Страттон, Дж.А.; Чу, ЖЖ (1 июля 1939 г.). «Теория дифракции электромагнитных волн». Физический обзор . 56 (1). Американское физическое общество (APS): 99–107. Бибкод : 1939PhRv...56...99S . дои : 10.1103/physrev.56.99 . ISSN 0031-899X .

[6] Брюс, Нил С. (22 июля 2010 г.). «Двойное рассеяние векторной волны Кирхгофа на идеально проводящих поверхностях с бесконечными наклонами». Журнал оптики . 12 (8). Издательство IOP: 085701. Бибкод : 2010JOpt...12h5701B . дои : 10.1088/2040-8978/12/8/085701 . ISSN 2040-8978 . S2CID 120636008 .

[7] Франц, Вт (1 сентября 1950 г.). «К теории дифракции». Труды Физического общества. Раздел А. 63 (9). Издательство ИОП: 925–939. Бибкод : 1950PPSA...63..925F . дои : 10.1088/0370-1298/63/9/301 . ISSN 0370-1298 .

[8] Чен-То Тай (1972). «Теория Кирхгофа: скалярная, векторная или диадическая?». Транзакции IEEE по антеннам и распространению . 20 (1). Институт инженеров по электротехнике и электронике (IEEE): 114–115. Бибкод : 1972ITAP...20..114T . дои : 10.1109/tap.1972.1140146 . ISSN 0096-1973 .

[9] Фернандес-Гуасти, М. (2012). «Второе тождество Грина для векторных полей» . ISRN Математическая физика . 2012 . Хиндави Лимитед: 1–7. дои : 10.5402/2012/973968 . ISSN 2090-4681 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]