Формула дифракции Кирхгофа

Кирхгофа Формула дифракции (также называемая формулой дифракции Френеля-Кирхгофа ) аппроксимирует света интенсивность и фазу в оптической дифракции : световые поля в граничных областях теней. Приближение может использоваться для моделирования распространения света в широком диапазоне конфигураций аналитически или с использованием численного моделирования . Он дает выражение для волнового возмущения, когда монохроматическая сферическая волна является находящей волной рассматриваемой ситуации. Эта формула получена путем применения интегральной теоремы Кирхгофа , которая использует второе тождество Грина для получения решения однородного скалярного волнового уравнения , к сферической волне с некоторыми приближениями.

Принцип Гюйгенса-Френеля выводится из формулы дифракции Френеля-Кирхгофа.

Вывод формулы дифракции Кирхгофа

Интегральная теорема Кирхгофа , иногда называемая интегральной теоремой Френеля-Кирхгофа, использует второе тождество Грина для вывода решения однородного скалярного волнового уравнения в произвольном пространственном положении P через решение волнового уравнения и его производную первого порядка во всех точках произвольной замкнутой поверхности. $S$ как граница некоторого объема, включающего P .

Решение, обеспечиваемое интегральной теоремой для монохроматического источника, имеет вид $$U({\textbf {P}})={\frac {1}{4\pi }}\int _{S}\left[U{\frac {\partial }{\partial {\textbf {n}}}}\left({\frac {e^{iks}}{s}}\right)-{\frac {e^{iks}}{s}}{\frac {\partial U}{\partial {\textbf {n}}}}\right]dS,$$ где $U$ – пространственная часть решения однородного скалярного волнового уравнения (т.е. $V(\mathbf {r} ,t)=U(\mathbf {r} )e^{-i\omega t}$ как решение однородного скалярного волнового уравнения), k — волновое число , s — расстояние от P до (бесконечно малого) целого элемента поверхности, и ${\frac {\partial }{\partial n}}$ обозначает дифференцирование вдоль единичного вектора нормали интегрального элемента поверхности $n$ (т.е. нормальная производная ), т.е. ${\frac {\partial f}{\partial n}}=\nabla f\cdot n$. Обратите внимание, что нормаль к поверхности или направление $n$ в этом интеграле находится внутри замкнутого объема; если используется более обычная нормаль, указывающая наружу , интеграл будет иметь противоположный знак. А также обратите внимание, что в показанной здесь интегральной теореме $n$ и P — векторные величины, а остальные члены — скалярные величины.

Для приведенных ниже случаев сделаны следующие основные предположения.

• Расстояние между точечным источником волн и цельной площадью, расстояние между цельной площадью и точкой наблюдения P и размер отверстия S значительно превышают длину волны волны. $\lambda$.
• $U$ и ${\frac {\partial U}{\partial n}}=\nabla U\cdot n$ разрывны на границах апертуры, называемые граничными условиями Кирхгофа . Это может быть связано с другим предположением, что волны на отверстии (или открытой площадке) аналогичны волнам, которые присутствовали бы, если бы для волн не было препятствий.

Источник точки

Геометрическая схема, используемая при выводе формулы дифракции Кирхгофа. Область, обозначенная А _1, представляет собой апертуру (отверстие), области, отмеченные А _2, являются непрозрачными участками, А ₃ — полусфера в составе замкнутой цельной поверхности (состояла из областей А ₁ , А ₂ и А ₃ ) для интегральной теоремы Кирхгофа .

Рассмотрим монохроматический точечный источник в точке P ₀ , освещающий апертуру экрана. Интенсивность волны , излучаемой точечным источником, падает обратно пропорционально квадрату пройденного расстояния, поэтому амплитуда падает обратно пропорционально расстоянию. Комплексная амплитуда возмущения на расстоянии $r$ дается

$$U(r)={\frac {ae^{ikr}}{r}},$$ где $a$ представляет собой величину возмущения в точечном источнике.

Возмущение в пространственной позиции P можно найти, применив интегральную теорему Кирхгофа к замкнутой поверхности, образованной пересечением сферы радиуса R с экраном. Интегрирование выполняется по площадям A ₁ , A ₂ и A ₃ , что дает $$U(P)={\frac {1}{4\pi }}\left[\int _{A_{1}}+\int _{A_{2}}+\int _{A_{3}}\right]\left(U{\frac {\partial }{\partial n}}\left({\frac {e^{iks}}{s}}\right)-{\frac {e^{iks}}{s}}{\frac {\partial U}{\partial n}}\right)dS.$$

Для решения уравнения предполагается, что значения $U$ и ${\frac {\partial U}{\partial n}}$ в области апертуры A ₁ такие же, как и при отсутствии экрана, то есть в положении Q , $$U_{A_{1}}={\frac {ae^{ikr}}{r}},$$ $${\frac {\partial U_{A_{1}}}{\partial n}}=\nabla U_{A_{1}}\cdot n={\frac {ae^{ikr}}{r}}\left[ik-{\frac {1}{r}}\right]\cos(n,r),$$ где $r$ – длина прямой P ₀ Q , а $(n,r)$ представляет собой угол между прямо вытянутой версией P ₀ Q и (внутренней) нормалью к апертуре. Обратите внимание, что $0<(n,r)<{\frac {\pi }{2}}$ так $\cos(n,r)$ является положительным действительным числом на A ₁ .

В Q у нас также есть $${\frac {\partial }{\partial n}}\left({\frac {e^{iks}}{s}}\right)={\frac {e^{iks}}{s}}\left[ik-{\frac {1}{s}}\right]\cos(n,s),$$ где $s$ – длина прямой PQ , а $(n,s)$ - это угол между прямо вытянутой версией PQ и (внутренней) нормалью к апертуре. Обратите внимание, что ${\frac {\pi }{2}}<(n,s)<{\frac {3\pi }{2}}$ так $\cos(n,s)$ является отрицательным действительным числом на A ₁ .

Сделаны еще два следующих предположения.

• В приведенных выше нормальных производных члены ${\frac {1}{r}}$ и ${\frac {1}{s}}$ в обеих квадратных скобках предполагается пренебрежимо малым по сравнению с волновым числом $k={\frac {2\pi }{\lambda }}$, означает $r$ и $s$ намного больше длины волны $\lambda$.
• Кирхгоф предполагает, что значения $U$ и ${\frac {\partial U}{\partial n}}$ на непрозрачных участках, отмеченных А _2, равны нулю. Это подразумевает, что $U$ и ${\frac {\partial U}{\partial n}}$ прерываются на краю апертуры A ₁ . Это не так, и это одно из приближений, использованных при выводе формулы дифракции Кирхгофа. Эти предположения иногда называют граничными условиями Кирхгофа .

Ожидается, что вклад полусферы А ₃ в интеграл будет нулевым, и это можно обосновать одной из следующих причин.

1. Предположим, что источник начинает излучать в определенное время, а затем сделайте R возмущения в точке P достаточно большим, чтобы при рассмотрении никакие вклады от A _{3 .} туда не поступали Такая волна больше не является монохроматической , поскольку монохроматическая волна должна существовать всегда, но в этом предположении нет необходимости, и был выведен более формальный аргумент, позволяющий избежать ее использования.
2. Ожидается, что волна, исходящая из отверстия A ₁ , по мере распространения будет развиваться в сторону сферической волны (примеры волн на воде можно найти на многих изображениях, показывающих волну на воде, проходящую через относительно узкое отверстие). Итак, если R достаточно велико, то интеграл от A ₃ принимает вид $$U(P)\sim -{\frac {ia}{2\lambda }}\int _{A_{3}}{\frac {e^{2ik(r')}}{r'^{2}}}[\cos(n,r')-\cos(n,r')]d{A_{3}}=-{\frac {ia}{2\lambda }}\int _{A_{3}}e^{2ik(r')}[\cos(n,r')-\cos(n,r')]d{\Omega }=0$$ где $r'$ и $d\Omega$ – расстояние от центра отверстия А ₁ до цельного элемента поверхности и дифференциальный телесный угол в сферической системе координат соответственно.

В результате, наконец, приведенный выше интеграл, который представляет комплексную амплитуду в точке P , становится $$U(P)=-{\frac {ia}{2\lambda }}\int _{A_{1}}{\frac {e^{ik(r+s)}}{rs}}[\cos(n,r)-\cos(n,s)]d{A_{1}}.$$

Это формула дифракции Кирхгофа или Френеля-Кирхгофа .

Эквивалентность принципу Гюйгенса – Френеля.

Геометрическое расположение, используемое для выражения формулы Кирхгофа в форме, аналогичной формуле Гюйгенса – Френеля.

Принцип Гюйгенса-Френеля можно получить путем интегрирования по другой замкнутой поверхности (границе некоторого объема, имеющей точку наблюдения P ). Область A ₁ выше заменяется частью волнового фронта (излучаемого из P ₀ ) в точке r ₀ , которая находится ближе всего к апертуре, и частью конуса с вершиной в точке P ₀ , которая обозначена A ₄ на правой схеме. Если волновой фронт расположен так, что волновой фронт находится очень близко к краям апертуры, то вкладом А ₄ можно пренебречь (здесь предполагается). На этом новом A ₁ внутренняя нормаль (к объему, ограниченному замкнутой целостной поверхностью, т. е. к правой стороне диаграммы) $n$ к A ₁ проходит вдоль радиального направления от P ₀ , т.е. направления, перпендикулярного волновому фронту. В результате угол $(n,r)=0$ и угол $(n,s)$ связано с углом $\chi$ (угол, определенный в принципе Гюйгенса – Френеля ) как $$(n,s)=\pi -\chi .$$

Комплексная амплитуда волнового фронта при r ₀ определяется выражением $$U(r_{0})={\frac {ae^{ikr_{0}}}{r_{0}}}.$$

Таким образом, формула дифракции принимает вид $$U(P)=-{\frac {i}{2\lambda }}{\frac {ae^{ikr_{0}}}{r_{0}}}\int _{S}{\frac {e^{iks}}{s}}(1+\cos \chi )dS,$$ где интеграл проводится по той части волнового фронта при r ₀ , которая находится ближе всего к апертуре на диаграмме. Этот интеграл приводит к принципу Гюйгенса – Френеля (с коэффициентом наклона ${\textstyle {\frac {1+\cos \chi }{2}}}$).

При выводе этого интеграла вместо геометрии, изображенной на правой диаграмме, можно использовать двойные сферы с центром в точке P ₀ с внутренним радиусом сферы r ₀ и бесконечным радиусом внешней сферы. В этой геометрии точка наблюдения P расположена в объеме, ограниченном двумя сферами, поэтому формула дифракции Френеля-Кирхгофа применяется к двум сферам. (Нораль к этим целочисленным поверхностям, скажем еще раз, направлена ​​к замкнутому объему в приведенной выше формуле дифракции.) В применении формулы интеграл на внешней сфере равен нулю по той же причине, что и интеграл на полусфере, как ноль выше. .

Расширенный источник

Предположим, что апертура освещена протяженной исходной волной. Комплексная амплитуда на апертуре определяется как U ₀ ( r ).

Предполагается, как и ранее, что значения $U$ и ${\frac {\partial U}{\partial n}}$ в области А ₁ такие же, как и при отсутствии экрана, то есть значения $U$ и ${\frac {\partial U}{\partial n}}$ в A ₂ равны нулю (граничные условия Кирхгофа) и что вклад A ₃ в интеграл также равен нулю. Также предполагается, что 1/ s пренебрежимо мало по сравнению с k . Тогда у нас есть $$U(P)={\frac {1}{4\pi }}\int _{A_{1}}{\frac {e^{iks}}{s}}\left[ikU_{0}(r)\cos(n,s)-{\frac {\partial U_{0}(r)}{\partial n}}\right]\,dS.$$

Это наиболее общая форма формулы дифракции Кирхгофа. Чтобы решить это уравнение для расширенного источника, потребуется дополнительное интегрирование для суммирования вкладов, вносимых отдельными точками источника. Если же предположить, что свет от источника в каждой точке апертуры имеет четко определенное направление, что имеет место, если расстояние между источником и апертурой значительно больше длины волны, то можно написать $$U_{0}(r)\approx a(r)e^{ikr},$$ где a ( r ) — величина возмущения в точке r апертуры. Тогда у нас есть $${\frac {\partial {U_{0}(r)}}{\partial n}}=ika(r)\cos(n,r)$$ и таким образом $$U(P)=-{\frac {i}{2\lambda }}\int _{S}a(r){\frac {e^{iks}}{s}}[\cos \chi +\cos(n,r)]\,dS.$$

Уравнения дифракции Фраунгофера и Френеля

Несмотря на различные приближения, которые были сделаны при выводе формулы, она достаточна для описания большинства задач инструментальной оптики. Это происходит главным образом потому, что длина волны света намного меньше размеров любых встреченных препятствий. Аналитические решения невозможны для большинства конфигураций, но уравнение дифракции Френеля и уравнение дифракции Фраунгофера , которые являются аппроксимацией формулы Кирхгофа для ближнего и дальнего поля , могут быть применены к очень широкому кругу оптических систем.

Одно из важных предположений, сделанных при получении формулы дифракции Кирхгофа, состоит в том, что r и s значительно больше, чем λ. Можно сделать еще одно приближение, которое еще больше упрощает уравнение: расстояния P ₀ Q и QP намного превышают размеры апертуры. Это позволяет сделать еще два приближения:

• cos( n, r ) − cos( n, s ) заменяется на 2cos β, где β — угол между P ₀ P и нормалью к апертуре. Коэффициент 1/ rs заменяется на 1/ r 's ' ' , где r , которое находится в и s ' — расстояния от P0 _{до начала координат} и P апертуре. Тогда комплексная амплитуда будет равна: $$U(P)=-{\frac {ia\cos \beta }{\lambda r's'}}\int _{S}e^{ik(r+s)}\,ds.$$
• Предположим, что апертура лежит в плоскости xy , а координаты P ₀ , P и Q (общая точка апертуры) равны ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ), ( x , y , z ) и ( x ' , y ' , 0) соответственно. Тогда у нас есть:

  $~r^{2}=(x_{0}-x')^{2}+(y_{0}-y')^{2}+z_{0}^{2},$

  $~s^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2},$

  $~r'^{2}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2},$

  $~s'^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.$

Мы можем выразить r и s следующим образом: $$r=r'\left[1-{\frac {2(x_{0}x'+y_{0}y')}{r'^{2}}}+{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{r'^{2}}}\right]^{1/2},$$ $$s=s'\left[1-{\frac {2(xx'+yy')}{s'^{2}}}+{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{s'^{2}}}\right]^{1/2}.$$

Их можно разложить в степенные ряды : $$r=r'\left[1-{\frac {1}{2r'^{2}}}\left[2(x_{0}x'+y_{0}y')-(x'^{2}+y'^{2})\right]+{\frac {1}{8r'^{4}}}\left[2(x_{0}x'+y_{0}y')-(x'^{2}+y'^{2})\right]^{2}+\cdots \right],$$ $$s=s'\left[1-{\frac {1}{2s'^{2}}}\left[2(xx'+yy')-(x'^{2}+y'^{2})\right]+{\frac {1}{8s'^{4}}}\left[2(xx'+yy')-(x'^{2}+y'^{2})\right]^{2}+\cdots \right].$$

Комплексную амплитуду в точке P теперь можно выразить как $$U(P)=-{\frac {i\cos \beta }{\lambda }}{\frac {ae^{ik(r'+s')}}{r's'}}\int _{S}e^{ikf(x',y')}\,dx'dy',$$ где f ( x ' , y ' ) включает все члены приведенных выше выражений для s и r, кроме первого члена в каждом выражении, и может быть записано в виде $$f(x',y')=c_{1}x'+c_{2}y'+c_{3}x'^{2}+c_{4}y'^{2}+c_{5}x'y'\cdots ,$$ где c _i — константы.

Дифракция Фраунгофера

Основная статья: дифракция Фраунгофера

Если всеми членами в f ( x ' , y ' ) можно пренебречь, за исключением членов в x ' и y ' , мы имеем уравнение дифракции Фраунгофера . Если направляющие косинусы P ₀ Q и PQ равны $${\begin{aligned}l_{0}&=-x_{0}/r',\\m_{0}&=-y_{0}/r',\\l&=x/s',\\m&=y/s'.\end{aligned}}$$

Тогда уравнение дифракции Фраунгофера имеет вид $$U(P)=C\int _{S}e^{ik[(l_{0}-l)x'+(m_{0}-m)y']}\,dx'dy',$$ где C — константа. Это также можно записать в форме $$U(P)=C\int _{S}e^{i(\mathbf {k} _{0}-\mathbf {k} )\cdot \mathbf {r} '}\,dr',$$ где k ₀ и k - волновые векторы волн, бегущих от P ₀ к апертуре и от апертуры к P соответственно, а r ' - точка в апертуре.

Если точечный источник заменить протяженным источником, комплексная амплитуда которого в апертуре определяется U ₀ ( r' ), то уравнение дифракции Фраунгофера будет иметь вид: $$U(P)\propto \int _{S}a_{0}(\mathbf {r} ')e^{i(\mathbf {k} _{0}-\mathbf {k} )\cdot \mathbf {r} '}\,dr',$$ где а0 _. ( r' ) — как и ранее, величина возмущения на апертуре

Помимо приближений, сделанных при выводе уравнения Кирхгофа, предполагается, что

• r и s значительно больше размера апертуры,
• Членами второго и более высокого порядка в выражении f ( x ' , y ' ) можно пренебречь.

Дифракция Френеля

Основная статья: Дифракция Френеля

Когда нельзя пренебрегать квадратичными членами, но можно пренебрегать всеми членами более высокого порядка, уравнение становится уравнением дифракции Френеля . Используются аппроксимации уравнения Кирхгофа и дополнительные предположения:

• r и s значительно больше размера апертуры,
• Членами третьего и более высокого порядка в выражении f ( x ' , y ' ) можно пренебречь.

Дальнейшее чтение

• Бейкер, Б.Б.; Копсон, ET (1939, 1950). Математическая теория принципа Гюйгенса . Оксфорд.
• Воан, Грэм (2000). Кембриджский справочник физических формул . Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780521575072 .
• Дж. Гудман (2005). Введение в оптику Фурье (3-е изд.). Издательство Робертс и Ко. ISBN  978-0-9747077-2-3 .
• Гриффитс, Дэвид Дж. (2012). Введение в электродинамику . Пирсон Эдьюкейшн, Лимитед. ISBN  978-0-321-85656-2 .
• Группа, Иегуда Б. (2006). Свет и материя: электромагнетизм, оптика, спектроскопия и лазеры . Джон Уайли и сыновья . ISBN  978-0-471-89931-0 .
• Кеньон, Ян (2008). Фантастический свет: современное введение в классическую и квантовую оптику . Издательство Оксфордского университета . ISBN  978-0-19-856646-5 .
• Лернер, Рита Г .; Джордж Л., Тригг (1991). Энциклопедия физики . ВЧ. ISBN  978-0-89573-752-6 .
• Сибил П., Паркер (1993). Энциклопедия физики MacGraw-Hill . МакГроу-Хилл Райерсон, Лимитед. ISBN  978-0-07-051400-3 .