Интегральная теорема Кирхгофа

Кирхгофа Интегральная теорема (иногда называемая интегральной теоремой Френеля – Кирхгофа) — поверхностный интеграл, позволяющий получить значение решения однородного скалярного волнового уравнения в произвольной точке P через значения решения и производной первого порядка решения во всех точках произвольной замкнутой поверхности (на которой интегрирование выполняется), который включает P . Он получен с использованием второго тождества Грина и однородного скалярного волнового уравнения, которое делает интеграцию по объему во втором тождестве Грина нулевой.

Интеграл

Монохроматическая волна

Интеграл имеет следующий вид для монохроматической волны:

$U(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{S}\left[U{\frac {\partial }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}\left({\frac {e^{iks}}{s}}\right)-{\frac {e^{iks}}{s}}{\frac {\partial U}{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}\right]dS,$

где интегрирование проводится по произвольной замкнутой поверхности S, охватывающей точку наблюдения $\mathbf {r}$, $k$ в $e^{iks}$ это волновое число , $s$ в ${\frac {e^{iks}}{s}}$ - расстояние от (бесконечно малого) целого элемента поверхности до точки $\mathbf {r}$, $U$ – пространственная часть решения однородного скалярного волнового уравнения (т.е. $V(\mathbf {r} ,t)=U(\mathbf {r} )e^{-i\omega t}$ как решение однородного скалярного волнового уравнения), ${\hat {\mathbf {n} }}$ - единичный вектор внутрь и по нормали к целочисленному элементу поверхности, т. е. единичный вектор нормали к внутренней поверхности, и ${\frac {\partial }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}$ обозначает дифференцирование по нормали к поверхности (т.е. нормальную производную ), т.е. ${\frac {\partial f}{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}=\nabla f\cdot {\hat {\mathbf {n} }}$ для скалярного поля $f$. Обратите внимание, что в этом интеграле нормаль к поверхности направлена ​​внутрь, т. е. внутрь замкнутого объема ; если используется более обычная нормаль, указывающая наружу , интеграл будет иметь противоположный знак.

Этот интеграл можно записать в более привычном виде

$U(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{S}\left(U\nabla \left({\frac {e^{iks}}{s}}\right)-{\frac {e^{iks}}{s}}\nabla U\right)\cdot d{\vec {S}},$

где $d{\vec {S}}=dS{\hat {\mathbf {n} }}$.

Немонохроматическая волна

Более общую форму можно получить для немонохроматических волн. Комплексную амплитуду волны можно представить интегралом Фурье вида

$V(r,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int U_{\omega }(r)e^{-i\omega t}\,d\omega ,$

где в результате обращения Фурье имеем

$U_{\omega }(r)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int V(r,t)e^{i\omega t}\,dt.$

Интегральная теорема (выше) применяется к каждой компоненте Фурье $U_{\omega }$, и получается следующее выражение:

$V(r,t)={\frac {1}{4\pi }}\int _{S}\left\{[V]{\frac {\partial }{\partial n}}\left({\frac {1}{s}}\right)-{\frac {1}{cs}}{\frac {\partial s}{\partial n}}\left[{\frac {\partial V}{\partial t}}\right]-{\frac {1}{s}}\left[{\frac {\partial V}{\partial n}}\right]\right\}dS,$

где квадратные скобки в терминах V обозначают запаздывающие значения, т.е. значения в момент времени t − s / c .

Кирхгоф показал, что приведенное выше уравнение во многих случаях можно аппроксимировать к более простой форме, известной как формула дифракции Кирхгофа или Френеля-Кирхгофа , которая эквивалентна уравнению Гюйгенса-Френеля , за исключением того, что она обеспечивает коэффициент наклона, который не определяется уравнением Гюйгенса – Френеля. Интеграл дифракции может быть применен к широкому кругу задач оптики.

Интегральный вывод

Здесь представлен вывод интегральной теоремы Кирхгофа. Во-первых, второе тождество Грина используется , как показано ниже.

$$\int _{V}\left(U_{1}\nabla ^{2}U_{2}-U_{2}\nabla ^{2}U_{1}\right)dV=\oint _{\partial V}\left(U_{2}{\partial U_{1} \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}-U_{1}{\partial U_{2} \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}\right)dS,$$где интегральный единичный вектор нормали к поверхности ${\hat {\mathbf {n} }}$ вот в сторону объема $V$ замкнутый цельной поверхностью $\partial V$. Скалярные полевые функции $U_{1}$ и $U_{2}$ задаются как решения уравнения Гельмгольца , $\nabla ^{2}U+k^{2}U=0$ где $k={\frac {2\pi }{\lambda }}$ число волновое ( $\lambda$ — длина волны), что дает пространственную часть комплексного монохроматического (одна частота во времени) волнового выражения. (Произведение пространственной части и временной части волнового выражения является решением скалярного волнового уравнения .) Тогда объемная часть второго тождества Грина равна нулю, поэтому остается только поверхностный интеграл как $$\oint _{\partial V}\left(U_{2}{\partial U_{1} \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}-U_{1}{\partial U_{2} \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}\right)dS=0.$$Сейчас $U_{2}$ задается как решение уравнения Гельмгольца для нахождения и $U_{1}$ задается как пространственная часть комплекснозначной монохроматической сферической волны $U_{1}={\frac {e^{iks}}{s}}$ где $s$ расстояние от точки наблюдения $P$ в закрытом объёме $V$. Поскольку имеется особенность $U_{1}={\frac {e^{iks}}{s}}$ в $P$ где $s=0$ (стоимость ${\frac {e^{iks}}{s}}$ не определено в $s=0$), составная поверхность не должна включать $P$. (В противном случае приведенный выше интеграл нулевого объема не будет оправдан.) Предлагаемая интегральная поверхность представляет собой внутреннюю сферу. $S_{1}$ сосредоточено в $P$ с радиусом $s_{1}$ и внешняя произвольная замкнутая поверхность $S_{2}$.

Тогда поверхностный интеграл принимает вид $$\oint _{S_{1}}\left(U_{2}{\partial \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}{\frac {e^{iks}}{s}}-{\frac {e^{iks}}{s}}{\partial \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}U_{2}\right)dS+\oint _{S_{2}}\left(U_{2}{\partial \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}{\frac {e^{iks}}{s}}-{\frac {e^{iks}}{s}}{\partial \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}U_{2}\right)dS=0.$$Для интеграла на внутренней сфере $S_{1}$, $${\frac {\partial }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}{\frac {e^{iks}}{s}}=\nabla {\frac {e^{iks}}{s}}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}=\left({\frac {ik}{s}}-{\frac {1}{s^{2}}}\right)e^{iks},$$и введя телесный угол $d\Omega$ в $dS=s^{2}d\Omega$, $$\oint _{S_{1}}\left(U_{2}{\partial \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}{\frac {e^{iks}}{s}}-{\frac {e^{iks}}{s}}{\partial \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}U_{2}\right)dS=\oint _{S_{1}}\left(U_{2}\left({\frac {ik}{s}}-{\frac {1}{s^{2}}}\right)e^{iks}-{\frac {e^{iks}}{s}}{\partial \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}U_{2}\right)s^{2}d\Omega =\oint _{S_{1}}\left(iksU_{2}-U_{2}-s{\frac {\partial }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}U_{2}\right)e^{iks}d\Omega$$из-за ${\frac {\partial }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}U_{2}=\nabla U_{2}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}={\frac {\partial }{\partial s}}U_{2}$. ( Сферическая система координат , начало которой находится в $P$ можно использовать для вывода этого равенства.)

Сжимая сферу $S_{1}$ к нулевому радиусу (но никогда не касаясь $P$ чтобы избежать сингулярности), $e^{iks}\to 1$ и первый и последний члены в $S_{1}$ поверхностный интеграл становится нулевым, поэтому интеграл становится $-4\pi U_{2}$. В результате, обозначая $U_{2}$, расположение $P$, и $S_{2}$ к $U$, вектор положения $\mathbf {r}$, и $S$ соответственно, $$U(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\left(U{\partial \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}{\frac {e^{iks}}{s}}-{\frac {e^{iks}}{s}}{\partial \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}U\right)dS.$$

См. также

• Формула дифракции Кирхгофа
• Векторное исчисление
• Интеграл
• Принцип Гюйгенса – Френеля
• Волновой фронт
• Поверхностный интеграл

Дальнейшее чтение

• Кембриджский справочник физических формул , Г. Воан, издательство Кембриджского университета, 2010 г., ISBN   978-0-521-57507-2 .
• Введение в электродинамику (3-е издание) , DJ Гриффитс, Pearson Education, Дорлинг Киндерсли, 2007 г., ISBN   81-7758-293-3
• Свет и материя: электромагнетизм, оптика, спектроскопия и лазеры , YB Band, John Wiley & Sons, 2010, ISBN   978-0-471-89931-0
• Фантастический свет – введение в классическую и квантовую оптику , И. Р. Кеньон, Oxford University Press, 2008 г., ISBN   978-0-19-856646-5
• Энциклопедия физики (2-е издание) , Р.Г. Лернер , Г.Л. Тригг, издатели VHC, 1991, ISBN (издательская компания) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
• Энциклопедия физики МакГроу Хилла (2-е издание) , CB Parker, 1994, ISBN   0-07-051400-3