Принцип Гюйгенса – Френеля

волн Преломление по методу Гюйгенса.

Дифракция волн по методу Гюйгенса и Френеля.

Принцип Гюйгенса-Френеля (названный в честь голландского физика Христиана Гюйгенса и французского физика Огюстена-Жана Френеля ) гласит, что каждая точка волнового фронта сама по себе является источником сферических вейвлетов, а вторичные вейвлеты, исходящие из разных точек, взаимно интерферируют. Сумма этих сферических вейвлетов образует новый волновой фронт. По сути, принцип Гюйгенса-Френеля представляет собой метод анализа, применяемый к проблемам распространения световых волн как в пределе дальнего поля в ближнем поле , так и в дифракции и отражении .

История

Дифракция плоской волны, когда ширина щели равна длине волны

В 1678 году Гюйгенс предположил, что каждая точка, достигнутая световым возмущением, становится источником сферической волны; сумма этих вторичных волн определяет форму волны в любой последующий момент времени. Он предположил, что вторичные волны распространяются только в «прямом» направлении, и в теории не объясняется, почему это так. Он смог дать качественное объяснение линейному и сферическому распространению волн и вывести законы отражения и преломления, используя этот принцип, но не смог объяснить отклонения от прямолинейного распространения, которые происходят, когда свет сталкивается с краями, отверстиями и экранами, широко известными как дифракционные эффекты. Решение этой ошибки было окончательно объяснено Дэвидом А. Б. Миллером в 1991 году. Разрешение состоит в том, что источником является диполь (а не монополь, предполагаемый Гюйгенсом), который сокращается в отраженном направлении.

В 1818 году Френель показал, что принцип Гюйгенса вместе с его собственным принципом интерференции может объяснить как прямолинейное распространение света, так и дифракционные эффекты. Чтобы получить согласие с экспериментальными результатами, ему пришлось включить дополнительные произвольные предположения о фазе и амплитуде вторичных волн, а также о коэффициенте наклона. Эти предположения не имеют очевидного физического обоснования, но привели к предсказаниям, которые согласовались со многими экспериментальными наблюдениями, включая пятно Пуассона .

Пуассон был членом Французской академии, которая рецензировала работы Френеля. Он использовал теорию Френеля, чтобы предсказать, что яркое пятно должно появиться в центре тени небольшого диска, и сделал из этого вывод, что теория неверна. Однако Араго, другой член комитета, провел эксперимент и показал, что предсказание верно . (Лайл заметил это пятьдесят лет назад. ) Это было одно из исследований, приведших к победе волновой теории света над господствовавшей тогда корпускулярной теорией .

В теории антенн и технике переформулировка принципа Гюйгенса-Френеля для источников излучающего тока известна как принцип поверхностной эквивалентности .

Принцип Гюйгенса как микроскопическая модель

Принцип Гюйгенса-Френеля обеспечивает разумную основу для понимания и предсказания классического распространения волн света. Однако у этого принципа есть ограничения, а именно те же приближения, которые используются для вывода формулы дифракции Кирхгофа и приближения ближнего поля Френеля. Их можно резюмировать тем, что длина волны света намного меньше размеров любых встречающихся оптических компонентов.

Формула дифракции Кирхгофа обеспечивает строгую математическую основу дифракции, основанную на волновом уравнении. Произвольные предположения, сделанные Френелем для получения уравнения Гюйгенса-Френеля, автоматически возникают из математических расчетов в этом выводе.

Простой пример работы принципа можно увидеть, когда открытый дверной проем соединяет две комнаты и в отдаленном углу одной из них раздается звук. Человек, находящийся в другой комнате, услышит звук так, как будто он исходит из дверного проема. Что касается второй комнаты, то источником звука является вибрация воздуха в дверном проеме.

Современные интерпретации физики

Не все эксперты согласны с тем, что принцип Гюйгенса является точным микроскопическим представлением реальности. Например, Мелвин Шварц утверждал, что «принцип Гюйгенса действительно дает правильный ответ, но по неверным причинам».

Это может быть отражено в следующих фактах:

• Микроскопическая механика рождения и испускания фотонов, по сути, представляет собой ускорение электронов.
• Оригинальный анализ Гюйгенса рассматриваются только волновые фронты с одинаковой частотой, фазой и скоростью распространения и, следовательно, не могут должным образом учитывать такие эффекты, как интерференция или дисперсия .
• Первоначальный принцип Гюйгенса также не учитывает поляризацию света, для которой потребовался бы векторный потенциал, в отличие от скалярного потенциала простой океанской волны или звуковой волны . и поэтому не может объяснить такие эффекты, как двойное лучепреломление .
• В описании Гюйгенса нет объяснения, почему мы выбираем только прямую волну ( запаздывающую волну или прямую огибающую волновых фронтов) вместо распространяющейся назад опережающей волны (обратную огибающую).
• В приближении Френеля существует концепция нелокального поведения из-за суммы сферических волн с разными фазами, исходящих из разных точек волнового фронта, а нелокальные теории являются предметом многих дискуссий (например, не являются лоренц-ковариантными). ) и активных исследований.
• Приближение Френеля можно интерпретировать квантово-вероятностным способом, но неясно, насколько эта сумма состояний (т. е. вейвлетов на волновом фронте) представляет собой полный список состояний, которые имеют физический смысл, или представляет собой скорее приближение на общей основе , как в метод линейной комбинации атомных орбиталей (ЛКАО).

Принцип Гюйгенса по существу совместим с квантовой теорией поля в приближении дальнего поля , учитывая эффективные поля в центре рассеяния, учитывая малые возмущения , и в том же смысле, в котором квантовая оптика совместима с классической оптикой , другие интерпретации являются предметом дискуссий. и активные исследования.

Модель Фейнмана, в которой каждая точка воображаемого волнового фронта размером с комнату генерирует вейвлет, также должна интерпретироваться в этих приближениях. и в вероятностном контексте удаленные точки могут лишь минимально вносить вклад в общую амплитуду вероятности.

Квантовая теория поля не включает какой-либо микроскопической модели создания фотона, а концепция одиночного фотона также подвергается тщательному изучению на теоретическом уровне.

Математическое выражение принципа

Геометрическая схема расчета Френеля

Рассмотрим случай точечного источника, расположенного в точке P0 _и колеблющегося с частотой f . Возмущение можно описать комплексной переменной U0 _, известной как комплексная амплитуда . Он создает сферическую волну с длиной волны λ, волновым числом k = 2 π / λ . В пределах константы пропорциональности комплексная амплитуда первичной волны в точке Q, расположенной на расстоянии r ₀ от P _0, равна:

$U(r_{0})\propto {\frac {U_{0}e^{ikr_{0}}}{r_{0}}}.$

Обратите внимание, что величина уменьшается обратно пропорционально пройденному расстоянию, а фаза изменяется пропорционально на k пройденному расстоянию, умноженному .

Используя теорию Гюйгенса и принцип суперпозиции волн, комплексная амплитуда в дальнейшей точке P находится путем суммирования вклада каждой точки на сфере радиуса r ₀ . Чтобы получить согласие с экспериментальными результатами, Френель обнаружил, что отдельные вклады вторичных волн на сфере необходимо умножить на константу - i / λ и на дополнительный коэффициент наклона K (χ). Первое предположение означает, что вторичные волны колеблются на четверть цикла в противофазе по отношению к первичной волне и что величина вторичных волн находится в соотношении 1: λ к первичной волне. Он также предположил, что K (χ) имеет максимальное значение при χ = 0 и равняется нулю при χ = π/2, где χ — угол между нормалью первичного волнового фронта и нормалью вторичного волнового фронта. Комплексная амплитуда в точке P , обусловленная вкладом вторичных волн, тогда определяется выражением:

$U(P)=-{\frac {i}{\lambda }}U(r_{0})\int _{S}{\frac {e^{iks}}{s}}K(\chi )\,dS$

где S описывает поверхность сферы, а s расстояние между Q и P. —

Френель использовал метод построения зон, чтобы найти приблизительные значения K для различных зон. что позволило ему сделать предсказания, согласующиеся с экспериментальными результатами. Интегральная теорема Кирхгофа включает в себя основную идею принципа Гюйгенса–Френеля. Кирхгоф показал, что во многих случаях теорему можно приблизить к более простому виду, эквивалентному формированию формулировки Френеля.

Для апертурного освещения, состоящего из одной расширяющейся сферической волны, если радиус кривизны волны достаточно велик, Кирхгоф дал следующее выражение для K (χ):

$~K(\chi )={\frac {1}{2}}(1+\cos \chi )$

K имеет максимальное значение при χ = 0, как в принципе Гюйгенса – Френеля; однако K равен нулю не при χ = π/2, а при χ = π.

Выше при выводе K (χ) предполагалось, что дифрагирующее отверстие освещается одной сферической волной с достаточно большим радиусом кривизны. Однако этот принцип справедлив и для более общего освещения. Произвольное освещение можно разложить на набор точечных источников, а линейность волнового уравнения можно использовать для применения этого принципа к каждому точечному источнику индивидуально. K (χ) в общем виде можно выразить как:

$~K(\chi )=\cos \chi$

В этом случае K удовлетворяет сформулированным выше условиям (максимальное значение при χ = 0 и нулевое значение при χ = π/2).

Обобщенный принцип Гюйгенса

Множество книг и ссылок – например (Greiner, 2002). и (Эндерс, 2009 г.) - обратитесь к обобщенному принципу Гюйгенса, используя определение в ( Фейнман , 1948).

Фейнман определяет обобщенный принцип следующим образом:

«На самом деле принцип Гюйгенса в оптике неверен. Его заменяет модификация Кирхгофа, которая требует, чтобы на прилегающей поверхности были известны как амплитуда, так и ее производная. Это следствие того, что волновое уравнение в оптике является вторым порядком по времени. Волновое уравнение квантовой механики имеет первый порядок по времени, поэтому принцип Гюйгенса верен для волн материи, где действие заменяет время».

Это проясняет тот факт, что в данном контексте обобщенный принцип отражает линейность квантовой механики и тот факт, что уравнения квантовой механики имеют первый порядок по времени. Наконец, только в этом случае полностью применим принцип суперпозиции, т.е. волновую функцию в точке P можно разложить как суперпозицию волн на граничной поверхности, охватывающей P. Волновые функции можно интерпретировать в обычном квантово-механическом смысле как плотности вероятности, где применяется формализм функций Грина и пропагаторов . Примечательно, что этот обобщенный принцип применим уже к «волнам материи», а не к световым волнам. Фазовый фактор теперь поясняется как заданный действием , и больше нет путаницы, почему фазы вейвлетов отличаются от фаз исходной волны и модифицируются дополнительными параметрами Френеля.

По Грейнеру обобщенный принцип может быть выражен для $t'>t$ в форме:

$\psi '(\mathbf {x} ',t')=i\int d^{3}x\,G(\mathbf {x} ',t';\mathbf {x} ,t)\psi (\mathbf {x} ,t)$

где G — обычная функция Грина, распространяющая во времени волновую функцию $\psi$. Это описание напоминает и обобщает исходную формулу Френеля классической модели.

Теория Гюйгенса, интеграл по траекториям Фейнмана и современная волновая функция фотона

Теория Гюйгенса послужила фундаментальным объяснением волновой природы интерференции света и была далее развита Френелем и Янгом, но не полностью разрешила все наблюдения, такие как эксперимент с двумя щелями низкой интенсивности , впервые выполненный Дж. И. Тейлором в 1909 году. только в начале и середине 1900-х годов обсуждалась квантовая теория, особенно первые дискуссии на Брюссельской Сольвеевской конференции 1927 года , где Луи де Бройль предложил свою гипотезу де Бройля о том, что фотон управляется волновой функцией.

Волновая функция дает совсем другое объяснение наблюдаемых светлых и темных полос в эксперименте с двумя щелями. В этой концепции фотон следует по пути, который представляет собой вероятностный выбор одного из многих возможных путей в электромагнитном поле. Эти вероятные пути формируют закономерность: в темных областях фотоны не приземляются, а в ярких областях приземляется много фотонов. Набор возможных путей фотона согласуется с теорией интеграла путей Ричарда Фейнмана: пути определяются окружающей средой: точкой происхождения фотона (атомом), щелью и экраном, а также отслеживанием и суммированием фаз. Волновая функция является решением этой геометрии. Подход волновой функции был дополнительно подтвержден дополнительными экспериментами с двумя щелями, проведенными в Италии и Японии в 1970-х и 1980-х годах с электронами.

Принцип Гюйгенса и квантовая теория поля

Принцип Гюйгенса можно рассматривать как следствие однородности пространства — пространство одинаково во всех местах. Любое возмущение, созданное в достаточно малой области однородного пространства (или в однородной среде), распространяется из этой области во всех геодезических направлениях. Волны, порождаемые этим возмущением, в свою очередь, создают возмущения в других регионах и так далее. Суперпозиция . всех волн приводит к наблюдаемой картине распространения волн

Однородность пространства является фундаментальной для квантовой теории поля (КТП), где волновая функция любого объекта распространяется по всем доступным беспрепятственным путям. При интегрировании по всем возможным путям с фазовым коэффициентом, пропорциональным действию , интерференция волновых функций правильно предсказывает наблюдаемые явления. Каждая точка волнового фронта действует как источник вторичных вейвлетов, которые распространяются в световом конусе с той же скоростью, что и волна. Новый волновой фронт находится путем построения поверхности, касательной к вторичным вейвлетам.

В других пространственных измерениях

В 1900 году Жак Адамар заметил, что принцип Гюйгенса нарушается, когда число пространственных измерений четное. Исходя из этого, он разработал ряд гипотез, которые остаются активной темой исследований. В частности, было обнаружено, что принцип Гюйгенса справедлив на большом классе однородных пространств, производных от группы Коксетера (так, например, на группах Вейля простых алгебр Ли ).

Традиционное утверждение принципа Гюйгенса для даламберианца порождает иерархию КдВ ; аналогично оператор Дирака порождает иерархию АКНС .

См. также

• Дифракция Фраунгофера
• Формула дифракции Кирхгофа
• функция Грина
• Теорема Грина
• Личности Грина
• Картина дифракции в ближнем поле
• Двухщелевой эксперимент
• Эффект ножа
• Принцип Ферма
• Фурье-оптика
• Принцип поверхностной эквивалентности
• Синтез волнового поля
• Интегральная теорема Кирхгофа

Дальнейшее чтение

• Страттон, Джулиус Адамс: Электромагнитная теория , McGraw-Hill, 1941. (Переиздано Wiley – IEEE Press, ISBN   978-0-470-13153-4 ).
• Б.Б. Бейкер и Э.Т. Копсон, Математическая теория принципа Гюйгенса , Оксфорд, 1939, 1950; АМС Челси, 1987 год.