Дифракция Френеля

В оптике уравнение дифракции Френеля для дифракции в ближнем поле представляет собой приближение дифракции Кирхгофа – Френеля , которое можно применить к распространению волн в ближнем поле . ^{[ 1 ]} Он используется для расчета дифракционной картины, создаваемой волнами, проходящими через отверстие или вокруг объекта, если смотреть с относительно близкого расстояния к объекту. Напротив, картина дифракции в дальней зоне определяется уравнением дифракции Фраунгофера .

Ближнее поле можно определить числом F Френеля $оптической$ схемы. Когда $F\ll 1$ считается, что дифрагированная волна находится в поле Фраунгофера. Однако достоверность дифракционного интеграла Френеля выводится с помощью приближений, полученных ниже. В частности, фазовые члены третьего порядка и выше должны быть незначительными, и это условие можно записать как

${\frac {F\theta ^{2}}{4}}\ll 1,$

где $\theta$ - максимальный угол, описываемый формулой $\theta \approx a/L,$ $а$ и $L$ такие же, как и в определении числа Френеля . Следовательно, это условие можно аппроксимировать как ${\textstyle {\frac {a^{4}}{4L^{3}\lambda }}\ll 1}$ .

Многократная дифракция Френеля на близко расположенных периодических гребнях ( ребристом зеркале ) вызывает зеркальное отражение ; этот эффект можно использовать для атомных зеркал . ^{[ 2 ]}

Раннее лечение этого явления

Некоторые из самых ранних работ по тому, что впоследствии стало известно как дифракция Френеля, были выполнены Франческо Марией Гримальди в Италии в 17 веке. В своей монографии «Свет» ^{[ 3 ]} Ричард К. Маклорин объясняет дифракцию Френеля, задавая вопрос, что происходит при распространении света и как на этот процесс влияет, когда барьер с щелью или отверстием вставляется в луч, создаваемый удаленным источником света. Он использует принцип Гюйгенса , чтобы исследовать, выражаясь классическими терминами, то, что происходит. Волновой фронт, который проходит от щели к экрану обнаружения на некотором расстоянии, очень близко аппроксимирует волновой фронт, исходящий через область зазора, без учета каких-либо незначительных взаимодействий с реальным физическим краем.

В результате, если щель очень узкая, могут возникать только дифракционные картины с яркими центрами. Если зазор постепенно расширять, то дифракционные картины с темными центрами будут чередоваться с дифракционными картинами со светлыми центрами. По мере увеличения зазора разница между темными и светлыми полосами уменьшается до тех пор, пока эффект дифракции больше не может быть обнаружен.

Маклорен не упоминает о возможности того, что центр серии дифракционных колец, образующихся при прохождении света через маленькое отверстие, может быть черным, но он указывает на обратную ситуацию, когда тень, создаваемая маленьким круглым объектом, может парадоксальным образом иметь яркую центр . (стр. 219)

В своей «Оптике » ^{[ 4 ]} Фрэнсис Уэстон Сирс предлагает математическую аппроксимацию, предложенную Френелем, которая предсказывает основные особенности дифракционных картин и использует только простую математику. Учитывая расстояние по перпендикуляру от отверстия в барьерном экране до ближайшего экрана обнаружения, а также длину волны падающего света, можно вычислить ряд областей, называемых элементами полупериода или зонами Френеля . Внутренняя зона представляет собой круг, а каждая последующая зона представляет собой концентрическое кольцевое кольцо. Если диаметр круглого отверстия в экране достаточен, чтобы обнажить первую или центральную зону Френеля, амплитуда света в центре экрана обнаружения будет вдвое больше, чем была бы, если бы экран обнаружения не был закрыт. Если диаметр круглого отверстия в экране достаточен, чтобы обнажить две зоны Френеля, то амплитуда в центре практически равна нулю. Это означает, что картина дифракции Френеля может иметь темный центр. Эти закономерности можно увидеть и измерить, и они хорошо соответствуют рассчитанным для них значениям.

Интеграл дифракции Френеля

электрического поля Согласно теории дифракции Рэлея-Зоммерфельда, картина дифракции в точке ( x , y , z ) задается следующим решением уравнения Гельмгольца :

$E(x,y,z)={\frac {1}{i\lambda }}\iint _{-\infty }^{+\infty }E(x',y',0){\frac {e^{ikr}}{r}}{\frac {z}{r}}\left(1+{\frac {i}{kr}}\right)\,dx'dy',$

где

$E(x',y',0)$ – электрическое поле в апертуре,
$r={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}}},$
$k$ это волновое число $2\pi /\lambda ,$
$i$ это мнимая единица .

Аналитическое решение этого интеграла быстро становится непрактично сложным для всех геометрий дифракции, кроме простейших. Поэтому его обычно рассчитывают численно.

Приближение Френеля

Основной проблемой решения интеграла является выражение r . Во-первых, мы можем упростить алгебру, введя замену $\rho ^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}.$

Подставляя в выражение для r , находим $r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}.$

Далее, с помощью биномиального разложения, ${\sqrt {1+u}}=(1+u)^{\frac {1}{2}}=1+{\frac {u}{2}}-{\frac {u^{2}}{8}}+\cdots$

Мы можем выразить $r$ как ${\begin{aligned}r&=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}\\&=z\left[1+{\frac {\rho ^{2}}{2z^{2}}}-{\frac {1}{8}}\left({\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}\right)^{2}+\cdots \right]\\&=z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}-{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}+\cdots \end{aligned}}$

Если рассматривать все члены биномиального ряда, то аппроксимации нет. ^{[ 5 ]} Подставим это выражение в аргумент экспоненты внутри интеграла; Ключом к приближению Френеля является предположение, что третий член очень мал и его можно игнорировать, а следовательно, и любые более высокие порядки. Чтобы сделать это возможным, он должен способствовать изменению экспоненты в течение почти нулевого члена. Другими словами, он должен быть много меньше периода комплексной экспоненты, т. е. $2\pi$ : $k{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}\ll 2\pi .$

Выражая k через длину волны, $k={\frac {2\pi }{\lambda }},$

мы получаем следующее соотношение: ${\frac {\rho ^{4}}{z^{3}\lambda }}\ll 8.$

Умножив обе части на $z^{3}/\lambda ^{3},$ у нас есть ${\frac {\rho ^{4}}{\lambda ^{4}}}\ll 8{\frac {z^{3}}{\lambda ^{3}}},$

или, заменив предыдущее выражение на $\rho ^{2},$ ${\frac {1}{\lambda ^{4}}}\left[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}\right]^{2}\ll 8{\frac {z^{3}}{\lambda ^{3}}}.$

Если это условие справедливо для всех значений $x$ , $x'$ , $y$ и $y'$ , то мы можем игнорировать третий член в выражении Тейлора. Более того, если третий член пренебрежимо мал, то все члены более высокого порядка будут еще меньше, поэтому их тоже можно игнорировать.

Для приложений, использующих оптические длины волн, длина волны $λ$ обычно на много порядков меньше соответствующих физических размеров. В частности, $\lambda \ll z,$

и $\lambda \ll \rho .$

Таким образом, с практической точки зрения требуемое неравенство всегда будет выполняться до тех пор, пока $\rho \ll z.$

Затем мы можем аппроксимировать выражение только с помощью первых двух членов: $r\approx z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}=z+{\frac {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}}{2z}}.$

Это уравнение представляет собой приближение Френеля , а указанное выше неравенство является условием применимости приближения.

Дифракция Френеля

Условие достоверности довольно слабое и позволяет всем параметрам длины принимать сопоставимые значения при условии, что апертура мала по сравнению с длиной пути. Что касается $r$ в знаменателе, мы делаем еще один шаг и аппроксимируем его только первым членом: $r\approx z.$ Это справедливо, в частности, если нас интересует поведение поля только в небольшой области, близкой к началу координат, где значения $x$ и $y$ намного меньше $z$ . В общем, дифракция Френеля действительна, если число Френеля примерно равно 1.

Для дифракции Френеля электрическое поле в точке $(x,y,z)$ затем дается $E(x,y,z)={\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}\iint _{-\infty }^{+\infty }E(x',y',0)e^{{\frac {ik}{2z}}\left[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}\right]}\,dx'dy'.$

Это интеграл дифракции Френеля; это означает, что, если приближение Френеля справедливо, распространяющееся поле представляет собой сферическую волну, зарождающуюся в апертуре и движущуюся вдоль $z$ . Интеграл модулирует амплитуду и фазу сферической волны. Аналитическое решение этого выражения пока возможно лишь в редких случаях. Для дальнейшего упрощенного случая, действительного только для гораздо больших расстояний от источника дифракции, см. Дифракция Фраунгофера . В отличие от дифракции Фраунгофера, дифракция Френеля учитывает кривизну волнового фронта , чтобы правильно рассчитать относительную фазу интерферирующих волн.

Альтернативные формы

Свертка

Интеграл можно выразить и другими способами, чтобы вычислить его, используя некоторые математические свойства. Если мы определим функцию $h(x,y,z)={\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}e^{i{\frac {k}{2z}}(x^{2}+y^{2})},$

тогда интеграл можно выразить через свертку : $E(x,y,z)=E(x,y,0)*h(x,y,z);$

другими словами, мы представляем распространение, используя моделирование линейным фильтром. Вот почему мы могли бы вызвать функцию $h(x,y,z)$ импульсный отклик распространения в свободном пространстве.

Преобразование Фурье

Другой возможный способ — через преобразование Фурье . Если в интеграле выразить $k$ через длину волны: $k={\frac {2\pi }{\lambda }}$

и разложим каждую составляющую поперечного перемещения: ${\begin{aligned}\left(x-x'\right)^{2}&=x^{2}+x'^{2}-2xx',\\\left(y-y'\right)^{2}&=y^{2}+y'^{2}-2yy',\end{aligned}}$

тогда мы можем выразить интеграл через двумерное преобразование Фурье. Давайте воспользуемся следующим определением: $G(p,q)={\mathcal {F}}\{g(x,y)\}\equiv \iint _{-\infty }^{\infty }g(x,y)e^{-i2\pi (px+qy)}\,dx\,dy,$

где $p$ и $q$ — пространственные частоты ( волновые числа ). Интеграл Френеля можно выразить как ${\begin{aligned}E(x,y,z)&=\left.{\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}e^{i{\frac {\pi }{\lambda z}}(x^{2}+y^{2})}{\mathcal {F}}\left\{E(x',y',0)e^{i{\frac {\pi }{\lambda z}}(x'^{2}+y'^{2})}\right\}\right|_{p={\frac {x}{\lambda z}},\ q={\frac {y}{\lambda z}}}\\&=h(x,y)\cdot G(p,q){\big |}_{p={\frac {x}{\lambda z}},\ q={\frac {y}{\lambda z}}}.\end{aligned}}$

То есть сначала умножьте поле, подлежащее распространению, на комплексную экспоненту, вычислите его двумерное преобразование Фурье, замените $(p,q)$ с $\left({\tfrac {x}{\lambda z}},{\tfrac {y}{\lambda z}}\right)$ и умножьте его на другой коэффициент. Это выражение лучше других, когда процесс приводит к известному преобразованию Фурье, а связь с преобразованием Фурье усиливается в линейном каноническом преобразовании , обсуждаемом ниже.

Линейное каноническое преобразование

С точки зрения линейного канонического преобразования , дифракцию Френеля можно рассматривать как сдвиг в частотно-временной области , что соответствует тому, как преобразование Фурье представляет собой вращение в частотно-временной области.

См. также

Примечания

^ Борн, Макс ; Вольф, Эмиль (1999). Принципы оптики (7-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-642221 .
^ Х. Оберст, Д. Кузнецов, К. Симидзу, Дж. Фудзита, Ф. Симидзу. Дифракционное зеркало Френеля для атомных волн , Physical Review Letters , 94 , 013203 (2005).
^ Свет , Ричард К. Маклорин, 1909, издательство Колумбийского университета.
^ Оптика , Фрэнсис Уэстон Сирс, с. 248ff, Аддисон-Уэсли, 1948 г.
^ На предыдущем этапе на самом деле было приближение, когда предполагалось $e^{ikr}/r$ настоящая волна. На самом деле это не вещественное решение векторного уравнения Гельмгольца , а скалярное. См. приближение скалярной волны .

Ссылки

Гудман, Джозеф В. (1996). Введение в оптику Фурье . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл . ISBN 0-07-024254-2 .

[1] Борн, Макс ; Вольф, Эмиль (1999). Принципы оптики (7-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-642221 .

[2] Х. Оберст, Д. Кузнецов, К. Симидзу, Дж. Фудзита, Ф. Симидзу. Дифракционное зеркало Френеля для атомных волн , Physical Review Letters , 94 , 013203 (2005).

[3] Свет , Ричард К. Маклорин, 1909, издательство Колумбийского университета.

[4] Оптика , Фрэнсис Уэстон Сирс, с. 248ff, Аддисон-Уэсли, 1948 г.

[5] На предыдущем этапе на самом деле было приближение, когда предполагалось $e^{ikr}/r$ настоящая волна. На самом деле это не вещественное решение векторного уравнения Гельмгольца , а скалярное. См. приближение скалярной волны .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]