Дифракция Фраунгофера

	Дифракция Фраунгофера возникает, когда: (состояние Фраунгофера)
	– наибольший размер дифрагирующего отверстия или щели, – Длина волны, – Меньшее из двух расстояний: одно находится между дифрагирующей апертурой и плоскостью наблюдения, а другое – между дифрагирующей плоскостью и точечным источником волн.

В оптике используется уравнение дифракции Фраунгофера для моделирования дифракции волн при падении плоских волн на дифрагирующий объект, причем дифракционная картина рассматривается на достаточно большом расстоянии (расстоянии, удовлетворяющем условию Фраунгофера ) от объекта (в дальней -область поля), а также когда на него смотрят в фокальной плоскости визуализирующей линзы . ^[1]^[2] Напротив, дифракционная картина, создаваемая вблизи дифрагирующего объекта и (в ближней области поля ), задается уравнением дифракции Френеля .

Уравнение было названо в честь Йозефа фон Фраунгофера. ^[3] хотя на самом деле он не участвовал в разработке теории. ^{[ нужна ссылка ]}

В этой статье объясняется, где можно применить уравнение Фраунгофера, и показаны дифракционные картины Фраунгофера для различных апертур. Подробное математическое описание дифракции Фраунгофера дано в уравнении дифракции Фраунгофера .

Уравнение

Пример дифракции Фраунгофера в дальнем поле для нескольких форм апертуры.

Когда луч света частично перекрывается препятствием, часть света рассеивается вокруг объекта, на краю тени часто видны светлые и темные полосы – этот эффект известен как дифракция . ^[4] Эти эффекты можно смоделировать с использованием принципа Гюйгенса-Френеля ; Гюйгенс постулировал, что каждая точка волнового фронта действует как источник сферических вторичных вейвлетов, и сумма этих вторичных вейвлетов определяет форму исходящей волны в любой последующий момент времени, в то время как Френель разработал уравнение, используя вейвлеты Гюйгенса вместе с принципом суперпозиции. волн, что достаточно хорошо моделирует эти дифракционные эффекты.

Как правило, нелегко вычислить амплитуду волны, заданную суммой вторичных вейвлетов (сумма волн также является волной), каждый из которых имеет свою собственную амплитуду , фазу и направление колебаний ( поляризацию ), поскольку это предполагает сложение из множества волн различной амплитуды, фазы и поляризации. Когда две световые волны как электромагнитные поля складываются вместе ( векторная сумма ), амплитуда суммы волн зависит от амплитуд, фаз и даже поляризации отдельных волн. В определенном направлении, где проецируются поля электромагнитных волн (или если рассматривать ситуацию, когда две волны имеют одинаковую поляризацию), две волны одинаковой (проецируемой) амплитуды , находящиеся в фазе (одной и той же фазе), дают амплитуду результирующей суммы волн как двойную амплитуды отдельных волн, в то время как две волны одинаковой амплитуды, находящиеся в противоположных фазах, дают нулевую амплитуду результирующей волны, поскольку они нейтрализуют друг друга. Как правило, необходимо решать двумерный интеграл по комплексным переменным, и во многих случаях аналитическое решение невозможно. ^[5]

Уравнение дифракции Фраунгофера представляет собой упрощенную версию формулы дифракции Кирхгофа , и его можно использовать для моделирования дифракции света, когда и источник света, и плоскость наблюдения (плоскость наблюдения, где наблюдается дифрагированная волна) фактически бесконечно удалены от дифрагирующей апертуры. . ^[6] При достаточно удаленном источнике света от дифрагирующей апертуры свет, падающий на апертуру, фактически представляет собой плоскую волну , так что фаза света в каждой точке апертуры одинакова. При достаточно удалении плоскости наблюдения от апертуры фаза волны, приходящей из каждой точки апертуры, изменяется линейно в зависимости от положения точки на апертуре, что приводит к вычислению суммы волн в точке наблюдения на плоскости апертуры. во многих случаях наблюдение относительно простое. В этом случае даже амплитуды вторичных волн, исходящих из апертуры в точке наблюдения, можно считать одинаковыми или постоянными для простого расчета дифракционных волн. Дифракция при таких геометрических требованиях называется дифракцией Фраунгофера , а условие, при котором действительна дифракция Фраунгофера, называется условием Фраунгофера , как показано в правом поле. ^[7] Дифрагированную волну часто называют дальним полем, если она хотя бы частично удовлетворяет условию Фраунгофера, при котором расстояние между апертурой и плоскостью наблюдения $L$ является $L\gg {\frac {W^{2}}{\lambda }}$ .

Например, если круглое отверстие диаметром 0,5 мм освещается лазерным светом с длиной волны 0,6 мкм, то дифракция Фраунгофера возникает, если расстояние просмотра превышает 1000 мм.

Вывод условия Фраунгофера

Вывод условия Фраунгофера здесь основан на геометрии, описанной в правом поле. ^[8] Путь r ₂ дифрагированной волны может быть выражен через другой путь r ₁ дифрагированной волны и расстояние b между двумя дифрагирующими точками с использованием закона косинусов ;

${r_{2}}={\left(r_{1}^{2}+b^{2}-2b{r_{1}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\right)}^{\frac {1}{2}}={r_{1}}{\left(1+{\frac {b^{2}}{r_{1}^{2}}}-2{\frac {b}{r_{1}}}\sin \theta \right)}^{\frac {1}{2}}.$

выражения Это можно расширить, вычислив ряд Тейлора до второго порядка по отношению к ${\frac {b}{r_{1}}}$ , ${r_{2}}={r_{1}}\left(1-{\frac {b}{r_{1}}}\sin \theta +{\frac {b^{2}}{2r_{1}^{2}}}\cos ^{2}\theta +\cdots \right)={r_{1}}-b\sin \theta +{\frac {b^{2}}{2r_{1}}}\cos ^{2}\theta +\cdots ~.$

Разность фаз между волнами, распространяющимися по путям r ₂ и r _1, равна, с волновым числом, где λ - длина волны света, $k{r_{2}}-k{r_{1}}=-kb\sin \theta +k{\frac {b^{2}}{2r_{1}}}\cos ^{2}\theta +\cdots .$

Если $k{\frac {b^{2}}{2{r_{1}}}}\cos ^{2}\theta =\pi {\frac {b^{2}}{\lambda r_{1}}}\cos ^{2}\theta \ll \pi$ так ${\frac {b^{2}}{\lambda r_{1}}}\cos ^{2}\theta \ll 1$ , то разность фаз равна $kr_{2}-kr_{1}\approx -kb\sin \theta$ . Геометрический вывод из этого выражения состоит в том, что пути r ₂ и r ₁ примерно параллельны друг другу. Поскольку может существовать траектория дифрагированной волны плоскость дифракции - плоскость наблюдения, угол которой относительно прямой, параллельной оптической оси, близок к 0, это условие аппроксимации можно дополнительно упростить как ${\frac {b^{2}}{\lambda }}\ll L$ где L — расстояние между двумя плоскостями вдоль оптической оси. Ввиду того, что падающая на дифрагирующую плоскость волна фактически является плоской волной, если ${\frac {b^{2}}{\lambda }}\ll L$ где L — расстояние между дифрагирующей плоскостью и точечным источником волны, выполняется условие Фраунгофера ${\frac {b^{2}}{\lambda }}\ll L$ где L — меньшее из двух расстояний: одно находится между дифрагирующей плоскостью и плоскостью наблюдения, а другое — между дифрагирующей плоскостью и точечным источником волн.

Фокальная плоскость положительной линзы как плоскость дальнего поля.

В дальнем поле пути распространения вейвлетов от каждой точки апертуры до точки наблюдения примерно параллельны, а положительная линза (фокусирующая линза) фокусирует параллельные лучи по направлению к линзе в точку на фокальной плоскости (положение точки фокусировки в фокальной плоскости зависит от угла параллельных лучей относительно оптической оси). Итак, если после апертуры поместить положительную линзу с достаточно большим фокусным расстоянием (чтобы можно было пренебречь различиями в ориентациях электрического поля для вейвлетов в фокусе), то линза практически создает на своем фокусе фраунгоферовскую дифракционную картину апертуры. плоскости, когда параллельные лучи встречаются в фокусе. ^[9]

Примеры

В каждом из этих примеров апертура освещается монохроматической плоской волной при нормальном падении.

Дифракция на узкой прямоугольной щели.

щели $W.$ Ширина На изображении показана дифракционная картина Фраунгофера вместе с графиком зависимости интенсивности от угла $θ$ . ^[10] Рисунок имеет максимальную интенсивность при $θ = 0$ и серию пиков уменьшающейся интенсивности. Большая часть дифрагированного света попадает между первыми минимумами. Угол $α$ , образованный этими двумя минимумами, определяется выражением: ^[11]

$\alpha \approx {\frac {2\lambda }{W}}$

Таким образом, чем меньше апертура, тем больше угол $α,$ охватываемый дифракционными полосами. Размер центральной полосы на расстоянии $z$ определяется выражением

$d_{f}={\frac {2\lambda z}{W}}$

Например, когда щель шириной 0,5 мм освещается светом с длиной волны 0,6 мкм и рассматривается на расстоянии 1000 мм, ширина центральной полосы на дифракционной картине составляет 2,4 мм.

Полосы простираются до бесконечности в $направлении y,$ поскольку щель и освещение также простираются до бесконечности.

Если $W < λ$ , интенсивность дифрагированного света не падает до нуля, а если $D << λ$ , дифрагированная волна имеет цилиндрическую форму.

Полуколичественный анализ однощелевой дифракции

Мы можем найти угол, при котором достигается первый минимум в дифрагированном свете, используя следующие рассуждения. Рассмотрим свет, дифрагированный под углом $θ$ , где расстояние $CD$ равно длине волны освещающего света. Ширина щели равна расстоянию $AC$ . Компонента вейвлета, излучаемого из точки A, которая движется в $направлении θ$ , находится в противофазе с волной из точки $B$ в середине щели, так что чистый вклад $под углом θ$ этих двух волн равен нулю. . То же самое относится и к точкам чуть ниже $A$ и $B$ и так далее. Следовательно, амплитуда полной волны, бегущей в направлении $θ,$ равна нулю. У нас есть:

$\theta _{\text{min}}\approx {\frac {CD}{AC}}={\frac {\lambda }{W}}.$

Тогда угол, образованный первыми минимумами по обе стороны от центра, будет таким же, как указано выше:

$\alpha =2\theta _{\text{min}}={\frac {2\lambda }{W}}.$

Не существует такого простого аргумента, который позволил бы нам найти максимумы дифракционной картины.

Дифракция на одной щели с использованием принципа Гюйгенса

Непрерывная поперечная решетка точечных источников длиной a .

Мы можем разработать выражение для дальней зоны непрерывной группы точечных источников одинаковой амплитуды и одной фазы. Пусть массив длины a параллелен оси y с центром в начале координат, как показано на рисунке справа. Тогда дифференциальное поле будет: ^[12]

$dE={\frac {A}{r_{1}}}e^{i\omega [t-(r_{1}/c)]}dy={\frac {A}{r_{1}}}e^{i(\omega t-\beta r_{1})}dy$

где $\beta =\omega /c=2\pi /\lambda$ . Однако $r_{1}=r-y\sin \theta$ и интегрирование из $-a/2$ к $a/2$ ,

$E\simeq A'\int _{-a/2}^{a/2}e^{i\beta y\sin \theta }dy$ где $A'={\frac {Ae^{i(\omega t-\beta r)}}{r}}$ .

Интегрируя, мы получаем $E={\frac {2A'}{\beta \sin \theta }}\sin \left({\frac {\beta a}{2}}\sin \theta \right)$

Сдача в аренду $\psi ^{'}=\beta a\sin \theta =\alpha _{r}\sin \theta$ где длина массива в радианах равна $a_{r}=\beta a=2\pi a/\lambda$ , затем, ^[12] $E=A'a{\frac {\sin(\psi ^{'}/2)}{\psi ^{'}/2}}$

Дифракция на прямоугольной апертуре

Форма дифракционной картины, заданная прямоугольной апертурой, показана на рисунке справа (или выше, в формате планшета). ^[13] В центре находится полупрямоугольная вершина с рядом горизонтальных и вертикальных полос. Размеры центральной полосы связаны с размерами щели тем же соотношением, что и для одиночной щели, так что больший размер дифрагированного изображения соответствует меньшему размеру в щели. Расстояние между полосами также обратно пропорционально размеру щели.

Если освещающий луч не освещает всю вертикальную длину щели, расстояние между вертикальными полосами определяется размерами освещающего луча. Внимательное изучение дифракционной картины с двумя щелями ниже показывает, что существуют очень тонкие горизонтальные дифракционные полосы выше и ниже основного пятна, а также более очевидные горизонтальные полосы.

Дифракция на круглой апертуре

Компьютерное моделирование дифракционной картины Эйри

Дифракционная картина, создаваемая круглой апертурой, показана на рисунке справа. ^[14] Это известно как картина дифракции Эйри . Видно, что большая часть света находится в центральном диске. Угол, образуемый этим диском, известный как диск Эйри, равен

$\alpha \approx {\frac {1.22\lambda }{W}}$ где $W$ – диаметр отверстия.

Диск Эйри может быть важным параметром, ограничивающим способность системы обработки изображений распознавать близко расположенные объекты.

Дифракция на апертуре с гауссовым профилем

Дифракционная картина, полученная от апертуры с гауссовским профилем, например, от фотографического предметного стекла, коэффициент пропускания которого имеет гауссово изменение, также является функцией Гаусса. Вид функции показан справа (вверху для планшета), и видно, что в отличие от дифракционных картин, создаваемых прямоугольными или круглыми апертурами, она не имеет вторичных колец. ^[15] Этот метод можно использовать в процессе, называемом аподизацией : апертура закрывается фильтром Гаусса, создавая дифракционную картину без вторичных колец.

Выходной профиль одномодового лазерного луча может иметь гауссовский профиль интенсивности, и уравнение дифракции можно использовать, чтобы показать, что он сохраняет этот профиль, как бы далеко он ни распространялся от источника. ^[16]

Дифракция на двойной щели

В эксперименте с двумя щелями две щели освещаются одним световым лучом. Если ширина щелей достаточно мала (меньше длины волны света), щели преломляют свет на цилиндрические волны. Эти два цилиндрических волновых фронта накладываются друг на друга, и амплитуда, а, следовательно, и интенсивность, в любой точке объединенных волновых фронтов зависит как от величины, так и от фазы двух волновых фронтов. ^[17] Эти полосы часто называют полосами Янга .

Угловое расстояние между полосами определяется выражением $\theta _{\text{f}}=\lambda /d.$

Расстояние между полосами на расстоянии $z$ от щелей определяется выражением ^[18] $w_{\text{f}}=z\theta _{f}=z\lambda /d,$ где $d$ — расстояние между щелями.

Полосы на снимке были получены с использованием желтого света натриевого источника света (длина волны = 589 нм) с щелями, разделенными на 0,25 мм, и проецировались непосредственно на плоскость изображения цифровой камеры.

Двухщелевые интерференционные полосы можно наблюдать, прорезав две прорези в куске карты, осветив их лазерной указкой и наблюдая дифрагированный свет на расстоянии 1 м. Если расстояние между щелями составляет 0,5 мм, а длина волны лазера 600 нм, то расстояние между полосами, наблюдаемыми на расстоянии 1 м, составит 1,2 мм.

Полуколичественное объяснение двухщелевых полос

Разница в фазе между двумя волнами определяется разницей в расстоянии, пройденном двумя волнами.

Если расстояние просмотра велико по сравнению с расстоянием между щелями ( дальнее поле ), разность фаз можно найти с помощью геометрии, показанной на рисунке. Разность хода между двумя волнами, движущимися под углом $θ,$ определяется выражением $d\sin \theta \approx d\theta .$

Когда две волны находятся в фазе, т. е. разность хода равна целому числу длин волн, суммарная амплитуда и, следовательно, суммарная интенсивность максимальны, а когда они находятся в противофазе, т. е. разность хода равна половине длина волны, полторы длины волны и т. д., то две волны взаимно сокращаются, и суммарная интенсивность равна нулю. Этот эффект известен как интерференция .

Максимумы интерференционных полос располагаются под углами $d\theta _{n}=n\lambda ,\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$ где $λ$ — длина волны света. Угловое расстояние между полосами определяется выражением $\theta _{\text{f}}\approx \lambda /d.$

Когда расстояние между щелями и плоскостью просмотра равно $z$ , расстояние между полосами равно $zθ$ и такое же, как указано выше: $w=z\lambda /d.$

Дифракция на решетке

Решетка определяется Борном и Вольфом как «любое устройство, которое налагает на падающую волну периодическое изменение амплитуды или фазы, или того и другого».

Решетка, элементы которой разделены $S,$ дифрагирует нормально падающий луч света на набор лучей под углами $θ n$ , определяемыми формулой: ^[19]

$~\sin \theta _{n}={\frac {n\lambda }{S}},\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$

Это известно как уравнение решетки . Чем меньше шаг решетки, тем больше угловое разделение дифрагированных лучей.

Если свет падает под углом $θ 0$ , уравнение решетки имеет вид: $\sin \theta _{n}={\frac {n\lambda }{S}}+\sin \theta _{0},\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$

Детальная структура повторяющегося рисунка определяет форму отдельных дифрагированных лучей, а также их относительную интенсивность, в то время как шаг решетки всегда определяет углы дифрагированных лучей.

На изображении справа показан лазерный луч, дифрагированный решеткой на $лучи n$ = 0 и ±1. Углы лучей первого порядка составляют около 20°; если предположить, что длина волны лазерного луча равна 600 нм, мы можем сделать вывод, что шаг решетки составляет около 1,8 мкм.

Полуколичественное объяснение

Простая решетка состоит из ряда щелей в экране. Если свет, распространяющийся под углом $θ$ от каждой щели, имеет разность хода в одну длину относительно соседней щели, все эти волны складываются вместе, так что максимальная интенсивность дифрагированного света получается, когда:

$W\sin \theta =n\lambda ,\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$

Это та самая зависимость, которая приведена выше.

См. также

Ссылки

^ Рожденный и Вольф 1999 , с. 427
^ Дженкинс и Уайт 1957 , с. 288
^ «Фраунгофер, Йозеф фон (1787-1826) — из «Мира научной биографии» Эрика Вейсштейна» .
^ Небеса, ОС; Дитчберн, RW (1991). Знакомство с оптикой . Чичестер: Лонгман и сыновья. п. 62. ИСБН 0-471-92769-4 . OCLC 22114471 .
^ Рожденный и Вольф 1999 , с. 425
^ Дженкинс и Уайт, 1957 , раздел 15.1, с. 288
^ Липсон, А.; Липсон, СГ; Липсон, Х. (2011). Оптическая физика (4-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 203. ИСБН 978-0-521-49345-1 . OCLC 637708967 .
^ Хехт, Юджин (2017). «Задача 9.21». Оптика (5-е изд.). Пирсон. п. 453. ИСБН 978-1-292-09693-3 .
^ Хехт 2002 , с. 448
^ Hecht 2002 , рисунки 10.6 (b) и 10.7 (e).
^ Дженкинс и Уайт 1957 , с. 297
^ Jump up to: ^а ^б Краус, Джон Дэниел; Мархефка, Рональд Дж. (2002). Антенны для любого применения . МакГроу-Хилл. ISBN 9780072321036 .
^ Born & Wolf 1999 , рисунок 8.10.
^ Born & Wolf 1999 , рисунок 8.12.
^ Хехт 2002 , рисунок 11.33.
^ Хехт 2002 , рисунок 13.14.
^ Born & Wolf 1999 , рисунок 7.4.
^ Hecht 2002 , ур. (9.30).
^ Лонгхерст, RS (1967). Геометрическая и физическая оптика (2-е изд.). Лондон: Лонгманс. уравнение (12.1).

Источники

Гудман, Джозеф В. (1996). Введение в оптику Фурье (второе изд.). Сингапур: The McGraw-Hill Companies, Inc., с. 73. ИСБН 0-07-024254-2 .
Борн, Макс ; Вольф, Эмиль (1999). Принципы оптики: электромагнитная теория распространения, интерференции и дифракции света (7-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-64222-4 . ОСЛК 40200160 .
Хехт, Юджин (2002). Оптика (4-е изд.). Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. ISBN 0-321-18878-0 . OCLC 47126713 .
Дженкинс, ФА; Уайт, HE (1957). Основы оптики (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу Хилл.

Внешние ссылки

[1] Рожденный и Вольф 1999 , с. 427

[2] Дженкинс и Уайт 1957 , с. 288

[3] «Фраунгофер, Йозеф фон (1787-1826) — из «Мира научной биографии» Эрика Вейсштейна» .

[4] Небеса, ОС; Дитчберн, RW (1991). Знакомство с оптикой . Чичестер: Лонгман и сыновья. п. 62. ИСБН 0-471-92769-4 . OCLC 22114471 .

[5] Рожденный и Вольф 1999 , с. 425

[6] Дженкинс и Уайт, 1957 , раздел 15.1, с. 288

[7] Липсон, А.; Липсон, СГ; Липсон, Х. (2011). Оптическая физика (4-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 203. ИСБН 978-0-521-49345-1 . OCLC 637708967 .

[8] Хехт, Юджин (2017). «Задача 9.21». Оптика (5-е изд.). Пирсон. п. 453. ИСБН 978-1-292-09693-3 .

[9] Хехт 2002 , с. 448

[10] Hecht 2002 , рисунки 10.6 (b) и 10.7 (e).

[11] Дженкинс и Уайт 1957 , с. 297

[:0-12] Jump up to: ^а ^б Краус, Джон Дэниел; Мархефка, Рональд Дж. (2002). Антенны для любого применения . МакГроу-Хилл. ISBN 9780072321036 .

[13] Born & Wolf 1999 , рисунок 8.10.

[14] Born & Wolf 1999 , рисунок 8.12.

[15] Хехт 2002 , рисунок 11.33.

[16] Хехт 2002 , рисунок 13.14.

[17] Born & Wolf 1999 , рисунок 7.4.

[18] Hecht 2002 , ур. (9.30).

[19] Лонгхерст, RS (1967). Геометрическая и физическая оптика (2-е изд.). Лондон: Лонгманс. уравнение (12.1).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]