Уравнение дифракции Фраунгофера

Другие статьи, носящие имя физика, см. Фраунгофера (значения) .

Для более широкого освещения этой темы см. Дифракцию Фраунгофера .

В оптике используется уравнение дифракции Фраунгофера для моделирования дифракции волн, когда дифракционную картину рассматривают на большом расстоянии от дифрагирующего объекта, а также когда ее рассматривают в фокальной плоскости отображающей линзы .

Уравнение было названо в честь Йозефа фон Фраунгофера, хотя фактически он не принимал участия в разработке теории.

В этой статье приводится уравнение в различных математических формах и приводятся подробные расчеты дифракционной картины Фраунгофера для нескольких различных форм дифрагирующих апертур, особенно для нормально падающей монохроматической плоской волны. Качественное обсуждение дифракции Фраунгофера можно найти в другом месте .

Определение

Когда луч света частично блокируется препятствием, часть света рассеивается вокруг объекта, а на краю тени часто видны светлые и темные полосы – этот эффект известен как дифракция. Уравнение дифракции Кирхгофа представляет собой выражение, полученное из волнового уравнения , которое описывает волну, дифрагированную апертурой; аналитические решения этого уравнения недоступны для большинства конфигураций.

Уравнение дифракции Фраунгофера представляет собой приближение, которое можно применять, когда дифрагированная волна наблюдается в дальнем поле , а также когда для фокусировки дифрагированного света используется линза; во многих случаях для уравнения Фраунгофера доступно простое аналитическое решение - некоторые из них получены ниже.

В декартовых координатах

Геометрия дифракции, показывающая плоскость апертуры (или дифрагирующего объекта) и плоскость изображения с системой координат.

Если апертура находится в плоскости x ' y ' , с началом в апертуре и освещена монохроматической волной с длиной волны λ, волновым числом k с комплексной амплитудой A ( x ' , y ' ) , и дифрагированная волна наблюдается в нештрихованная плоскость x,y вдоль положительного $z$-ось, где l , m — направляющие косинусы точки x,y относительно начала координат. Комплексная амплитуда U ( x , y ) дифрагированной волны определяется уравнением дифракции Фраунгофера как:

$${\begin{aligned}U(x,y,z)&\propto \iint _{\text{Aperture}}\,A(x',y')e^{-i{\frac {2\pi }{\lambda }}(lx'+my')}\,dx'\,dy'\\&\propto \iint _{\text{Aperture}}\,A(x',y')e^{-ik(lx'+my')}\,dx'\,dy'\end{aligned}}$$

Из этого уравнения видно, что форма дифракционной картины зависит только от направления наблюдения, поэтому с изменением расстояния просмотра дифракционная картина меняется по размеру, но не по форме.

В явном виде уравнение дифракции Фраунгофера имеет вид $${\begin{aligned}U(x,y,z)\approx {\frac {e^{ikz}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}}{i\lambda z}}\iint _{\text{Aperture}}\,A(x',y')e^{-i{\frac {k}{z}}(x'x+y'y)}\,dx'\,dy'\end{aligned}}$$где $k={2\pi }/{\lambda }$.

Видно, что интеграл в приведенных выше уравнениях представляет собой преобразование Фурье апертурной функции, оцененной на частотах. $${\begin{aligned}f_{x}&=x/(\lambda z)=l/\lambda \\f_{y}&=y/(\lambda z)=m/\lambda \end{aligned}}$$

Таким образом, мы также можем записать уравнение в терминах преобразования Фурье как: $$U(x,y,z)\propto {\hat {f}}[A(x',y')]_{f_{x}f_{y}}$$где Â преобразование Фурье A. — Формулировка преобразования Фурье может быть очень полезна при решении задач дифракции.

Другая форма:

$$U(\mathbf {r} )\propto {\int _{\text{Aperture}}A(\mathbf {r'} )e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {r'} -\mathbf {r} )}dr'}={\int _{\text{Aperture}}a_{0}(\mathbf {r'} )e^{i\mathbf {(k_{0}-k)} \cdot (\mathbf {r'} -\mathbf {r} )}dr'}$$

где r и r' точку в апертуре соответственно, k0 _и представляют точку наблюдения и k представляют волновые векторы возмущения в апертуре и дифрагированных волн соответственно, а ( _{представляет} r ' ) собой величину a0 возмущение в апертуре.

В полярных координатах

Когда дифрагирующая апертура имеет круговую симметрию, полезно использовать полярные, а не декартовы координаты.

Точка в апертуре имеет координаты ρ , ω, дающие: $$x'=\rho '\cos \omega ';y'=\rho '\sin \omega '$$и $$x=\rho \cos \omega ;y=\rho \sin \omega$$

Комплексная амплитуда в точке ρ' определяется как A ( ρ ) , а площадь d x d y преобразуется в ρ ′ d ρ ′ d ω ′ , что дает $${\begin{aligned}U(\rho ,\omega ,z)&\propto \int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }A(\rho ')e^{-i{\frac {2\pi }{\lambda z}}(\rho \rho '\cos \omega \cos \omega '+\rho \rho '\sin \omega \sin \omega ')}\rho 'd\rho 'd\omega '\\&\propto \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }A(\rho ')e^{-i{\frac {2\pi }{\lambda z}}\rho \rho '\cos(\omega -\omega ')}\,d\omega '\rho '\,d\rho '\end{aligned}}$$

Используя интегральное представление функции Бесселя : $$J_{0}(p)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{ip\cos \alpha }\,d\alpha$$у нас есть $$U(\rho ,z)\propto 2\pi \int _{0}^{\infty }A(\rho ')J_{0}\left({\frac {2\pi \rho '\rho }{\lambda z}}\right)\rho '\,d\rho '$$

где интегрирование по ω дает 2 π, отсутствует поскольку уравнение кругово-симметричное, т. е. зависимость от ω .

В этом случае мы имеем U ( ρ , z ) равный преобразованию Фурье-Бесселя или Ханкеля апертурной функции, A ( ρ )

Пример

Здесь приведены примеры дифракции Фраунгофера на нормально падающей монохроматической плоской волне.

В каждом случае дифрагирующий объект расположен в плоскости z = 0 , а комплексная амплитуда падающей плоской волны определяется выражением $$A(x',y')=ae^{i2\pi ct/\lambda }=ae^{ikct}$$где

• а — величина волнового возмущения,
• λ — длина волны,
• с — скорость света,
• это время
• k = 2 π / λ — волновое число

и фаза равна нулю в момент времени t = 0 .

Коэффициент, зависящий от времени, опускается в расчетах, поскольку он остается постоянным и усредняется при интенсивности расчете . Интенсивность в точке r пропорциональна амплитуде, умноженной на ее комплексно-сопряженную величину. $$I(\mathbf {r} )\propto U(\mathbf {r} ){\overline {U}}(\mathbf {r} )$$

Эти выводы можно найти в большинстве стандартных книг по оптике, в несколько иной форме и с использованием разных обозначений. Ссылка дается для каждой из смоделированных здесь систем. Используемые преобразования Фурье можно найти здесь .

Узкая прямоугольная щель

График и изображение дифракции на одной щели

Апертура представляет собой щель шириной W , расположенную вдоль оси y ,

Решение путем интеграции

Предполагая, что центр щели расположен в точке x = 0 , первое уравнение выше для всех значений y имеет вид: $${\begin{aligned}U(x,z)&=a\int _{-W/2}^{W/2}e^{{-2\pi ixx'}/(\lambda z)}\,dx'\\[4pt]&=-{\frac {a\lambda z}{2\pi ix}}\left[e^{{-2\pi ixx'}/(\lambda z)}\right]_{-W/2}^{W/2}\end{aligned}}$$

Используя формулу Эйлера , это можно упростить до: $${\begin{aligned}U(x,z)&=aW{\frac {\sin \left[{\frac {\pi Wx}{\lambda z}}\right]}{\frac {\pi Wx}{\lambda z}}}\\&=aW\operatorname {sinc} {\frac {\pi Wx}{\lambda z}}\end{aligned}}$$

где sinc ( p ) = sin( p )/ p . Функция sinc иногда определяется как sin( π p )/ π p, и это может вызвать путаницу при просмотре выводов в разных текстах.

Это также можно записать как: $$U(\theta )=aW\operatorname {sinc} \left[{\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\right]$$где θ — угол между осью z и линией, соединяющей x с началом координат, и sin θ ≈ x / z, когда θ << 1 .

Решение преобразования Фурье

Разрез можно представить функцией rect как: $$\operatorname {rect} \left({\frac {x}{W}}\right)$$

Преобразование Фурье этой функции имеет вид $${\hat {f}}(\operatorname {rect} (ax))={\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {\xi }{a}}\right)$$где ξ — частота преобразования Фурье, а функция sinc здесь определяется как sin( π x )/( π x )

Частота преобразования Фурье здесь равна x / λz , что дает $${\begin{aligned}U(x,z)&\propto W{\frac {\sin {\frac {\pi Wx}{\lambda z}}}{\frac {\pi Wx}{\lambda z}}}\\&\propto W\operatorname {sinc} {\frac {\pi Wx}{\lambda z}}\\&\propto W\operatorname {sinc} {\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\\&\propto W\operatorname {sinc} (kW\sin \theta /2)\end{aligned}}$$

Обратите внимание, что функция sinc здесь определена как sin( x )/( x ) для обеспечения согласованности.

Интенсивность

Интенсивность , пропорциональна квадрату амплитуды и, следовательно $${\begin{aligned}I(\theta )&\propto \operatorname {sinc} ^{2}\left[{\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\right]\\&\propto \operatorname {sinc} ^{2}\left[{\frac {kW\sin \theta }{2}}\right]\end{aligned}}$$

Апертуры

Прямоугольная апертура

Компьютерное моделирование дифракции Фраунгофера на прямоугольной апертуре

Когда прямоугольная щель шириной W и высотой H освещается нормально (щель освещается под нормальным углом) монохроматической плоской волной с длиной волны λ , комплексную амплитуду можно найти с помощью анализа, аналогичного анализу в предыдущем разделе, примененному к двум независимые ортогональные размеры как:

$${\begin{aligned}U(x,y)&\propto \operatorname {sinc} \left({\frac {\pi Wx}{\lambda R}}\right)\operatorname {sinc} \left({\frac {\pi Hy}{\lambda R}}\right)\\&\propto \operatorname {sinc} \left({\frac {kWx}{2R}}\right)\operatorname {sinc} \left({\frac {kHy}{2R}}\right).\end{aligned}}$$

Интенсивность определяется выражением $${\begin{aligned}I(x,y)&\propto \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\pi Wx}{\lambda R}}\right)\operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\pi Hy}{\lambda R}}\right)\\&\propto \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {kWx}{2R}}\right)\operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {kHy}{2R}}\right)\end{aligned}}$$

где оси x и y определяют поперечные направления в плоскости наблюдения или плоскости изображения (описанной на рисунке выше), а R - расстояние между центром щели и точкой наблюдения. $P=(x,y)$ на плоскости изображения.

На практике все щели имеют конечный размер, поэтому дифракция возникает в обоих поперечных направлениях вдоль осей x (определенная ширина W ) и y (определенная высота H ). Если высота H щели много больше ее ширины W , то расстояние между вертикальными (по высоте или оси y ) дифракционными полосами много меньше расстояния между горизонтальными (по ширине или x оси ) полосами. . Если расстояние между вертикальными полосами настолько меньше на относительно столь большое H , то наблюдение вертикальных полос настолько затруднено, что человек, наблюдающий картину интенсивности дифрагированной волны в плоскости наблюдения или плоскости изображения, распознает только горизонтальные полосы с их узкая высота. По этой причине щель длиной по высоте или массив щелей, такой как дифракционная решетка, обычно анализируется только в измерении по ширине. Если освещающий луч не освещает всю высоту щели, то расстояние между вертикальными полосами определяется размером лазерного луча по высоте щели. Тщательное изучение На рисунке с двумя щелями ниже видно, что над и под основными пятнами имеются очень тонкие вертикальные дифракционные полосы, а также более очевидные горизонтальные полосы.

Круглая апертура

Эйри-дифракционная картина

Отверстие имеет W. диаметр Комплексная амплитуда в плоскости наблюдения определяется выражением

$$U(\rho ,z)=2\pi a\int _{0}^{W/2}J_{0}\left({\frac {2\pi \rho '\rho }{\lambda z}}\right)\rho '\,d\rho '$$

Решение путем интеграции

Использование рекуррентного отношения $${\frac {d}{dx}}\left[x^{n+1}J_{n+1}(x)\right]=x^{n+1}J_{n}(x)$$дать $$\int _{0}^{x}x'J_{0}(x')\,dx'=xJ_{1}(x)$$

Если мы заменим $$x'={\frac {2\pi \rho }{\lambda z}}\rho '$$и пределы интегрирования становятся равными 0 и πρW / λz , мы получаем $$U(\rho ,z)\propto {\frac {J_{1}(\pi W\rho /\lambda z)}{\pi W\rho /\lambda z}}$$

Полагая ρ / z = sin θ , получаем $$U(\theta )\propto {\frac {J_{1}(\pi W\sin \theta /\lambda )}{\pi W\sin \theta /\lambda }}$$

Решение с использованием преобразования Фурье – Бесселя.

Мы можем записать апертурную функцию как ступенчатую функцию. $$\Pi (W/2)$$

Преобразование Фурье–Бесселя для этой функции определяется соотношением $$F[\Pi (r/a)]={\frac {2\pi J_{1}(qa)}{q}}$$где q/2π — частота преобразования, равная ρ / λz и a = W /2 .

Таким образом, мы получаем $${\begin{aligned}U(\rho )&={\frac {2\pi J_{1}(\pi W\rho /\lambda z)}{2\pi W\rho /\lambda z}}\\&={\frac {2\pi J_{1}(\pi W\sin \theta /\lambda )}{W\sin \theta /\lambda }}\\&={\frac {2\pi J_{1}(kW\sin \theta /2)}{kW\sin \theta /2}}\end{aligned}}$$

Интенсивность

Интенсивность определяется: $${\begin{aligned}I(\theta )&\propto \left[{\frac {J_{1}(\pi W\sin \theta /\lambda )}{(\pi W\sin \theta /\lambda )}}\right]^{2}\\&\propto \left[{\frac {J_{1}(kW\sin \theta /2)}{(kW\sin \theta /2)}}\right]^{2}\end{aligned}}$$

Форма дифракционной картины

Это известно как картина дифракции Эйри.

Дифрагированная картина симметрична относительно нормальной оси.

Апертура с гауссовским профилем

Интенсивность плоской волны, дифрагировавшей через отверстие с гауссовым профилем

Апертура с гауссовым профилем, например фотографическое стекло, пропускание которого имеет гауссово изменение, так что амплитуда в точке апертуры, расположенной на расстоянии r' от начала координат, определяется выражением

$$A(\rho ')=\exp {\left(-\left[{\frac {\rho '}{\sigma }}\right]^{2}\right)}$$предоставление $$U(\rho ,z)=2\pi a\int _{0}^{\infty }\exp {\left(-\left[{\frac {\rho '}{\sigma }}\right]^{2}\right)}J_{0}{\left({\frac {2\pi \rho '\rho }{\lambda z}}\right)}\rho '\,d\rho '$$

Решение с использованием преобразования Фурье – Бесселя.

Преобразование Фурье -Бесселя или Ханкеля определяется как $$F_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)\,r\,dr$$где J _ν — функция Бесселя первого рода порядка ν с ν ≥ −1/2 .

Ханкеля Преобразование ​ $$F_{\nu }{\left[e^{(ar)^{2}/2}\right]}={\frac {e^{-k^{2}/2a^{2}}}{a^{2}}}$$предоставление $$U(\rho ,z)\propto e^{-\left[{\frac {\pi \rho \sigma }{\lambda z}}\right]^{2}}$$и $$U(\theta )\propto e^{-\left[{\frac {\pi \sigma \sin \theta }{\lambda }}\right]^{2}}$$

Интенсивность

Интенсивность определяется: $$I(\theta )\propto e^{-{\frac {2\pi \sigma \sin \theta }{\lambda }}}$$

Эта функция изображена справа, и видно, что в отличие от дифракционных картин, создаваемых прямоугольными или круглыми апертурами, она не имеет вторичных колец. Это можно использовать в процессе, называемом аподизацией : апертура закрывается фильтром, пропускание которого изменяется как функция Гаусса, создавая дифракционную картину без вторичных колец.

разрезы

Две щели

Картина, которая возникает, когда свет, дифрагировавший от двух перекрывающихся щелей, представляет значительный интерес в физике, во-первых, из-за ее важности для установления волновой теории света посредством интерференционного эксперимента Юнга , а во-вторых, из-за ее роли в качестве мысленного эксперимента в эксперименте с двумя щелями в квантовая механика.

Узкие щели

Геометрия дифракции на двух щелях

Интерференция двух щелей с использованием красного лазера

Предположим, у нас есть две длинные щели, освещенные плоской волной с длиной волны λ . Щели расположены в плоскости z = 0 , параллельно оси y , разделены расстоянием S и симметричны относительно начала координат. Ширина щелей мала по сравнению с длиной волны.

Решение путем интеграции

Падающий свет дифрагируется щелями в однородные сферические волны. Волны, бегущие в заданном направлении θ из двух щелей, имеют разные фазы. Фаза волн из верхней и нижней щелей относительно начала координат определяется выражениями (2 π / λ )( S /2)sin θ и −(2 π / λ )( S /2)sin θ.

Комплексная амплитуда суммированных волн определяется выражением: $${\begin{aligned}U(\theta )&=ae^{\frac {i\pi S\sin \theta }{\lambda }}+ae^{-{\frac {i\pi S\sin \theta }{\lambda }}}\\&=a\left(\cos {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}+i\sin {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}\right)+a\left(\cos {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}-i\sin {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}\right)\\&=2a\cos {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}\end{aligned}}$$

Решение с использованием преобразования Фурье

Апертуру можно представить функцией: $$a[\delta {(x-S/2)}+\delta {(x+S/2)}]$$где δ — дельта-функция .

У нас есть $${\hat {f}}[\delta (x)]=1$$и $${\hat {f}}[g(x-a)]=e^{-2\pi iaf_{x}}{\hat {f}}[g(x)]$$предоставление $${\begin{aligned}U(x,z)&={\hat {f}}[\delta {(x-S/2)}+\delta {(x+S/2)}]\\&=e^{-i\pi Sx/2\lambda }+e^{i\pi Sx/2\lambda }\\&=2\cos {\frac {\pi Sx}{2\lambda }}\end{aligned}}$$

$$U(\theta )=2\cos {\frac {\pi S\sin \theta }{2\lambda }}$$

Это то же выражение, что и полученное выше путем интегрирования.

Интенсивность

Это дает интенсивность комбинированных волн как: $${\begin{aligned}I(\theta )&\propto \cos ^{2}\left[{\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}\right]\\&\propto \cos ^{2}{\left[{\frac {kS\sin \theta }{2}}\right]}\end{aligned}}$$

Щели конечной ширины

Дифракция на одной и двух щелях — расстояние между щелями составляет 0,7 мм, ширина щели — 0,1 мм.

Ширина щелей W конечна.

Решение путем интеграции

Дифрагированная картина определяется следующим образом: $${\begin{aligned}U(\theta )&=a\left[e^{\frac {i\pi S\sin \theta }{\lambda }}+e^{-{\frac {i\pi S\sin \theta }{\lambda }}}\right]\int _{-W/2}^{W/2}e^{{-2\pi ix'\sin \theta }/\lambda }\,dx'\\[1ex]&=2a\cos {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}W\operatorname {sinc} {\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\end{aligned}}$$

Решение с использованием преобразования Фурье

Функция апертуры определяется выражением: $$a\left[\operatorname {rect} \left({\frac {x-S/2}{W}}\right)+\operatorname {rect} \left({\frac {x+S/2}{W}}\right)\right]$$

Преобразование Фурье этой функции имеет вид $${\hat {f}}(\operatorname {rect} (ax))={\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {\xi }{2a}}\right)$$где ξ — частота преобразования Фурье, а функция sinc здесь определяется как sin( πx )/( πx ) и $${\hat {f}}[g(x-a)]=e^{-2\pi iaf_{x}}{\hat {f}}[g(x)]$$

У нас есть $${\begin{aligned}U(x,z)&={\hat {f}}\left[a\left[\operatorname {rect} \left({\frac {x-S/2}{W}}\right)+\operatorname {rect} \left({\frac {x+S/2}{W}}\right)\right]\right]\\&=2W\left[e^{-i\pi Sx/\lambda z}+e^{i\pi Sx/\lambda z}\right]{\frac {\sin {\frac {\pi Wx}{\lambda z}}}{\frac {\pi Wx}{\lambda z}}}\\&=2a\cos {\frac {\pi Sx}{\lambda z}}W\operatorname {sinc} {\frac {\pi Wx}{\lambda z}}\end{aligned}}$$или $$U(\theta )=2a\cos {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}W\operatorname {sinc} {\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}$$

Это то же самое выражение, которое было получено путем интегрирования.

Интенсивность

Интенсивность определяется: $${\begin{aligned}I(\theta )&\propto \cos ^{2}\left[{\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}\right]\operatorname {sinc} ^{2}\left[{\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\right]\\&\propto \cos ^{2}\left[{\frac {kS\sin \theta }{2}}\right]\operatorname {sinc} ^{2}\left[{\frac {kW\sin \theta }{2}}\right]\end{aligned}}$$

Видно, что форма диаграммы интенсивности представляет собой произведение дифракционной картины отдельной щели и интерференционной картины, которая была бы получена со щелями незначительной ширины. Это показано на изображении справа, на котором показана дифракция лазерного луча на одной щели, а также дифракционная/интерференционная картина, создаваемая двумя одинаковыми щелями.

Решетки

Решетка определяется Борном и Вольфом как «любое устройство, которое налагает на падающую волну периодическое изменение амплитуды или фазы, или того и другого».

Узкая щелевая решетка

Простая решетка состоит из экрана с N щелями, ширина которых значительно меньше длины волны падающего света, с расстоянием между щелями S .

Решение путем интеграции

Комплексная амплитуда дифрагированной волны под углом θ определяется выражением: $${\begin{aligned}U(\theta )&=a\sum _{n=1}^{N}e^{\frac {-i2\pi nS\sin \theta }{\lambda }}\\&={\frac {1-e^{-i2\pi NS\sin \theta /\lambda }}{1-e^{-i2\pi S\sin \theta /\lambda }}}\end{aligned}}$$

так как это сумма геометрической прогрессии .

Решение с использованием преобразования Фурье

Апертура определяется $$\sum _{n=0}^{N}\delta (x-nS)$$

Преобразование Фурье этой функции: $${\begin{aligned}{\hat {f}}\left[\sum _{n=0}^{N}\delta (x-nS)\right]&=\sum _{n=0}^{N}e^{-if_{x}nS}\\&={\frac {1-e^{-i2\pi NS\sin \theta /\lambda }}{1-e^{-i2\pi S\sin \theta /\lambda }}}\end{aligned}}$$

Интенсивность

Дифракционная картина для узкощелевой решетки 50

Деталь основного максимума на дифрактограммах на 20 и 50 узких щелевых решетках

Интенсивность определяется:

$${\begin{aligned}I(\theta )&\propto {\frac {1-\cos(2\pi NS\sin \theta /\lambda )}{1-\cos(2\pi S\sin \theta /\lambda )}}\\&\propto {\frac {\sin ^{2}(\pi NS\sin \theta /\lambda )}{\sin ^{2}(\pi S\sin \theta /\lambda )}}\end{aligned}}$$

Эта функция имеет ряд максимумов и минимумов. Есть регулярно расположенные «главные максимумы» и ряд гораздо меньших максимумов между главными максимумами. Главный максимум имеет место, когда $$\pi S\sin _{n}\theta /\lambda =n\pi ,n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$$поэтому основные дифрагированные лучи возникают под углами: $$\sin \theta _{n}={\frac {n\lambda }{S}},n=0,\pm 1\pm 2,\ldots$$

Это уравнение решетки для нормально падающего света.

Число малых промежуточных максимумов равно числу щелей N − 1 , а их размер и форма также определяются N .

Вид шаблона для N =50 показан на первом рисунке.

Подробная конструкция решеток с 20 и 50 щелями показана на второй диаграмме.

Щелевая решетка конечной ширины

Дифракционная картина от решетки с щелями конечной ширины

Теперь решетка имеет N щелей шириной W и расстоянием S.

Решение с использованием интеграции

Амплитуда определяется: $${\begin{aligned}U(\theta ,\phi )&\propto a\sum _{n=1}^{N}e^{\frac {-i2\pi nS\sin \theta }{\lambda }}\int _{-W/2}^{W/2}e^{{-2\pi ixx'}/(\lambda z)}\,dx'\\&\propto a\operatorname {sinc} \left({\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\right){\frac {1-e^{-i2\pi NS\sin \theta /\lambda }}{1-e^{-i2\pi S\sin \theta /\lambda }}}\end{aligned}}$$

Решение с использованием преобразования Фурье

Функцию апертуры можно записать как: $$\sum _{n=1}^{N}\operatorname {rect} \left[{\frac {x'-nS}{W}}\right]$$

Используя теорему о свертке , которая гласит, что если у нас есть две функции f ( x ) и g ( x ) , и мы имеем $$h(x)=(f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(x-y)\,dy,$$где ∗ обозначает операцию свертки, то также имеем $${\hat {h}}(\xi )={\hat {f}}(\xi )\cdot {\hat {g}}(\xi ).$$мы можем записать функцию апертуры как $$\operatorname {rect} (x'/W)*\sum _{n=0}^{N}\delta (x'-nS)$$

Тогда амплитуда определяется преобразованием Фурье этого выражения как: $${\begin{aligned}U(x,z)&={\hat {f}}[\operatorname {rect} (x'/W)]{\hat {f}}\left[\sum _{n=0}^{N}\delta (x'-nS)\right]\\&=a\operatorname {sinc} \left({\frac {W\sin \theta }{\lambda }}\right){\frac {1-e^{-i2\pi NS\sin \theta /\lambda }}{1-e^{-i2\pi S\sin \theta /\lambda }}}\end{aligned}}$$

Интенсивность

Интенсивность определяется: $$I(\theta )\propto \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {W\sin \theta }{\lambda }}\right){\frac {\sin ^{2}(\pi NS\sin \theta /\lambda )}{\sin ^{2}(\pi S\sin \theta /\lambda )}}$$

На диаграмме представлена ​​дифракционная картина для решетки с 20 щелями, где ширина щелей составляет 1/5 расстояния между щелями. Размер основных дифрагированных пиков модулируется дифракционной картиной отдельных щелей.

Другие решетки

Описанный выше метод преобразования Фурье можно использовать для определения формы дифракции для любой периодической структуры, для которой известно преобразование Фурье структуры. Гудман использует этот метод для получения выражений для дифракционной картины, полученной с помощью решеток с синусоидальной амплитудой и фазовой модуляцией. Они представляют особый интерес в голографии .

Расширения

Ненормальное освещение

Если апертура освещается монохроматической плоской волной, падающей в направлении ( l ₀ , m ₀ , n ₀ ) , первая версия приведенного выше уравнения Фраунгофера принимает вид: $${\begin{aligned}U(x,y,z)&\propto \iint _{\text{Aperture}}\,A(x',y')e^{-i{\frac {2\pi }{\lambda }}\left[(l-l_{0})x'+(m-m_{0})y'\right]}\,dx'\,dy'\\&\propto \iint _{\text{Aperture}}\,A(x',y')e^{-ik\left[(l-l_{0})x'+(m-m_{0})y'\right]}\,dx'\,dy'\end{aligned}}$$

Уравнения, используемые для моделирования каждой из вышеприведенных систем, изменяются только за счет изменений констант, умножающих x и y , поэтому картины дифрагированного света будут иметь форму, за исключением того, что теперь они будут центрированы вокруг направления падающей плоской волны.

Уравнение решетки становится $$\sin \theta _{n}={\frac {n\lambda }{S}}+\sin \theta _{0},n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$$

Немонохроматическое освещение

Во всех приведенных выше примерах дифракции Фраунгофера эффект увеличения длины волны освещающего света заключается в уменьшении размера дифракционной структуры, и наоборот, когда длина волны уменьшается, размер рисунка увеличивается. Если свет не является монохроматическим, т.е. он состоит из ряда длин волн, каждая длина волны дифрагируется в узор, немного отличающийся по размеру от своих соседей. Если разброс длин волн значительно меньше средней длины волны, отдельные узоры будут очень мало различаться по размеру, поэтому основная дифракция все равно будет проявляться со слегка уменьшенным контрастом. По мере увеличения разброса длин волн количество наблюдаемых «полос» уменьшается.

См. также

• Формула дифракции Кирхгофа
• Дифракция Френеля
• Принцип Гюйгенса
• Воздушный диск
• Фурье-оптика

Ссылки

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен А. (1965). Справочник математических функций с формулами, графиками и математическими таблицами . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  0-486-61272-4 . OCLC   429082 .
• Борн, Макс ; Вольф, Э. (1999). Основы оптики: электромагнитная теория распространения, интерференции и дифракции света (7-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-64222-4 . ОСЛК   40200160 .
• Гудман, Джозеф В. (2005). Введение в оптику Фурье (3-е изд.). Энглвуд, Колорадо: ISBN Roberts & Co.  0-9747077-2-4 . OCLC   56632414 .
• Небеса, ОС; Дитчберн, RW (1991). Знакомство с оптикой . Р.В. Дитчберн. Чичестер: Лонгман и сыновья. ISBN  978-0-471-92769-3 . OCLC   22114471 .
• Хехт, Юджин (2002). Оптика (4-е изд.). Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. ISBN  0-321-18878-0 . OCLC   47126713 .
• Дженкинс, ФА; Уайт, HE (1957). Основы оптики (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу Хилл.
• Липсон, А.; Липсон, СГ; Липсон, Х. (2011). Оптическая физика (4-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-49345-1 . OCLC   637708967 .
• Лонгхерст, RS (1967). Геометрическая и физическая оптика (2-е изд.). Лондон: Лонгманс.
• Уиттакер, ET; Уотсон, Дж.Н. (1963). «Современный анализ. Стр. 608. 27с. 6д» . Математический вестник . 47 (359). Издательство Кембриджского университета: 88–88. дои : 10.1017/S0025557200049032 . ISSN   0025-5572 .