Прямоугольная функция

Прямоугольная функция (также известная как прямоугольная функция , прямое функция , функция PI , функция Heviside PI , ^{[ 1 ]} функция затвора , единичный импульс или нормализованная функция коробки ) определяется как ^{[ 2 ]}

$\operatorname {rect} \left({\frac {t}{a}}\right)=\Pi \left({\frac {t}{a}}\right)=\left\{{\begin{array}{rl}0,&{\text{if }}|t|>{\frac {a}{2}}\\{\frac {1}{2}},&{\text{if }}|t|={\frac {a}{2}}\\1,&{\text{if }}|t|<{\frac {a}{2}}.\end{array}}\right.$

Альтернативные определения функции определяют ${\textstyle \operatorname {rect} \left(\pm {\frac {1}{2}}\right)}$ быть 0, ^{[ 3 ]} 1, ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} или не определен.

Его периодическая версия называется прямоугольной волной .

История

Прямая функция была введена Woodward ^{[ 6 ]} в ^{[ 7 ]} Как идеальный оператор выреза , вместе с SINC функцией ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]} в качестве идеального оператора интерполяции и их противоположных операций, которые являются отбором отбора проб ( расчески оператор ) и реплицируют ( репутации оператор ), соответственно.

Отношение к функции ящика

Прямоугольная функция - это особый случай более общей функции вагонов :

$\operatorname {rect} \left({\frac {t-X}{Y}}\right)=H(t-(X-Y/2))-H(t-(X+Y/2))=H(t-X+Y/2)-H(t-X-Y/2)$

где $H(x)$ это функция шага в тяжелом положении ; Функция сосредоточена на $X$ и имеет продолжительность $Y$ , от $X-Y/2$ к $X+Y/2.$

Преобразование Фурье прямоугольной функции

Унитарные преобразования Фурье прямоугольной функции ^{[ 2 ]} $\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt={\frac {\sin(\pi f)}{\pi f}}=\operatorname {sinc} _{\pi }(f),$ Использование обычной частоты $f$ , где $\operatorname {sinc} _{\pi }$ это нормализованная форма ^{[ 10 ]} функции SINC и ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {\sin \left(\omega /2\right)}{\omega /2}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\operatorname {sinc} \left(\omega /2\right),$ используя угловую частоту $\omega$ , где $\operatorname {sinc}$ является ненормализованной формой функции SINC .

Для $\operatorname {rect} (x/a)$ , его преобразование Фурье $\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} \left({\frac {t}{a}}\right)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=a{\frac {\sin(\pi af)}{\pi af}}=a\ \operatorname {sinc} _{\pi }{(af)}.$ Обратите внимание, что до тех пор, пока определение функции импульса мотивируется только ее поведением в опыте времени, нет никаких оснований полагать, что колебательная интерпретация (то есть функция преобразования Фурье) должна быть интуитивной или непосредственно понятой людьми Полем Тем не менее, некоторые аспекты теоретического результата могут быть поняты интуитивно, поскольку ограничение во временной области соответствует бесконечной частотной реакции. (Наоборот, конечное преобразование Фурье будет соответствовать бесконечному отклику доменной области.)

Отношение к треугольной функции

Мы можем определить треугольную функцию как свертку двух прямоугольных функций:

$\operatorname {tri} =\operatorname {rect} *\operatorname {rect} .\,$

Используйте в вероятности

Просмотр прямоугольной функции в качестве функции плотности вероятности , это особый случай непрерывного равномерного распределения с $a=-1/2,b=1/2.$ Характерная функция

$\varphi (k)={\frac {\sin(k/2)}{k/2}},$

и его , создавая момент функция

$M(k)={\frac {\sinh(k/2)}{k/2}},$

где $\sinh(t)$ это гиперболическая функция синуса .

Рациональное приближение

Функция импульса также может быть выражена как предел рациональной функции :

$\Pi (t)=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}.$

Демонстрация достоверности

Сначала рассмотрим случай, где ${\textstyle |t|<{\frac {1}{2}}.}$ Обратите внимание, что термин ${\textstyle (2t)^{2n}}$ всегда положительный для целого числа $n.$ Однако, $2t<1$ и следовательно ${\textstyle (2t)^{2n}}$ приближается к нулю для больших $n.$

Из этого следует: $\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\frac {1}{0+1}}=1,|t|<{\tfrac {1}{2}}.$

Во -вторых, мы рассмотрим случай, когда ${\textstyle |t|>{\frac {1}{2}}.}$ Обратите внимание, что термин ${\textstyle (2t)^{2n}}$ всегда положительный для целого числа $n.$ Однако, $2t>1$ и следовательно ${\textstyle (2t)^{2n}}$ Растет очень большим для больших $n.$

Из этого следует: $\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\frac {1}{+\infty +1}}=0,|t|>{\tfrac {1}{2}}.$

В -третьих, мы рассмотрим случай, когда ${\textstyle |t|={\frac {1}{2}}.}$ Мы можем просто заменить в нашем уравнении:

$\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{1^{2n}+1}}={\frac {1}{1+1}}={\tfrac {1}{2}}.$

Мы видим, что это удовлетворяет определению функции импульса. Поэтому,

$\operatorname {rect} (t)=\Pi (t)=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}|t|>{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\mbox{if }}|t|={\frac {1}{2}}\\1&{\mbox{if }}|t|<{\frac {1}{2}}.\\\end{cases}}$

Dirac Delta Function

Функция прямоугольника может использоваться для представления функции Dirac Delta $\delta (x)$ . ^{[ 11 ]} Конкретно, $\delta (x)=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\operatorname {rect} \left({\frac {x}{a}}\right).$ Для функции $g(x)$ , его среднее по ширине $a$ около 0 в функциональной области рассчитывается как,

$g_{avg}(0)={\frac {1}{a}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\operatorname {rect} \left({\frac {x}{a}}\right).$ Чтобы получить $g(0)$ , применяется следующий предел,

$g(0)=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\operatorname {rect} \left({\frac {x}{a}}\right)$ и это может быть написано с точки зрения функции Dirac Delta As, $g(0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\delta (x).$ Преобразование Фурье дельты Дирака $\delta (t)$ является

$\delta (f)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} \left({\frac {t}{a}}\right)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=\lim _{a\to 0}\operatorname {sinc} {(af)}.$ Где функция SINC здесь является нормализованной функцией SINC. Потому что первый ноль функции SINC находится в $f=1/a$ и $a$ идет в бесконечность, трансформация Фурье $\delta (t)$ является

$\delta (f)=1,$ означает, что частотный спектр функции Dirac Delta является бесконечно широким. Поскольку импульс сокращается во времени, он больше в спектре.

Смотрите также

Ссылки

^ Wolfram Research (2008). "Heveisidepi, функция языка Wolfram" . Получено 11 октября 2022 года .
^ Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} Вейсштейн, Эрик В. "прямоугольник" . MathWorld .
^ Ван, Руи (2012). Введение в ортогональные преобразования: с приложениями в обработке и анализе данных . Издательство Кембриджского университета. С. 135–136. ISBN 9780521516884 .
^ Тан, К.Т. (2007). Математические методы для инженеров и ученых: анализ Фурье, дифференциальные уравнения для частиц и вариационные модели . Спрингер. п. 85. ISBN 9783540446958 .
^ Кумар, А. Ананд (2011). Сигналы и системы . PHI Learning Pvt. ООО с. 258–260. ISBN 9788120343108 .
^ Клаудер, Джон Р. (1960). «Теория и дизайн хрип -радаров» . Белл -система технический журнал . 39 (4): 745–808. doi : 10.1002/j.1538-7305.1960.tb03942.x .
^ Вудворд, Филипп М (1953). Вероятность и теория информации, с приложениями к радару . Pergamon Press. п. 29
^ Хиггинс, Джон Роуланд (1996). Теория отбора проб в Фурье и анализе сигналов: основы . Oxford University Press Inc. с. 4. ISBN 0198596995 .
^ Зейед, Ахмед I (1996). Справочник по функциям и обобщенным преобразованиям функций . CRC Press. п. 507. ISBN 9780849380761 .
^ Wolfram MathWorld, https://mathworld.wolfram.com/sincfunction.html
^ Харе, Кедар; Бутола, Манси; Раджора, Сунана (2023). «Глава 2.4 Отбор проб путем усреднения, распределения и дельта -функции». Оптика Фурье и вычислительная визуализация (2 -е изд.). Спрингер. С. 15–16. doi : 10.1007/978-3-031-18353-9 . ISBN 978-3-031-18353-9 .

[1] Wolfram Research (2008). "Heveisidepi, функция языка Wolfram" . Получено 11 октября 2022 года .

[wolfram-2] Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} Вейсштейн, Эрик В. "прямоугольник" . MathWorld .

[3] Ван, Руи (2012). Введение в ортогональные преобразования: с приложениями в обработке и анализе данных . Издательство Кембриджского университета. С. 135–136. ISBN 9780521516884 .

[4] Тан, К.Т. (2007). Математические методы для инженеров и ученых: анализ Фурье, дифференциальные уравнения для частиц и вариационные модели . Спрингер. п. 85. ISBN 9783540446958 .

[5] Кумар, А. Ананд (2011). Сигналы и системы . PHI Learning Pvt. ООО с. 258–260. ISBN 9788120343108 .

[6] Клаудер, Джон Р. (1960). «Теория и дизайн хрип -радаров» . Белл -система технический журнал . 39 (4): 745–808. doi : 10.1002/j.1538-7305.1960.tb03942.x .

[7] Вудворд, Филипп М (1953). Вероятность и теория информации, с приложениями к радару . Pergamon Press. п. 29

[8] Хиггинс, Джон Роуланд (1996). Теория отбора проб в Фурье и анализе сигналов: основы . Oxford University Press Inc. с. 4. ISBN 0198596995 .

[9] Зейед, Ахмед I (1996). Справочник по функциям и обобщенным преобразованиям функций . CRC Press. п. 507. ISBN 9780849380761 .

[10] Wolfram MathWorld, https://mathworld.wolfram.com/sincfunction.html

[:0-11] Харе, Кедар; Бутола, Манси; Раджора, Сунана (2023). «Глава 2.4 Отбор проб путем усреднения, распределения и дельта -функции». Оптика Фурье и вычислительная визуализация (2 -е изд.). Спрингер. С. 15–16. doi : 10.1007/978-3-031-18353-9 . ISBN 978-3-031-18353-9 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]