Голономный базис

В математике и математической физике координатный базис или голономный базис M многообразия представляет собой набор полей базисных векторов { e ₁ ,..., en _} , определенных в каждой точке P области дифференцируемого многообразия как

$\mathbf {e} _{\alpha }=\lim _{\delta x^{\alpha }\to 0}{\frac {\delta \mathbf {s} }{\delta x^{\alpha }}},$

где δ s — вектор смещения между точкой P и близлежащей точкой Q, расстояние по координатам которого от P равно δx ^а вдоль координатной кривой x ^а (т.е. кривая на многообразии, проходящем через P, для которой локальная координата x ^а варьируется, а все остальные координаты постоянны).

Можно связать такой базис с операторами направленной производной. Учитывая параметризованную кривую C на многообразии, определяемом x ^а ( λ ) с касательным вектором u = u ^а e _α , где u ^а = дх ^а / dλ и функция f ( x ^а ), определенное в окрестности C , изменение f вдоль C можно записать как

${\frac {df}{d\lambda }}={\frac {dx^{\alpha }}{d\lambda }}{\frac {\partial f}{\partial x^{\alpha }}}=u^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}f.$

Поскольку мы имеем, что u = u ^а e _α , часто идентифицируют координатный базисный вектор e _α и оператор частной производной ∂ / ∂ x ^а , при интерпретации векторов как операторов, действующих на функции.

базиса { e ₁ , ..., en _} состоит в том , Локальное условие голономности что все взаимные производные Ли обращаются в нуль:

$\left[\mathbf {e} _{\alpha },\mathbf {e} _{\beta }\right]={\mathcal {L}}_{\mathbf {e} _{\alpha }}\mathbf {e} _{\beta }=0.$

Базис, не являющийся голономным, называется анголономным. неголономный или некоординатный базис.

Учитывая метрический тензор g на многообразии M , вообще невозможно найти координатный базис, который был бы ортонормирован в любой открытой U многообразия M. области Очевидным исключением является случай, когда M — действительное координатное пространство R. ^н рассматривается как многообразие, где g является евклидовой метрикой δ _ij e ^я ⊗ и ^дж в каждой точке.

См. также

• Реактивный комплект
• Тетрадный формализм
• Фигурное исчисление