Реальная структура

В математике комплексного реальная структура векторного пространства — это способ разложения комплексного векторного пространства в прямую сумму двух действительных векторных пространств. Прототипом такой структуры является само поле комплексных чисел, рассматриваемое как комплексное векторное пространство над собой и с отображением сопряжения. $\sigma :{\mathbb {C} }\to {\mathbb {C} }\,$ , с $\sigma (z)={\bar {z}}$ , придающий «каноническую» реальную структуру на ${\mathbb {C} }\,$ , то есть ${\mathbb {C} }={\mathbb {R} }\oplus i{\mathbb {R} }\,$ .

Карта сопряжения антилинейна : $\sigma (\lambda z)={\bar {\lambda }}\sigma (z)\,$ и $\sigma (z_{1}+z_{2})=\sigma (z_{1})+\sigma (z_{2})\,$ .

Векторное пространство

Действительная структура в комплексном векторном пространстве V представляет собой антилинейную инволюцию. $\sigma :V\to V$ . Реальная структура определяет реальное подпространство $V_{\mathbb {R} }\subset V$ , его фиксированное местоположение и естественная карта

V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }{\mathbb {C} }\to V

является изоморфизмом. И наоборот, любое векторное пространство, являющееся комплексификацией реального векторного пространства имеет естественную вещественную структуру.

Прежде всего отметим, что каждое комплексное пространство V имеет реализацию, полученную путем взятия тех же векторов, что и в исходном наборе, и ограничения скаляров вещественностью. Если $t\in V\,$ и $t\neq 0$ тогда векторы $t\,$ и $it\,$ в линейно независимы реализации V . Следовательно:

\dim _{\mathbb {R} }V=2\dim _{\mathbb {C} }V

Естественно, хотелось бы представить V как прямую сумму двух вещественных векторных пространств, «действительной и мнимой частей V ». Канонического способа сделать это не существует: такое расщепление является дополнительной реальной в V. структурой Его можно представить следующим образом. ^[1] Позволять $\sigma :V\to V\,$ быть антилинейным отображением таким, что $\sigma \circ \sigma =id_{V}\,$ , то есть антилинейная инволюция комплексного пространства V . Любой вектор $v\in V\,$ можно написать ${v=v^{+}+v^{-}}\,$ , где $v^{+}={1 \over {2}}(v+\sigma v)$ и $v^{-}={1 \over {2}}(v-\sigma v)\,$ .

Следовательно, получаем прямую сумму векторных пространств $V=V^{+}\oplus V^{-}\,$ где:

V^{+}=\{v\in V|\sigma v=v\}

и

V^{-}=\{v\in V|\sigma v=-v\}\,

.

Оба набора $V^{+}\,$ и $V^{-}\,$ являются вещественными векторными пространствами . Линейная карта $K:V^{+}\to V^{-}\,$ , где $K(t)=it\,$ , является изоморфизмом вещественных векторных пространств, откуда:

\dim _{\mathbb {R} }V^{+}=\dim _{\mathbb {R} }V^{-}=\dim _{\mathbb {C} }V\,

.

Первый фактор $V^{+}\,$ также обозначается $V_{\mathbb {R} }\,$ и остается инвариантным $\sigma \,$ , то есть $\sigma (V_{\mathbb {R} })\subset V_{\mathbb {R} }\,$ . Второй фактор $V^{-}\,$ является обычно обозначается $iV_{\mathbb {R} }\,$ . Прямая сумма $V=V^{+}\oplus V^{-}\,$ читается теперь как:

V=V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }\,

,

т.е. как прямая сумма "реальных" $V_{\mathbb {R} }\,$ и «воображаемый» $iV_{\mathbb {R} }\,$ части В. Эта конструкция сильно зависит от выбора антилинейной инволюции комплексного векторного пространства V . Комплексификация пространства реального векторного $V_{\mathbb {R} }\,$ , то есть, $V^{\mathbb {C} }=V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \,$ признает является естественной вещественной структурой и, следовательно, канонически изоморфна прямой сумме двух копий $V_{\mathbb {R} }\,$ :

V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }\,

.

Это следует естественному линейному изоморфизму $V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \to V\,$ между комплексными векторными пространствами с заданной вещественной структурой.

Реальная структура в комплексном векторном пространстве V , которая является антилинейной инволюцией. $\sigma :V\to V\,$ , может быть эквивалентно описано в терминах линейного отображения ${\hat {\sigma }}:V\to {\bar {V}}\,$ из векторного пространства $V\,$ в комплексно-сопряженное векторное пространство ${\bar {V}}\,$ определяется

v\mapsto {\hat {\sigma }}(v):={\overline {\sigma (v)}}\,

. ^[2]

Алгебраическое разнообразие

Для алгебраического многообразия, определенного над подполем действительных чисел ,реальная структура — это комплексное сопряжение, действующее на точки многообразия в комплексном проективном или аффинном пространстве.Его фиксированное место — это пространство вещественных точек многообразия (которое может быть пустым).

Схема

Для схемы, определенной над подполем действительных чисел, комплексное сопряжениеестественным образом является членом группы Галуа алгебраического замыкания основного поля.Реальная структура — это действие Галуа этого сопряжения на расширениесхема над алгебраическим замыканием основного поля.Реальные точки — это точки, поле вычетов которых фиксировано (которое может быть пустым).

Структура реальности

В математике структура реальности в векторном пространстве V представляет собой разложение V на два действительных подпространства, называемых вещественной и мнимой частями V комплексном :

V=V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }.

Здесь VR _{рассматриваемое} — вещественное подпространство V , т.е. подпространство V, как векторное пространство над действительными числами . Если V имеет комплексную размерность n (действительная размерность 2 n ), то VR _должен иметь действительную размерность n .

Стандартная структура реальности в векторном пространстве $\mathbb {C} ^{n}$ это разложение

\mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\oplus i\,\mathbb {R} ^{n}.

При наличии структуры реальности каждый вектор из V каждая из которых является вектором из VR _{имеет действительную часть и мнимую часть ,} :

v=\operatorname {Re} \{v\}+i\,\operatorname {Im} \{v\}

В этом случае комплексно-сопряженный вектор v определяется следующим образом:

{\overline {v}}=\operatorname {Re} \{v\}-i\,\operatorname {Im} \{v\}

Эта карта $v\mapsto {\overline {v}}$ является антилинейной инволюцией , т.е.

{\overline {\overline {v}}}=v,\quad {\overline {v+w}}={\overline {v}}+{\overline {w}},\quad {\text{and}}\quad {\overline {\alpha v}}={\overline {\alpha }}\,{\overline {v}}.

Обратно, при антилинейной инволюции $v\mapsto c(v)$ в комплексном векторном пространстве V можно определить структуру реальности на V следующим образом. Позволять

\operatorname {Re} \{v\}={\frac {1}{2}}\left(v+c(v)\right),

и определить

V_{\mathbb {R} }=\left\{\operatorname {Re} \{v\}\mid v\in V\right\}.

Затем

V=V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }.

На самом деле это разложение V на собственные пространства вещественного линейного оператора c . Собственные значения c равны +1 и −1, с собственными пространствами V _R и $i$ VR _{соответственно} . Обычно сам оператор c , а не декомпозиция собственного пространства, которую он влечет за собой, называется структурой реальности на V .

См. также

Примечания

^ Будинич П. и Траутман А. Спинориальная шахматная доска . Спрингер Верлаг, 1988, с. 29.
^ Будинич П. и Траутман А. Спинориальная шахматная доска . Спрингер Верлаг, 1988, с. 29.

Ссылки

Хорн и Джонсон, Матричный анализ, издательство Кембриджского университета, 1985. ISBN 0-521-38632-2 . (антилинейные отображения обсуждаются в разделе 4.6).
Будинич П. и Траутман А. Спинориальная шахматная доска . Спрингер Верлаг, 1988. ISBN 0-387-19078-3 . (антилинейные отображения обсуждаются в разделе 3.3).
Пенроуз, Роджер ; Риндлер, Вольфганг (1986), Спиноры и пространство-время. Том. 2 , Кембриджские монографии по математической физике, издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-25267-6 , МР 0838301

[1] Будинич П. и Траутман А. Спинориальная шахматная доска . Спрингер Верлаг, 1988, с. 29.

[2] Будинич П. и Траутман А. Спинориальная шахматная доска . Спрингер Верлаг, 1988, с. 29.

[1]

[2]