Формулы Френе – Серре

«Бинормальный» перенаправляется сюда. Теоретико-категорное значение этого слова см. в разделе « Нормальный морфизм» .

Пространственная кривая; векторы T , N и B ; и соприкасающаяся плоскость, охватываемая T и N

В дифференциальной геометрии формулы Френе –Серре описывают кинематические свойства частицы, движущейся по дифференцируемой кривой в трехмерном евклидовом пространстве. $\mathbb {R} ^{3}$или геометрические свойства самой кривой независимо от любого движения. Более конкретно, формулы описывают производные так называемых касательных, нормальных и бинормальных единичных векторов относительно друг друга. Формулы названы в честь двух французских математиков, которые независимо открыли их: Жана Фредерика Френе в его диссертации 1847 года и Жозефа Альфреда Серре в 1851 году. Векторные обозначения и линейная алгебра, используемые в настоящее время для записи этих формул, в то время еще не были доступны. их открытия.

Касательные, нормальные и бинормальные единичные векторы, часто называемые T , N и B , или вместе фрейм Френе-Серре или фрейм TNB , вместе образуют ортонормированный базис, охватывающий $\mathbb {R} ^{3}$ и определяются следующим образом:

• T — единичный вектор, касательный к кривой, указывающий направление движения.
• N — нормальный единичный вектор, производная от T по параметру длины дуги кривой, деленная на ее длину.
• B бинормальный единичный вектор, произведение T — и N. векторное

Формулы Френе-Серре:

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}&=\kappa \mathbf {N} ,\\{\frac {\mathrm {d} \mathbf {N} }{\mathrm {d} s}}&=-\kappa \mathbf {T} +\tau \mathbf {B} ,\\{\frac {\mathrm {d} \mathbf {B} }{\mathrm {d} s}}&=-\tau \mathbf {N} ,\end{aligned}}$

где d / ds — производная по длине дуги, κ — кривизна , а τ — кручение кривой. Два скаляра κ и τ эффективно определяют кривизну и кручение пространственной кривой. Соответствующий набор T , N , B , κ и τ называется аппаратом Френе-Серре . Интуитивно понятно, что кривизна измеряет неспособность кривой быть прямой линией, а кручение измеряет неспособность кривой быть плоской.

Определения

Векторы T и N в двух точках плоской кривой, транслированная версия второго кадра (пунктир) и изменение T : δ T' . δs — расстояние между точками. В пределе ${\tfrac {d\mathbf {T} }{ds}}$ будет в направлении N , а кривизна описывает скорость вращения рамы.

Пусть r ( t ) — кривая в евклидовом пространстве , представляющая вектор положения частицы как функцию времени. Формулы Френе-Серре применяются к невырожденным кривым , что примерно означает, что они имеют ненулевую кривизну . Более формально, в этой ситуации скорости вектор r '( t ) и ускорения вектор r '( t ) должны быть не пропорциональны.

Пусть s ( t ) представляет длину дуги , которую частица прошла вдоль кривой за время t . Величина s используется для того, чтобы придать кривой, описываемой траекторией частицы, естественную параметризацию по длине дуги (т. е. параметризацию длины дуги ), поскольку множество различных траекторий частицы могут прослеживать одну и ту же геометрическую кривую, пересекая ее с разной скоростью. Более подробно, s определяется выражением

$s(t)=\int _{0}^{t}\left\|\mathbf {r} '(\sigma )\right\|d\sigma .$

Более того, поскольку мы предположили, что r ′ ≠ 0, отсюда следует, что s ( t ) — строго монотонно возрастающая функция. Следовательно, можно найти t как функцию от s и, таким образом, записать r ( s ) = r ( t ( s )). Таким образом, кривая параметризуется предпочтительным образом по длине дуги.

С помощью невырожденной кривой r ( s ), параметризованной длиной ее дуги, теперь можно определить кадр Френе-Серре (или кадр TNB ):

• Касательный единичный вектор T определяется как $$\mathbf {T} :={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} s}}.$$
• Нормальный единичный вектор N определяется как $$\mathbf {N} :={{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}} \over \left\|{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}\right\|},$$из чего следует, поскольку Т всегда имеет единичную величину , что N (изменение Т ) всегда перпендикулярно Т нет , поскольку изменения длины Т . Обратите внимание, что, вызывая кривизну $\kappa =\left\|{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}\right\|$ мы автоматически получаем первое соотношение.

• Бинормальный единичный вектор определяется как векторное произведение T B и N : $$\mathbf {B} :=\mathbf {T} \times \mathbf {N} ,$$

Система Френе-Серре, движущаяся по спирали . T N обозначен синей стрелкой, — — красной стрелкой, а B черной стрелкой.

откуда следует, что всегда перпендикулярен как T , так и N. B Таким образом, все три единичных вектора T , N и B перпендикулярны друг другу.

Формулы Френе-Серре :

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}&=\kappa \mathbf {N} ,\\{\frac {\mathrm {d} \mathbf {N} }{\mathrm {d} s}}&=-\kappa \mathbf {T} +\tau \mathbf {B} ,\\{\frac {\mathrm {d} \mathbf {B} }{\mathrm {d} s}}&=-\tau \mathbf {N} ,\end{aligned}}$

где $\kappa$ это кривизна и $\tau$ это кручение .

Формулы Френе-Серре также известны как теорема Френе-Серре и могут быть сформулированы более кратко, используя матричную запись:

${\begin{bmatrix}\mathbf {T'} \\\mathbf {N'} \\\mathbf {B'} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}.$

Эта матрица является кососимметричной .

Формулы в n измерениях

Формулы Френе-Серре были обобщены на многомерные евклидовы пространства Камиллой Жорданом в 1874 году.

Предположим, что r ( s ) — гладкая кривая в $\mathbb {R} ^{n}$и что первые n производных r линейно независимы. Векторы в системе Френе–Серре представляют собой ортонормированный базис , построенный путем применения процесса Грамма-Шмидта к векторам ( r ′( s ), r »( s ), ..., r ^{( н )} ( с )).

Более подробно, единичный касательный вектор представляет собой первый вектор Френе e ₁ ( s ) и определяется как

$\mathbf {e} _{1}(s)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{1}}}(s)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{1}}}(s)\|}}$

где

${\overline {\mathbf {e} _{1}}}(s)=\mathbf {r} '(s)$

Вектор нормали , иногда называемый вектором кривизны , указывает на отклонение кривой от прямой линии. Это определяется как

${\overline {\mathbf {e} _{2}}}(s)=\mathbf {r} ''(s)-\langle \mathbf {r} ''(s),\mathbf {e} _{1}(s)\rangle \,\mathbf {e} _{1}(s)$

Его нормализованная форма, единичный вектор нормали , представляет собой второй вектор Френе e ₂ ( s ) и определяется как

$\mathbf {e} _{2}(s)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(s)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(s)\|}}$

Касательная и вектор нормали в точке s определяют соприкасающуюся плоскость в точке r ( s ).

Остальные векторы в кадре (бинормаль, тринормаль и т. д.) определяются аналогично

${\begin{aligned}\mathbf {e} _{j}(s)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(s)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(s)\|}}{\mbox{, }}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(s)=\mathbf {r} ^{(j)}(s)-\sum _{i=1}^{j-1}\langle \mathbf {r} ^{(j)}(s),\mathbf {e} _{i}(s)\rangle \,\mathbf {e} _{i}(s).\end{aligned}}$

Последний вектор в кадре определяется векторным произведением первого $n-1$ векторы:

${\mathbf {e} _{n}}(s)={\mathbf {e} _{1}}(s)\times {\mathbf {e} _{2}}(s)\times \dots \times {\mathbf {e} _{n-2}}(s)\times {\mathbf {e} _{n-1}}(s)$

Действительные функции, используемые ниже χ _i ( s ), называются обобщенной кривизной и определяются как

$\chi _{i}(s)={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'(s),\mathbf {e} _{i+1}(s)\rangle }{\|\mathbf {r} '(s)\|}}$

Формулы Френе–Серре , изложенные на матричном языке, имеют вид

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(s)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}'(s)\\\end{bmatrix}}=\\\end{aligned}}\|\mathbf {r} '(s)\|\cdot {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(s)&&0\\-\chi _{1}(s)&\ddots &\ddots &\\&\ddots &0&\chi _{n-1}(s)\\0&&-\chi _{n-1}(s)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(s)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}(s)\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Обратите внимание, что, как определено здесь, обобщенные кривизны и рамка могут немного отличаться от соглашений, встречающихся в других источниках.Верхняя кривизна $\chi _{n-1}$ (в этом контексте также называемый кручением) и последний вектор в кадре $\mathbf {e} _{n}$,отличаться знаком

$\operatorname {or} \left(\mathbf {r} ^{(1)},\dots ,\mathbf {r} ^{(n)}\right)$

(ориентация основания) от обычного кручения.Формулы Френе – Серре инвариантны при смене знака обеих $\chi _{n-1}$ и $\mathbf {e} _{n}$, и эта смена знака делает рамку положительно ориентированной. Как определено выше, рамка наследует свою ориентацию от струи $\mathbf {r}$.

Доказательство формул Френе-Серре.

Первая формула Френе-Серре справедлива по определению нормали N и кривизны κ, а третья формула Френе-Серре справедлива по определению кручения τ. Таким образом, необходимо показать вторую формулу Френе-Серре.

Поскольку T , N и B являются ортогональными единичными векторами с B = T × N , также T = N × B и N = B × T . Дифференцирование последнего уравнения по s дает

∂ N /∂s = (∂ B /∂s) × T + B × (∂ T /∂s)

Учитывая, что ∂ B /∂s = -τ N и ∂ T /∂s = κ N , это становится

∂ N / ∂s знак равно -τ ( N × Т ) + κ ( B × N )

= τ B - κ T

Это и есть вторая формула Френе-Серре.

Приложения и интерпретация

Кинематика рамы

Система Френе–Серре, движущаяся по спирали в пространстве.

Фрейм Френе–Серре, состоящий из касательной T , нормали N и бинормали B, вместе образует ортонормированный базис трехмерного пространства. В каждой точке кривой прикрепляется система отсчета или прямолинейная система координат (см. изображение).

Формулы Френе–Серре допускают кинематическую интерпретацию. Представьте, что наблюдатель движется по кривой во времени, используя прикрепленную в каждой точке систему координат в качестве своей системы координат. Формулы Френе-Серре означают, что эта система координат постоянно вращается по мере движения наблюдателя по кривой. Следовательно, эта система координат всегда неинерциальна . Угловой момент системы координат наблюдателя пропорционален вектору Дарбу системы отсчета.

Наблюдается вращение волчка, ось которого лежит вдоль бинормали, с угловой скоростью κ. Если ось расположена по касательной, то наблюдается ее вращение с угловой скоростью τ.

Конкретно, предположим, что наблюдатель несет с собой (инерционный) волчок (или гироскоп ) вдоль кривой. Если ось вершины указывает по касательной к кривой, то будет наблюдаться ее вращение вокруг своей оси с угловой скоростью -τ относительно неинерциальной системы координат наблюдателя. Если, с другой стороны, ось вершины направлена ​​в бинормальном направлении, то наблюдается вращение с угловой скоростью -κ. Это легко визуализировать в случае, когда кривизна является положительной константой и кручение исчезает. Наблюдатель тогда находится в равномерном круговом движении . Если вершина направлена ​​в сторону бинормали, то в силу сохранения углового момента она должна вращаться в направлении, противоположном круговому движению. В предельном случае, когда кривизна исчезает, нормаль наблюдателя прецессирует вокруг касательного вектора, и аналогично волчок будет вращаться в направлении, противоположном этой прецессии.

Общий случай показан ниже . есть Дополнительные иллюстрации в Викимедиа.

Приложения

Кинематика рамы имеет множество применений в науке.

• В науках о жизни , особенно в моделях движения микробов, соображения системы Френе-Серре использовались для объяснения механизма, с помощью которого движущийся организм в вязкой среде меняет свое направление.
• В физике система Френе – Серре полезна, когда невозможно или неудобно задать естественную систему координат траектории. Так часто бывает, например, в теории относительности . В рамках этой настройки системы Френе-Серре использовались для моделирования прецессии гироскопа в гравитационной яме.

Графические иллюстрации

1. Пример перемещения базиса Френе ( T — синий, N — зеленый, B — фиолетовый) по кривой Вивиани .

2. На примере торического узла отображаются касательный вектор T , вектор нормали N и вектор бинормали B , а также кривизна κ(s) и кручение τ(s).
   В максимумах торсионной функции вращение системы Френе–Серре ( T , N , B ) вокруг касательного вектора. отчетливо видно

3. Кинематическое значение кривизны лучше всего иллюстрируется плоскими кривыми (имеющими постоянное кручение, равное нулю). См. страницу о кривизне плоских кривых .

Формулы Френе – Серре в исчислении

Формулы Френе-Серре часто вводятся в курсах по исчислению многих переменных как дополнение к изучению пространственных кривых, таких как спираль . Спираль можно охарактеризовать высотой 2π h и радиусом r одного витка . Кривизна и кручение спирали (постоянного радиуса) определяются формулами

$\kappa ={\frac {r}{r^{2}+h^{2}}}$

$\tau =\pm {\frac {h}{r^{2}+h^{2}}}.$

Две спирали (слинки) в космосе. (а) Более компактная спираль с большей кривизной и меньшим кручением. (б) Вытянутая спираль с немного большим кручением, но меньшей кривизной.

Знак кручения определяется правым или левым направлением закручивания винтовой линии вокруг своей центральной оси. В явном виде параметризация одного витка правой спирали высотой 2π h и радиусом r равна

х = р, потому что т

y = r грех т

z = час т

(0 ≤ т ≤ 2π)

а для левой спирали

х = р, потому что т

y = − r грех т

z = час т

(0 ≤ t ≤ 2π).

Обратите внимание, что это не параметризация длины дуги (в этом случае каждое из x , y и z нужно будет разделить на ${\sqrt {h^{2}+r^{2}}}$.)

В своих разъяснительных работах по геометрии кривых Руди Ракер использует модель пружины, чтобы объяснить значение скручивания и кривизны. Слинки, по его словам, характеризуются тем свойством, что количество

$A^{2}=h^{2}+r^{2}$

остается постоянным, если пружинка вытянута вертикально вдоль центральной оси. (Здесь 2π h — высота одного поворота пружины, а r — радиус.) В частности, кривизна и кручение дополняют друг друга в том смысле, что кручение можно увеличить за счет кривизны, растягивая пружину.

Расширение Тейлора

Многократное дифференцирование кривой и применение формул Френе – Серре дает следующее приближение Тейлора к кривой вблизи s = 0, если кривая параметризована длиной дуги:

$\mathbf {r} (s)=\mathbf {r} (0)+\left(s-{\frac {s^{3}\kappa ^{2}(0)}{6}}\right)\mathbf {T} (0)+\left({\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}+{\frac {s^{3}\kappa '(0)}{6}}\right)\mathbf {N} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{3}).$

Для общей кривой с неисчезающим кручением проекции кривой на различные координатные плоскости в системе координат T , N , B при s = 0 имеют следующую интерпретацию:

• Соприкасающаяся плоскость — это плоскость содержащая T и N. , Проекция кривой на эту плоскость имеет вид: $$\mathbf {r} (0)+s\mathbf {T} (0)+{\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}\mathbf {N} (0)+o(s^{2}).$$Это парабола с точки зрения порядка $O(s^{2})$, кривизна которого в точке 0 равна κ (0). Соприкасающаяся плоскость обладает особым свойством: расстояние от кривой до соприкасающейся плоскости равно $O(s^{3})$, а расстояние от кривой до любой другой плоскости не лучше, чем $O(s^{2})$. Это видно из приведенного выше расширения Тейлора. Таким образом, в некотором смысле соприкасающаяся плоскость является ближайшей плоскостью к кривой в данной точке.
  
• Нормальная плоскость — это плоскость, N и B. содержащая Проекция кривой на эту плоскость имеет вид: $$\mathbf {r} (0)+\left({\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}+{\frac {s^{3}\kappa '(0)}{6}}\right)\mathbf {N} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{3})$$которая является возвратной кубикой порядка o ( s ³ ).
• Выпрямляющая плоскость — это плоскость, T и B. содержащая Проекция кривой на эту плоскость равна: $$\mathbf {r} (0)+\left(s-{\frac {s^{3}\kappa ^{2}(0)}{6}}\right)\mathbf {T} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{3})$$который вычерчивает график кубического полинома порядка o ( s ³ ).

Ленты и трубочки

Лента, определяемая кривой постоянного кручения и сильно колеблющейся кривизной. Параметризация длины дуги кривой определялась путем интегрирования уравнений Френе – Серре.

Аппарат Френе-Серре позволяет определить некоторые оптимальные ленты и трубки, центрированные вокруг кривой. Они имеют разнообразные применения в материаловедении и теории упругости . а также компьютерной графике .

Лента Френе вдоль кривой C — это поверхность, очерченная путем проведения отрезка [− N , N ], образованного единичной нормалью вдоль кривой. Эту поверхность иногда путают с касательной разверткой , которая является E соприкасающихся плоскостей C. огибающей что и лента Френе, и E обладают схожими свойствами вдоль C. Возможно, это связано с тем , А именно, касательные плоскости обоих листов E вблизи особого места C, где эти листы пересекаются, приближаются к соприкасающимся плоскостям C ; касательные плоскости ленты Френе вдоль C равны этим соприкасающимся плоскостям. Лента Френе вообще не разворачивается.

Конгруэнтность кривых

В классической евклидовой геометрии интересуют исследования свойств фигур на плоскости, которые инвариантны относительно конгруэнтности, так что, если две фигуры конгруэнтны, они должны иметь одинаковые свойства. Аппарат Френе-Серре представляет кривизну и кручение как числовые инварианты пространственной кривой.

Грубо говоря, две кривые C и C ′ в пространстве конгруэнтны , если одну можно жестко переместить в другую. Жесткое движение состоит из комбинации поступательного движения и вращения. Трансляция перемещает одну точку C в точку C ′. Затем вращение корректирует ориентацию кривой C так, чтобы она совпадала с ориентацией C ′. Такая комбинация перемещения и вращения называется евклидовым движением . С точки зрения параметризации r ( t ), определяющей первую кривую C , общее евклидово движение C представляет собой комбинацию следующих операций:

• ( Перевод ) r ( t ) → r ( t ) + v , где v — постоянный вектор.
• ( Вращение ) r ( t ) + v → M ( r ( t ) + v ), где M — матрица вращения.

Система Френе-Серре особенно хорошо себя ведет по отношению к евклидовым движениям. Во-первых, поскольку все T , N и B могут быть заданы как последовательные производные параметризации кривой, каждый из них нечувствителен к добавлению постоянного вектора к r ( t ). Интуитивно понятно, что кадр TNB, прикрепленный к r ( t ), такой же, как кадр TNB, прикрепленный к новой кривой r ( t ) + v .

При этом остается учитывать только вращения. Интуитивно понятно, что если мы применим поворот M к кривой, то кадр TNB также будет вращаться. Точнее, матрица Q , строки которой являются векторами TNB системы Френе–Серре, изменяется на матрицу вращения

$Q\rightarrow QM.$

Тем более , матрица ⁠ dQ / ds ⁠ Q ^Т не зависит от вращения:

${\frac {\mathrm {d} (QM)}{\mathrm {d} s}}(QM)^{\top }={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} s}}MM^{\top }Q^{\top }={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} s}}Q^{\top }$

с тех пор как ММ ^Т = I для матрицы вращения.

Следовательно, элементы κ и τ ⁠ dQ / ds ⁠ Q ^Т являются инвариантами кривой относительно евклидовых движений: если к кривой приложить евклидово движение, то полученная кривая будет иметь ту же кривизну и кручение.

Более того, используя систему Френе–Серре, можно доказать и обратное: любые две кривые, имеющие одинаковые функции кривизны и кручения, должны быть конгруэнтны евклидовым движением. Грубо говоря, формулы Френе–Серре выражают производную Дарбу кадра TNB . Если производные Дарбу двух систем отсчета равны, то версия фундаментальной теоремы исчисления утверждает, что кривые конгруэнтны. В частности, кривизна и кручение представляют собой полный набор инвариантов трехмерной кривой.

Другие выражения кадра

Приведенные выше формулы для T , N и B зависят от кривой, заданной через параметр длины дуги. Это естественное предположение в евклидовой геометрии , поскольку длина дуги является евклидовым инвариантом кривой. В терминологии физики параметризация длины дуги — это естественный выбор калибра . Однако на практике работать с ним может быть неудобно. Доступен ряд других эквивалентных выражений.

Предположим, что кривая имеет вид r ( t ), где параметр t больше не обязательно должен быть длиной дуги. Тогда единичный касательный вектор T можно записать как

$\mathbf {T} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)}{\|\mathbf {r} '(t)\|}}$

Вектор нормали N принимает вид

$\mathbf {N} (t)={\frac {\mathbf {T} '(t)}{\|\mathbf {T} '(t)\|}}={\frac {\mathbf {r} '(t)\times \left(\mathbf {r} ''(t)\times \mathbf {r} '(t)\right)}{\left\|\mathbf {r} '(t)\right\|\,\left\|\mathbf {r} ''(t)\times \mathbf {r} '(t)\right\|}}$

Бинормаль B тогда

$\mathbf {B} (t)=\mathbf {T} (t)\times \mathbf {N} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)}{\|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\|}}$

Альтернативный способ прийти к тем же выражениям — взять первые три производные кривой r ’( t ), r »( t ), r »’( t ) и применить процесс Грама-Шмидта . Результирующий упорядоченный ортонормированный базис и есть кадр TNB . Эта процедура также обобщается для создания кадров Френе в более высоких измерениях.

В терминах параметра t формулы Френе–Серре приобретают дополнительный множитель || р ′( т )|| из-за правила цепочки :

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}=\|\mathbf {r} '(t)\|{\begin{bmatrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}$

Могут быть вычислены явные выражения для кривизны и кручения. Например,

$\kappa ={\frac {\|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\|}{\|\mathbf {r} '(t)\|^{3}}}$

Кручение можно выразить с помощью скалярного тройного произведения следующим образом:

$\tau ={\frac {[\mathbf {r} '(t),\mathbf {r} ''(t),\mathbf {r} '''(t)]}{\|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\|^{2}}}$

Особые случаи

Если кривизна всегда равна нулю, то кривая будет прямой линией. Здесь векторы N , B и кручение не определены четко.

Если кручение всегда равно нулю, то кривая будет лежать в плоскости.

Кривая может иметь ненулевую кривизну и нулевое кручение. Например, окружность радиуса R, заданная формулой r ( t )=( R cos t , R sin t , 0) в плоскости z =0, имеет нулевое кручение и кривизну, равную 1/ R . Обратное, однако, неверно. То есть регулярная кривая с ненулевым кручением должна иметь ненулевую кривизну. Это просто противоположность тому факту, что нулевая кривизна подразумевает нулевое кручение.

Спираль . имеет постоянную кривизну и постоянное кручение

Плоские кривые

Дополнительная информация: Плоская кривая.

Если кривая ${\bf {r}}(t)=\langle x(t),y(t),0\rangle$ содержится в $xy$-самолет, тогда его касательный вектор ${\displaystyle {\bf {T}}={\frac {{\bf {r}}'(t)}{||{\bf {r}}'(t)||}}}$ и главный единичный вектор нормали ${\displaystyle {\bf {N}}={\frac {{\bf {T}}'(t)}{||{\bf {T}}'(t)||}}}$ также будет лежать в $xy$-самолет. В результате единичный бинормальный вектор ${\bf {B}}={\bf {T}}\times {\bf {N}}$ перпендикулярен $xy$ плоскость и, таким образом, должна быть либо $\langle 0,0,1\rangle$ или $\langle 0,0,-1\rangle$. По правилу правой руки ${\bf {B}}$ будет $\langle 0,0,1\rangle$ если, если смотреть сверху, траектория кривой поворачивает влево и будет $\langle 0,0,-1\rangle$ если он поворачивает вправо. В результате кручение $\tau$ всегда будет нулем и формула ${\frac {||{\bf {r}}'(t)\times {\bf {r}}''(t)||}{||{\bf {r}}'(t)||^{3}}}$ для кривизны $\kappa$ становится

$\kappa ={\frac {|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|}{((x'(t))^{2}+(y'(t))^{2})^{3/2}}}$

См. также

• Аффинная геометрия кривых
• Дифференцируемая кривая
• Рамка Дарбу
• Кинематика
• Движущаяся рамка
• Тангенциальная и нормальная составляющие
• Радиальная, поперечная, нормальная

Ссылки

• Креншоу, ХК; Эдельштейн-Кешет, Л. (1993), «Ориентация винтовым движением II. Изменение направления оси движения», Бюллетень математической биологии , 55 (1): 213–230, doi : 10.1016/s0092-8240(05 )80070-9 , S2CID   50734771
• Этген, Гаррет; Хилле, Эйнар; Салас, Сатурнино (1995), Исчисление Саласа и Хилле - одна и несколько переменных (7-е изд.), John Wiley & Sons, стр. 896
• Френе, Ф. (1847), О кривых двойной кривизны (PDF) , Диссертация, Тулуза . Аннотация в журнале «Чистая и прикладная математика» 17 , 1852 г.
• Гориели, А.; Робертсон-Тесси, М.; Табор, М.; Вандивер, Р. (2006), «Модели эластичного роста», BIOMAT-2006 (PDF) , Springer-Verlag, заархивировано из оригинала (PDF) 29 декабря 2006 г.
• Гриффитс, Филлип (1974), «О методе Картана групп Ли и движущихся системах отсчета применительно к вопросам уникальности и существования в дифференциальной геометрии», Duke Mathematical Journal , 41 (4): 775–814, doi : 10.1215/S0012-7094- 74-04180-5 , S2CID   12966544 .
• Гуггенхаймер, Генрих (1977), Дифференциальная геометрия , Дувр, ISBN  0-486-63433-7
• Хэнсон, AJ (2007), «Кватернионные рамы Френе: изготовление оптимальных трубок и лент из кривых» (PDF) , Технический отчет Университета Индианы
• Айер, БР; Вишвешвара, К.В. (1993), «Описание гироскопической прецессии по Френе-Серре», Phys. Rev. , D, 48 (12): 5706–5720, arXiv : gr-qc/9310019 , Bibcode : 1993PhRvD..48.5706I , doi : 10.1103/physrevd.48.5706 , PMID   10016237 , S2CID   1194 58843
• Джордан, Камилла (1874 г.), «К теории кривых в n-мерном пространстве», CR Acad. наук. Париж , 79 : 795–797 .
• Кюнель, Вольфганг (2002), Дифференциальная геометрия , Студенческая математическая библиотека, том. 16, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-2656-0 , МР   1882174
• Серре, Ж.А. (1851), «О некоторых формулах, относящихся к теории кривых двойной кривизны» (PDF) , Журнал чистой и прикладной математики , 16 .
• Спивак, Майкл (1999), Всестороннее введение в дифференциальную геометрию (том второй) , Publish or Perish, Inc.
• Штернберг, Шломо (1964), Лекции по дифференциальной геометрии , Прентис-Холл
• Струик, Дирк Дж. (1961), Лекции по классической дифференциальной геометрии , Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли .

Внешние ссылки

• Создайте свои собственные анимированные иллюстрации движущихся рамок Френе-Серре, функций кривизны и кручения ( рабочий лист Maple )
• Бумага КаппаТау Руди Ракера .
• Очень красивое визуальное представление трехгранника.