Вектор Дарбу

В дифференциальной геометрии , особенно в теории пространственных кривых, вектор Дарбу — это угловой скорости вектор системы Френе пространственной кривой. Он назван в честь Гастона Дарбу . открывшего его Его еще называют вектором углового момента , поскольку он прямо пропорционален угловому моменту .

В терминах аппарата Френе-Серре вектор Дарбу ω можно выразить как

${\boldsymbol {\omega }}=\tau \mathbf {T} +\kappa \mathbf {B} \qquad \qquad (1)$

и он обладает следующими симметричными свойствами:

${\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {T} =\mathbf {T'} ,$

${\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {N} =\mathbf {N'} ,$

${\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {B} =\mathbf {B'} ,$

которое можно получить из уравнения (1) с помощью теоремы Френе-Серре (или наоборот).

Пусть твердый объект движется по регулярной кривой, параметрически описываемой β ( t ). Этот объект имеет собственную внутреннюю систему координат . Когда объект движется вдоль кривой, пусть его внутренняя система координат остается на одной линии с рамкой Френе кривой. При этом движение объекта будет описываться двумя векторами: вектором перемещения и вектором вращения ω , который является вектором скорости по площади: вектором Дарбу.

Обратите внимание, что это вращение является кинематическим , а не физическим, потому что обычно, когда твердый объект свободно движется в пространстве, его вращение не зависит от его перемещения. Исключением может быть случай, когда вращение объекта физически ограничено и согласовано с перемещением объекта, как в случае с тележкой американских горок .

Рассмотрим твердый объект, плавно движущийся по правильной кривой. После того, как перевод «учтен», объект вращается так же, как и его кадр Френе. Полный поворот системы Френе представляет собой комбинацию поворотов каждого из трех векторов Френе:

${\boldsymbol {\omega }}={\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {T} }+{\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {N} }+{\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {B} }.$

Каждый вектор Френе движется вокруг «начала координат», которое является центром твердого объекта (выберите некоторую точку внутри объекта и назовите ее ее центром). Плоская скорость касательного вектора равна:

${\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {T} }=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\mathbf {T} (t)\times \mathbf {T} (t+\Delta t) \over 2\,\Delta t}$

$={\mathbf {T} (t)\times \mathbf {T'} (t) \over 2}.$

Так же,

${\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {N} }={1 \over 2}\ \mathbf {N} (t)\times \mathbf {N'} (t),$

${\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {B} }={1 \over 2}\ \mathbf {B} (t)\times \mathbf {B'} (t).$

Теперь примените теорему Френе-Серре, чтобы найти компоненты пространственной скорости:

${\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {T} }={1 \over 2}\mathbf {T} \times \mathbf {T'} ={1 \over 2}\kappa \mathbf {T} \times \mathbf {N} ={1 \over 2}\kappa \mathbf {B}$

${\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {N} }={1 \over 2}\mathbf {N} \times \mathbf {N'} ={1 \over 2}(-\kappa \mathbf {N} \times \mathbf {T} +\tau \mathbf {N} \times \mathbf {B} )={1 \over 2}(\kappa \mathbf {B} +\tau \mathbf {T} )$

${\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {B} }={1 \over 2}\mathbf {B} \times \mathbf {B'} =-{1 \over 2}\tau \mathbf {B} \times \mathbf {N} ={1 \over 2}\tau \mathbf {T}$

так что

${\boldsymbol {\omega }}={1 \over 2}\kappa \mathbf {B} +{1 \over 2}(\kappa \mathbf {B} +\tau \mathbf {T} )+{1 \over 2}\tau \mathbf {T} =\kappa \mathbf {B} +\tau \mathbf {T} ,$

как заявлено.

Вектор Дарбу обеспечивает краткий способ геометрической интерпретации кривизны κ и кручения τ : кривизна — это мера вращения системы Френе вокруг единичного вектора бинормали, тогда как кручение — это мера вращения системы Френе вокруг касательного единичного вектора. .