Аффинная геометрия кривых

В математической области дифференциальной геометрии аффинная геометрия кривых представляет собой исследование кривых в аффинном пространстве и, в частности, свойств таких кривых, которые инвариантны относительно специальной аффинной группы. ${\mbox{SL}}(n,\mathbb {R} )\ltimes \mathbb {R} ^{n}.$

В классической евклидовой геометрии кривых основным инструментом является система Френе – Серре . В аффинной геометрии система Френе – Серре больше не определена четко, но можно определить другую каноническую движущуюся систему координат вдоль кривой, которая играет аналогичную решающую роль. Теория была разработана в начале 20 века, во многом благодаря усилиям Вильгельма Блашке и Жана Фавара .

Аффинный фрейм [ править ]

Пусть x ( t ) — кривая в $\mathbb {R} ^{n}$ . Предположим, как это делается в евклидовом случае, что первые n производных x ( t ) линейно независимы , так что, в частности, x ( t ) не лежит ни в одном аффинном подпространстве меньшей размерности $\mathbb {R} ^{2}$ . Тогда параметр кривой t можно нормализовать, задав определитель

\det {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }},&{\ddot {\mathbf {x} }},&\dots ,&{\mathbf {x} }^{(n)}\end{bmatrix}}=\pm 1.

Говорят, что такая кривая параметризуется своей аффинной длиной дуги . Для такой параметризации

t\mapsto [\mathbf {x} (t),{\dot {\mathbf {x} }}(t),\dots ,\mathbf {x} ^{(n)}(t)]

определяет отображение в специальную аффинную группу, известную как специальный аффинный репер для кривой. То есть в каждой точке величины $\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }},\dots ,\mathbf {x} ^{(n)}$ определить специальную аффинную рамку для аффинного пространства $\mathbb {R} ^{n}$ , состоящий из точки x пространства и специального линейного базиса ${\dot {\mathbf {x} }},\dots ,\mathbf {x} ^{(n)}$ прикреплен к точке x . Обращение формы Маурера –Картана вдоль этого отображения дает полный набор аффинных структурных инвариантов кривой. На плоскости это дает единственный скалярный инвариант — аффинную кривизну кривой.

Дискретный инвариант [ править ]

Нормировка параметра кривой s была выбрана выше так, чтобы

\det {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }},&{\ddot {\mathbf {x} }},&\dots ,&{\mathbf {x} }^{(n)}\end{bmatrix}}=\pm 1.

Если n ≡0 (mod 4) или n ≡3 (mod 4), то знак этого определителя является дискретным инвариантом кривой. Кривая называется dextrorse (правая извилистая, часто weinwendig на немецком языке), если она равна +1, и sinistrorse (левая извилистая, часто hopfenwendig на немецком языке), если она равна -1.

В трехмерном измерении правосторонняя спираль является правосторонней, а левосторонняя – левосторонней.

Кривизна [ править ]

Предположим, что кривая x в $\mathbb {R} ^{n}$ параметризуется аффинной длиной дуги. Тогда аффинные кривизны , k ₁ , …, k _{n −1} точки x определяются формулой

\mathbf {x} ^{(n+1)}=k_{1}{\dot {\mathbf {x} }}+\cdots +k_{n-1}\mathbf {x} ^{(n-1)}.

То, что такое выражение возможно, следует из вычисления производной определителя

0=\det {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }},&{\ddot {\mathbf {x} }},&\dots ,&{\mathbf {x} }^{(n)}\end{bmatrix}}{\dot {}}\,=\det {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }},&{\ddot {\mathbf {x} }},&\dots ,&{\mathbf {x} }^{(n+1)}\end{bmatrix}}

так что х ^{( н +1)} представляет собой линейную комбинацию x ′, …, x ^{( п -1)}.

Рассмотрим матрицу

A={\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }},&{\ddot {\mathbf {x} }},&\dots ,&{\mathbf {x} }^{(n)}\end{bmatrix}}

чьи столбцы являются первыми n производными от x (все еще параметризованными специальной аффинной длиной дуги). Затем,

{\dot {A}}={\begin{bmatrix}0&1&0&0&\cdots &0&0\\0&0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\cdots &\cdots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &1&0\\0&0&0&0&\cdots &0&1\\k_{1}&k_{2}&k_{3}&k_{4}&\cdots &k_{n-1}&0\end{bmatrix}}A=CA.

Говоря конкретнее, матрица C представляет собой обратный образ формы Маурера–Картана специальной линейной группы вдоль системы отсчета, заданной первыми n производными x .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Гуггенхаймер, Генрих (1977). Дифференциальная геометрия . Дувр. ISBN 0-486-63433-7 .
Спивак, Михаил (1999). Всестороннее введение в дифференциальную геометрию (Том 2) . Опубликуй или погибни. ISBN 0-914098-71-3 .