Двойное представительство

Эта статья о математической концепции. Чтобы узнать о психологической концепции, см. Двойное представление (психология) .

В математике , если G — группа и ρ — линейное представление ее в векторном пространстве V , то двойственное представление ρ* определяется над двойственным векторным пространством V * следующим образом:

ρ*( g ) — транспонирование ρ ( g ⁻¹ ) , то есть ρ*( g ) = ρ( g ⁻¹ ) ^Т для g ∈ G. всех

Двойное представление также известно как контрагредиентное представление .

Если g — алгебра Ли и π — ее представление в векторном пространстве V , то двойственное представление π* определяется над двойственным векторным пространством V * следующим образом:

π*( Икс ) = -π( Икс ) ^Т для всех X ∈ g .

Мотивацией для этого определения является то, что представление алгебры Ли, связанное с двойственным представлением группы Ли, вычисляется по приведенной выше формуле. Но определение двойственного представления алгебры Ли имеет смысл, даже если оно не происходит из представления группы Ли.

В обоих случаях двойственное представление является представлением в обычном смысле.

Характеристики

Неприводимость и второй двойник

Если (конечномерное) представление неприводимо, то двойственное представление также неприводимо. — но не обязательно изоморфно исходному представлению. С другой стороны, двойственное к любому представлению изоморфно исходному представлению.

Унитарные представления

Рассмотрим унитарное представление $\rho$ группы $G$, и давайте работать в ортонормированном базисе. Таким образом, $\rho$ карты $G$ в группу унитарных матриц. Тогда абстрактное транспонирование в определении двойственного представления можно отождествить с обычным матричным транспонированием. Поскольку сопряженная матрица является комплексно-сопряженным транспонированием, транспонирование является сопряженным сопряженным. Таким образом, $\rho ^{\ast }(g)$ является комплексно сопряженным сопряженным обратным $\rho (g)$. Но поскольку $\rho (g)$ предполагается унитарным, сопряженным к обратному $\rho (g)$ это просто $\rho (g)$.

Результатом этого обсуждения является то, что при работе с унитарными представлениями в ортонормированном базисе $\rho ^{*}(g)$ это просто комплексное сопряжение $\rho (g)$.

Случаи SU(2) и SU(3)

В теории представлений SU(2) двойственное каждому неприводимому представлению оказывается изоморфным этому представлению. Но для представлений SU(3) двойственное неприводимому представлению с меткой $(m_{1},m_{2})$ — неприводимое представление с меткой $(m_{2},m_{1})$. В частности, стандартное трехмерное представление SU(3) (с наибольшим весом $(1,0)$) не изоморфен своему двойственному. В теории кварков в физической литературе стандартное представление и двойственное ему называются « $3$" и " ${\bar {3}}$."

Два неизоморфных двойственных представления SU(3) со старшими весами (1,2) и (2,1)

Общие полупростые алгебры Ли

В более общем смысле, в теории представлений полупростых алгебр Ли (или близко связанной с ней теории представлений компактных групп Ли ) веса двойственного представления являются отрицательными весами исходного представления. (См. рисунок.) Теперь для данной алгебры Ли, если должно случиться, что оператор $-I$ является элементом группы Вейля , то веса каждого представления автоматически инвариантны относительно отображения $\mu \mapsto -\mu$. Для таких алгебр Ли каждое неприводимое представление будет изоморфно своему двойственному представлению. (Такова ситуация для SU(2), где группа Вейля равна $\{I,-I\}$.) К алгебрам Ли с этим свойством относятся нечетные ортогональные алгебры Ли $\operatorname {so} (2n+1;\mathbb {C} )$ (тип $B_{n}$) и симплектические алгебры Ли $\operatorname {sp} (n;\mathbb {C} )$ (тип $C_{n}$).

Если для данной алгебры Ли $-I$ принадлежит не группе Вейля, то двойственное неприводимому представлению в общем случае не будет изоморфно исходному представлению. Чтобы понять, как это работает, отметим, что всегда существует уникальный элемент группы Вейля. $w_{0}$ сопоставление негатива фундаментальной камеры Вейля с фундаментальной камерой Вейля. Тогда если у нас есть неприводимое представление со старшим весом $\mu$, наименьший вес двойственного представления будет $-\mu$. Отсюда следует, что наивысший вес двойственного представления будет равен $w_{0}\cdot (-\mu )\,$. Поскольку мы предполагаем $-I$ не входит в группу Вейля, $w_{0}$ не может быть $-I$, а это значит, что карта $\mu \mapsto w_{0}\cdot (-\mu )$ это не личность. Конечно, может случиться так, что при некоторых особых вариантах выбора $\mu$, у нас может быть $\mu =w_{0}\cdot (-\mu )$. Например, присоединенное представление всегда изоморфно своему двойственному представлению.

В случае SU(3) (или ее комплексифицированной алгебры Ли $\operatorname {sl} (3;\mathbb {C} )$), мы можем выбрать базу, состоящую из двух корней $\{\alpha _{1},\alpha _{2}\}$ под углом 120 градусов, так что третий положительный корень равен $\alpha _{3}=\alpha _{1}+\alpha _{2}$. В этом случае элемент $w_{0}$ это отражение относительно линии, перпендикулярной $\alpha _{3}$. Тогда карта $\mu \mapsto w_{0}\cdot (-\mu )$ это размышление о линии, проходящей через $\alpha _{3}$. Тогда самодуальными представлениями будут те, которые лежат вдоль линии, проходящей через $\alpha _{3}$. Это представления с метками вида $(m,m)$, которые представляют собой представления, весовые диаграммы которых представляют собой правильные шестиугольники.

Мотивация

В теории представлений как векторы из V , так и линейные функционалы из V * рассматриваются как векторы-столбцы, так что представление может действовать (путем умножения матриц) слева . Учитывая базис для V и двойственный базис для V * , действие линейного функционала φ на v , φ(v) может быть выражено матричным умножением,

$\langle \varphi ,v\rangle \equiv \varphi (v)=\varphi ^{T}v$,

где верхний индекс T означает транспонирование матрицы. Последовательность требует

$\langle {\rho }^{*}(g)\varphi ,\rho (g)v\rangle =\langle \varphi ,v\rangle .$

Учитывая данное определение,

$\langle {\rho }^{*}(g)\varphi ,\rho (g)v\rangle =\langle \rho (g^{-1})^{T}\varphi ,\rho (g)v\rangle =(\rho (g^{-1})^{T}\varphi )^{T}\rho (g)v=\varphi ^{T}\rho (g^{-1})\rho (g)v=\varphi ^{T}v=\langle \varphi ,v\rangle .$

Для представления алгебры Ли выбирается согласованность с возможным представлением группы. В общем случае, если Π является представлением группы Ли, то π, заданный формулой

$\pi (X)={\frac {d}{dt}}\Pi (e^{tX})|_{t=0}.$

является представлением своей алгебры Ли. Если Π* двойственно к Π , то соответствующее ему представление алгебры Ли π* задается формулой

$\pi ^{*}(X)={\frac {d}{dt}}\Pi ^{*}(e^{tX})|_{t=0}={\frac {d}{dt}}\Pi (e^{-tX})^{T}|_{t=0}=-\pi (X)^{T}.$   

Пример

Рассмотрим группу $G=U(1)$ комплексных чисел с абсолютной величиной 1. Все неприводимые представления одномерны, как следствие леммы Шура . Неприводимые представления параметризуются целыми числами. $n$ и задано явно как

$\rho _{n}(e^{i\theta })=[e^{in\theta }].$

Двойное представление $\rho _{n}$ тогда является обратным транспонированию этой последовательной матрицы, то есть

$\rho _{n}^{*}(e^{i\theta })=[e^{-in\theta }]=\rho _{-n}(e^{i\theta }).$

То есть двойственное представление $\rho _{n}$ является $\rho _{-n}$.

Обобщение

Общий кольцевой модуль не допускает двойственного представления. Однако модули алгебр Хопфа делают это.

См. также

• Комплексно-сопряженное представление
• Тензорное произведение представлений
• Kirillov Character Formula

Ссылки

• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN  978-3319134666 .