Ортогональная группа

В математике ортогональная группа в размерности n , обозначаемая O( n ) , представляет собой группу сохраняющих расстояние преобразований размерности евклидова пространства n , которые сохраняют фиксированную точку, где групповая операция задается составными преобразованиями. Ортогональную группу иногда называют общей ортогональной группой по аналогии с общей линейной группой . Эквивалентно, это группа размера n × n ортогональных матриц , где групповая операция задается умножением матриц (ортогональная матрица — это действительная матрица матрица которой , обратная равна ее транспонированию ). Ортогональная группа — это алгебраическая группа и группа Ли . Он компактный .

Ортогональная группа в размерности n имеет две связные компоненты . Та, которая содержит единичный элемент , является нормальной подгруппой , называемой специальной ортогональной группой и обозначаемой SO( n ) . Она состоит из всех ортогональных матриц определителя 1. Эту группу также называют группой вращений , обобщая тот факт, что в размерностях 2 и 3 ее элементами являются обычные вращения вокруг точки (в размерности 2) или прямой (в размерности 3). ). В низкой размерности эти группы были широко изучены, см. SO(2) , SO(3) и SO(4) . Другой компонент состоит из всех ортогональных матриц определителя −1 . Этот компонент не образует группу, поскольку произведение любых двух его элементов имеет определитель 1 и, следовательно, не является элементом компонента.

В более широком смысле, для любого поля F матрица размера n × n с элементами в F, такая, что ее обратная пропорция равна ее транспонированию, называется ортогональной матрицей над F . Ортогональные n × n ​матрицы образуют подгруппу, обозначаемую O( n , F ) общей линейной группы GL( n , F ) ; то есть $$\operatorname {O} (n,F)=\left\{Q\in \operatorname {GL} (n,F)\mid Q^{\mathsf {T}}Q=QQ^{\mathsf {T}}=I\right\}.$$

В более общем смысле, учитывая невырожденную симметричную билинейную форму или квадратичную форму. в векторном пространстве над полем ортогональная группа формы — это группа обратимых линейных отображений , сохраняющих форму. Предыдущие ортогональные группы представляют собой особый случай, когда на каком-то основании билинейная форма представляет собой скалярное произведение или, что то же самое, квадратичная форма представляет собой сумму квадратов координат.

Все ортогональные группы являются алгебраическими группами , поскольку условие сохранения формы можно выразить как равенство матриц.

Имя

Название «ортогональная группа» происходит от следующей характеристики ее элементов. Учитывая евклидово векторное пространство E размерности n , элементы ортогональной группы O( n ) являются, с точностью до равномерного масштабирования ( гомотетии ), линейными отображениями из E в E , которые отображают ортогональные векторы в ортогональные векторы.

В евклидовой геометрии

Ортогональ O( n ) — это подгруппа полной линейной группы GL( n , R ) , состоящая из всех эндоморфизмов , сохраняющих евклидову норму ; то есть эндоморфизмы g такие, что $\|g(x)\|=\|x\|.$

Пусть E( n ) — группа евклидовых изометрий пространства евклидова S размерности n . Эта группа не зависит от выбора того или иного пространства, так как все евклидовы пространства одной размерности изоморфны . Подгруппа стабилизатора точки x ∈ S — это подгруппа элементов g ∈ E( n ) таких, что g ( x ) = x . Этот стабилизатор является (или, точнее, изоморфен) O( n ) , поскольку выбор точки в качестве начала координат вызывает изоморфизм между евклидовым пространством и связанным с ним евклидовым векторным пространством.

Существует естественный групповой гомоморфизм p из E( n ) в O( n ) , который определяется формулой

$p(g)(y-x)=g(y)-g(x),$

где, как обычно, вычитание двух точек обозначает вектор перемещения , который отображает вторую точку в первую. Это четко определенный гомоморфизм, поскольку простая проверка показывает, что если две пары точек имеют одинаковую разность, то же самое верно и для их изображений по g (подробнее см. Аффинное пространство § Вычитание и аксиомы Вейля ).

Ядро p — это векторное пространство переводов. Итак, сдвиги образуют нормальную подгруппу в E( n ) , стабилизаторы двух точек сопряжены под действием сдвигов и все стабилизаторы изоморфны O( n ) .

Более того, евклидова группа является полупрямым произведением O ( n ) и группы сдвигов. Отсюда следует, что изучение евклидовой группы по существу сводится к изучению O( n ) .

Специальная ортогональная группа

Выбрав ортонормированный базис евклидова векторного пространства, ортогональную группу можно отождествить с группой (при умножении матриц) ортогональных матриц , которые являются матрицами такими, что

$QQ^{\mathsf {T}}=I.$

этого уравнения следует, что квадрат определителя Q равен Из 1 , и, следовательно, определитель Q равен либо 1 , либо −1 . Ортогональные матрицы с определителем 1 образуют подгруппу, называемую специальной ортогональной группой , обозначаемой SO( n ) , состоящую из всех прямых изометрий O ( n ) , которые сохраняют ориентацию пространства.

SO( n ) — нормальная подгруппа O( n ) как ядро ​​определителя, который является гомоморфизмом группы, образом которого является мультипликативная группа {−1, +1} . Это означает, что ортогональная группа является внутренним полупрямым произведением SO ( n ) и любой подгруппы, образованной тождеством и отражением .

Группа с двумя элементами {± I } (где I — единичная матрица) является нормальной подгруппой и даже характеристической подгруппой группы O( n ) , а если n четно, то и группы SO( n ) . Если n нечетно, O( n ) является внутренним прямым произведением SO ( n ) и {± I } .

Группа SO(2) абелева n (тогда как SO( n ) не абелева, когда > 2 ). Ее конечные подгруппы представляют собой циклическую группу Ck _k вращений -кратных для каждого положительного целого числа k . Все эти группы являются нормальными подгруппами O(2) и SO(2) .

Каноническая форма

Для любого элемента из O( n ) существует ортогональный базис, где его матрица имеет вид

${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{matrix}}&0\\0&{\begin{matrix}\pm 1&&\\&\ddots &\\&&\pm 1\end{matrix}}\\\end{bmatrix}},$

где матрицы R ₁ , ..., R _k представляют собой матрицы вращения 2х2, то есть матрицы вида

${\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}},$

с ​ ² + б ² = 1 .

Это следует из спектральной теоремы путем перегруппировки собственных значений , которые являются комплексно-сопряженными , и принимая во внимание, что все абсолютные значения собственных значений ортогональной матрицы равны 1 .

Элемент принадлежит SO( n ) находится четное число −1 тогда и только тогда, когда на диагонали . Пара собственных значений −1 может быть идентифицирована поворотом на π , а пара собственных значений +1 может быть идентифицирована поворотом на 0 .

Особый случай n = 3 известен как теорема Эйлера о вращении , которая утверждает, что каждый (неединичный) элемент SO(3) представляет собой вращение вокруг уникальной пары ось-угол.

Размышления

Отражения — это элементы O( n ), каноническая форма которых равна

${\begin{bmatrix}-1&0\\0&I\end{bmatrix}},$

где I - единичная матрица ( n - 1) × ( n - 1) , а нули обозначают нулевые матрицы строк или столбцов. Другими словами, отражение — это преобразование, преобразующее пространство в его зеркальное отражение относительно гиперплоскости .

Во втором измерении каждое вращение можно разложить на произведение двух отражений . Точнее, поворот на угол θ — это произведение двух отражений, оси которых образуют угол θ /2 .

Произведения до n элементарных отражений всегда достаточно для генерации любого элемента O( n ) . Это непосредственно следует из приведенной выше канонической формы и случая размерности два.

Теорема Картана –Дьедонне является обобщением этого результата на ортогональную группу невырожденной квадратичной формы над полем характеристики, отличной от двух.

Отражение через начало координат (карта v ↦ − v ) является примером элемента O( n ) , который не является продуктом менее чем n отражений.

Группа симметрии сфер

Ортогональная группа O( n ) — это группа симметрии n ( ) и − 1) -сферы (при n = 3 это просто сфера всех объектов со сферической симметрией, если начало координат выбрано в центре.

Группа симметрии круга O ( — 2) . сохраняющая ориентацию, Подгруппа SO(2), изоморфна (как вещественная группа Ли) группе кругов , также известной как U (1) , мультипликативной группе комплексных чисел с абсолютным значением, равным единице. Этот изоморфизм переводит комплексное число exp( φ i ) = cos( φ ) + i sin( φ ) абсолютного значения   1 в специальную ортогональную матрицу

${\begin{bmatrix}\cos(\varphi )&-\sin(\varphi )\\\sin(\varphi )&\cos(\varphi )\end{bmatrix}}.$

В более высокой размерности O( n ) имеет более сложную структуру (в частности, он больше не является коммутативным). Топологические n структуры n -сферы и O( ) сильно коррелированы, и эта корреляция широко используется для изучения обоих топологических пространств .

Структура группы

Группы O( n ) и SO( ) являются вещественными компактными группами Ли размерности n n ( n - 1)/2 . Группа O( n ) имеет два связных компонента , причем SO( n ) является единичным компонентом , то есть связным компонентом, содержащим единичную матрицу .

Как алгебраические группы

Ортогональную группу O( n ) можно отождествить с группой матриц A таких, что A ^Т А = Я. ​ Поскольку оба члена этого уравнения являются симметричными матрицами , это дает n ( n + 1)/2 уравнений, которым должны удовлетворять элементы ортогональной матрицы, и которым не все элементы любой неортогональной матрицы удовлетворяют.

Это доказывает, что O( n ) является алгебраическим множеством . Более того, это можно доказать что его размерность

${\frac {n(n-1)}{2}}=n^{2}-{\frac {n(n+1)}{2}},$

из чего следует, что O( n ) — полное пересечение . Это означает, что все его неприводимые компоненты имеют одинаковую размерность и что у него нет встроенных компонентов .Фактически, O( n ) имеет две неприводимые компоненты, которые различаются знаком определителя (то есть det( A ) = 1 или det( A ) = −1 ). Оба являются неособыми алгебраическими многообразиями одной и той же размерности n ( n - 1)/2 . Компонент с det( A ) = 1 — это SO( n ) .

Максимальные торы и группы Вейля

Максимальный тор в компактной группе Ли G — это максимальная подгруппа среди подгрупп, изоморфных T ^к для некоторого k , где T = SO(2) — стандартный одномерный тор.

В O(2 n ) и SO(2 n ) для каждого максимального тора существует базис, на котором тор состоит из блочно-диагональных матриц вида

${\begin{bmatrix}R_{1}&&0\\&\ddots &\\0&&R_{n}\end{bmatrix}},$

где каждый R _j принадлежит SO(2) . В O(2 n + 1) и SO(2 n + 1) максимальные торы имеют одинаковую форму, окаймленные строкой и столбцом нулей, и 1 на диагонали.

Группа Вейля группы SO(2 n + 1) является полупрямым произведением $\{\pm 1\}^{n}\rtimes S_{n}$ нормальной элементарной абелевой 2-подгруппы и симметрической группы , где нетривиальный элемент каждого {±1} фактора {±1} ^н действует на соответствующий фактор окружности T × {1} путем инверсии , а симметрическая группа S _n действует на оба {±1} ^н и T × {1 } перестановкой множителей. Элементы группы Вейля представлены матрицами размера O(2 n ) × {±1} .Коэффициент Sn _{представлен матрицами перестановок блоков с} блоками 2х2 и конечной единицей по диагонали. { ±1} ^н компонент представлен блочно-диагональными матрицами с блоками 2х2 либо

${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\quad {\text{or}}\quad {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},$

с последним компонентом ±1, выбранным для определения определителя 1 .

Группа Вейля группы SO(2 n ) — это подгруппа $H_{n-1}\rtimes S_{n}<\{\pm 1\}^{n}\rtimes S_{n}$ SO (2 n + 1) , где H _{n −1} < {±1} ^н является ядром гомоморфизма произведения {±1} ^н → {±1}, заданный формулой $\left(\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{n}\right)\mapsto \varepsilon _{1}\cdots \varepsilon _{n}$; то есть H _{n −1} < {±1} ^н — подгруппа с четным числом знаков минус. Группа Вейля SO(2 n ) представлена ​​в SO(2 n ) прообразами при стандартной инъекции SO(2 n ) → SO(2 n + 1) представителей группы Вейля SO(2 n + 1) . Это матрицы с нечетным числом ${\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$ блоки не имеют оставшейся последней координаты -1 , чтобы сделать их определители положительными, и, следовательно, не могут быть представлены в SO(2 n ) .

Топология

Низкоразмерная топология

Маломерные (действительные) ортогональные группы — это знакомые пространства :

• О(1) = С ⁰ , двухточечное пространство дискретное
• ТАК(1) = {1}
• SO(2) — это S ¹
• SO(3) — это R P ³
• SO(4) SU дважды покрывается ( 2) × SU (2) = S ³ × С ³ .

Фундаментальная группа

С точки зрения алгебраической топологии , для n > 2 фундаментальная группа SO ( n , R ) является циклической порядка 2 , а спиновая группа Spin( n ) является его универсальным покрытием . При n = 2 фундаментальная группа является бесконечной циклической , а универсальное накрытие соответствует вещественной прямой (группа Spin(2) — единственное связное 2-кратное накрытие ).

Гомотопические группы

Обычно гомотопические группы π _k ( O ) вещественной ортогональной группы связаны с гомотопическими группами сфер и, следовательно, их вообще трудно вычислить. Однако можно вычислить гомотопические группы стабильной ортогональной группы (также известной как бесконечная ортогональная группа), определяемой как прямой предел последовательности включений:

$\operatorname {O} (0)\subset \operatorname {O} (1)\subset \operatorname {O} (2)\subset \cdots \subset O=\bigcup _{k=0}^{\infty }\operatorname {O} (k)$

Поскольку все включения замкнуты, а значит, и корасслоения , это также можно интерпретировать как объединение. С другой стороны, С ^н является однородным пространством для O( n + 1) и имеет следующее расслоение :

$\operatorname {O} (n)\to \operatorname {O} (n+1)\to S^{n},$

что можно понимать как «Ортогональная группа O( n + 1) действует транзитивно на единичной сфере S ^н , а стабилизатор точки (считаемый единичным вектором ) — это ортогональная группа перпендикулярного дополнения , которая является ортогональной группой на одно измерение ниже». Таким образом, естественное включение O( n ) → O( n + 1) есть ( n − 1) -связен , поэтому гомотопические группы стабилизируются, и π _k (O( n + 1)) = π _k (O( n )) для n > k + 1 : таким образом, гомотопические группы стабильного пространства равны нижние гомотопические группы неустойчивых пространств.

Из периодичности Ботта получаем Ω ⁸ O ≅ O , поэтому гомотопические группы O являются 8-кратно периодическими, что означает π _{k + 8} ( O ) = π _k ( O ) , и нужно только перечислить 8 нижних гомотопических групп:

${\begin{aligned}\pi _{0}(O)&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{1}(O)&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{2}(O)&=0\\\pi _{3}(O)&=\mathbf {Z} \\\pi _{4}(O)&=0\\\pi _{5}(O)&=0\\\pi _{6}(O)&=0\\\pi _{7}(O)&=\mathbf {Z} \end{aligned}}$

Связь с КО-теорией

С помощью конструкции сцепления гомотопические группы стабильного пространства O отождествляются со стабильными векторными расслоениями на сферах ( с точностью до изоморфизма ) со сдвигом размерности на 1: π _k ( O ) = π _{k + 1} ( BO ) . Установка KO = BO × Z = Ω ⁻¹ O × Z (чтобы π ₀ укладывалось в периодичность), получаем:

${\begin{aligned}\pi _{0}(KO)&=\mathbf {Z} \\\pi _{1}(KO)&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{2}(KO)&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{3}(KO)&=0\\\pi _{4}(KO)&=\mathbf {Z} \\\pi _{5}(KO)&=0\\\pi _{6}(KO)&=0\\\pi _{7}(KO)&=0\end{aligned}}$

Вычисление и интерпретация гомотопических групп

Малоразмерные группы

Первые несколько гомотопических групп можно вычислить, используя конкретные описания маломерных групп.

• π ₀ ( O ) = π ₀ (O(1)) = Z /2 Z , из сохранения/реверса ориентации (этот класс сохраняется до O(2) и, следовательно, стабильно)
• π ₁ ( O ) = π ₁ (SO(3)) = Z / 2 Z , что является спином , полученным из SO(3) = R P ³ = С ³ / ( Z / 2 Z ) .
• π ₂ ( O ) = π ₂ (SO(3)) = 0 , который сюръектируется на π ₂ (SO(4)) ; это последнее, таким образом, исчезает.

Группы лжи

Из общих фактов о группах Ли следует , что π ₂ ( G ) всегда обращается в нуль, а π ₃ ( G ) свободна ( свободная абелева ).

Векторные пучки

π ₀ ( K O) — векторное расслоение над S ⁰ , который состоит из двух точек. Таким образом, над каждой точкой расслоение тривиально, а нетривиальность расслоения — это разница между размерностями векторных пространств над двумя точками, поэтому π ₀ ( K O) = Z размерность — .

Циклические пространства

Используя конкретные описания пространств петель в периодичности Ботта , можно интерпретировать высшие гомотопии O в терминах более простых для анализа гомотопий более низкого порядка. Используя π ₀ , O и O /U имеют две компоненты, K O = B O × Z и K Sp = B Sp × Z имеют счетное число компонент, а остальные связны.

Интерпретация гомотопических групп

В двух словах:

• π ₀ ( K O) = Z имеет размерность
• π ₁ ( K O) = Z /2 Z – об ориентации
• π ₂ ( K O) = Z /2 Z — о спине
• π ₄ ( K O) = Z посвящен топологической квантовой теории поля .

Пусть R — любая из четырех тел алгебр R , C , H , O и пусть L _R — тавтологическое линейное расслоение над проективной прямой R P ¹ , и [ L _R ] его класс в K-теории. Отмечая, что Р П ¹ = С ¹ , КП ​ ¹ = С ² , Х П ¹ = С ⁴ , ВКЛ ¹ = С ⁸ , они дают векторные расслоения над соответствующими сферами, и

• π ₁ ( K O) порождается [ L _R ]
• π ₂ ( K O) порождается [ L _C ]
• π ₄ ( K O) порождается [ L _H ]
• π ₈ ( K O) порождается [ L _O ]

С точки зрения геометрии симплектической π ₀ ( K O) ≅ π ₈ ( K O) = Z можно интерпретировать как индекс Маслова , думая о нем как о фундаментальной группе π ₁ (U/O) стабильного лагранжиана. Грассманиан как U/O ≅ Ω ⁷ ( K O) , поэтому π ₁ (U/O) = π ₁₊₇ ( K O) .

Башня Уайтхеда

Ортогональная группа закрепляет башню Уайтхеда :

$\cdots \rightarrow \operatorname {Fivebrane} (n)\rightarrow \operatorname {String} (n)\rightarrow \operatorname {Spin} (n)\rightarrow \operatorname {SO} (n)\rightarrow \operatorname {O} (n)$

которое получается последовательным удалением (убийством) гомотопических групп возрастающего порядка. Это делается путем построения коротких точных последовательностей, начинающихся с пространства Эйленберга – Маклейна для удаляемой гомотопической группы. Первые несколько записей в башне — это спиновая группа и струнная группа , им предшествует группа пятибран . Гомотопические группы, которые уничтожаются, в свою очередь: π ₀ ( O ) для получения SO из O , π ₁ ( O ) для получения Spin из SO , π ₃ ( O ) для получения String из Spin , а затем π ₇ ( O ) и более высокого порядка и так далее, чтобы получить браны .

Неопределённой квадратичной формы над вещественными числами

Основная статья: Неопределенная ортогональная группа

Над действительными числами невырожденные квадратичные формы классифицируются законом инерции Сильвестра , который утверждает, что в векторном пространстве размерности n такая форма может быть записана как разность суммы p квадратов и суммы q квадратов: с p + q = n . Другими словами, существует основа, на которой матрица квадратичной формы представляет собой диагональную матрицу с p элементами, равными 1 , и q элементами, равными −1 . Пара ( p , q ), называемая инерцией , является инвариантом квадратичной формы в том смысле, что она не зависит от способа вычисления диагональной матрицы.

Ортогональная группа квадратичной формы зависит только от инерции и поэтому обычно обозначается O( p , q ) . Более того, поскольку квадратичная форма и ее противоположность имеют одну и ту же ортогональную группу, то O( p , q ) = O( q , p ) .

Стандартная ортогональная группа — это O( n ) = O( n , 0) = O(0, n ) . Итак, в оставшейся части этого раздела предполагается, что ни p, ни q не равны нулю.

Подгруппа матриц определителя 1 в O( p , q ) обозначается SO( p , q ) . Группа O( p , q ) имеет четыре компонента связности, в зависимости от того, сохраняет ли элемент ориентацию в любом из двух максимальных подпространств, где квадратичная форма является положительно определенной или отрицательно определенной. Компонента единицы, элементы которой сохраняют ориентацию на обоих подпространствах, обозначается SO ⁺ ( п , q ) .

Группа O(3, 1) — это группа Лоренца , которая является фундаментальной в теории относительности . Здесь 3 соответствует пространственным координатам, а 1 соответствует временной координате.

О сложных квадратичных формах

Над полем C комплексных чисел каждая невырожденная квадратичная форма от n переменных эквивалентна x ₁ ² + ... + х _н ² . Таким образом, с точностью до изоморфизма существует только одно невырожденное комплексное квадратичное пространство размерности n и одна связанная с ним ортогональная группа, обычно обозначаемая O( n , C ) . Это группа комплексных ортогональных матриц , комплексных матриц, произведение которых с их транспонированием является единичной матрицей.

Как и в реальном случае, O( n , C ) имеет две компоненты связности. Компонент идентичности состоит из всех матриц определителя 1 из O( n , C ) ; он обозначается SO( n , C ) .

Группы O( n , C ) и SO( n , C ) являются комплексными группами Ли размерности n ( n - 1)/2 над C (размерность над R вдвое больше). При n ≥ 2 эти группы некомпактны.Как и в реальном случае, SO( n , C ) не является односвязным: для n > 2 фундаментальная группа SO ( n , C ) является циклической порядка 2 , тогда как фундаментальная группа SO(2, C ) является З. ​

Над конечными полями

Характеристика отличается от двух

Над полем характеристики, отличной от двух, две квадратичные формы эквивалентны , если их матрицы конгруэнтны , то есть если изменение базиса преобразует матрицу первой формы в матрицу второй формы. Две эквивалентные квадратичные формы, очевидно, имеют одну и ту же ортогональную группу.

Невырожденные квадратичные формы над конечным полем характеристики, отличной от двух, полностью классифицируются на классы конгруэнтности, и в результате этой классификации существует только одна ортогональная группа в нечетном измерении и две в четном измерении.

Точнее, теорема о разложении Витта утверждает, что (в характеристике, отличной от двух) каждое векторное пространство, снабженное невырожденной квадратичной формой Q, можно разложить в прямую сумму попарно ортогональных подпространств.

$V=L_{1}\oplus L_{2}\oplus \cdots \oplus L_{m}\oplus W,$

где каждый L _i является гиперболической плоскостью (т. е. существует базис такой, что матрица ограничения Q на L _i имеет вид $\textstyle {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$), а ограничение Q на W анизотропно ) (т. е. Q ( w ) ≠ 0 для каждого ненулевого w в W .

Теорема Шевалле -Уорнинга утверждает, что над конечным полем размерность W не превышает двух.

Если размерность V нечетна, размерность W , таким образом, равна единице, и его матрица конгруэнтна либо $\textstyle {\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}$ или чтобы $\textstyle {\begin{bmatrix}\varphi \end{bmatrix}},$ где 𝜑 — неквадратный скаляр. В результате существует только одна ортогональная группа, которая обозначается O(2 n + 1, q ) , где q — количество элементов конечного поля (степень нечетного простого числа).

Если размерность W равна двум и −1 не является квадратом в основном поле (то есть, если число ее элементов q конгруэнтно 3 по модулю 4), матрица ограничения Q на W конгруэнтна либо I или – I , где I – единичная матрица 2×2. Если размерность W равна двум и −1 является квадратом в основном поле (то есть, если q конгруэнтно 1 по модулю 4), матрица ограничения Q на W конгруэнтна матрице $\textstyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&\varphi \end{bmatrix}},$ φ — любой неквадратный скаляр.

Это означает, что если размерность V четна, существует только две ортогональные группы, в зависимости от того, равна ли размерность W нулю или двум. Они обозначаются соответственно O ⁺ (2 n , q ) и O ⁻ (2 п , q ) .

Ортогональная группа O ^е (2, q ) — группа диэдра порядка 2( q − ε ) , где ε = ± .

Доказательство

Для изучения ортогональной группы O ^е (2, q ) можно предположить, что матрица квадратичной формы есть $Q={\begin{bmatrix}1&0\\0&-\omega \end{bmatrix}},$ потому что для квадратичной формы существует базис, в котором ее матрица диагонализуема. Матрица $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ принадлежит ортогональной группе, если AQA ^Т = Q , то есть ² – ωб ² = 1 , ac – ωbd = 0 и c ² – ωд ² = – ω . Поскольку a и b не могут одновременно быть равными нулю (из-за первого уравнения), второе уравнение подразумевает существование ε в F _q , такого что c = εωb и d = εa . Сообщая эти значения в третьем уравнении и используя первое уравнение, можно получить, что ε ² = 1 и, таким образом, ортогональная группа состоит из матриц

${\begin{bmatrix}a&b\\\varepsilon \omega b&\varepsilon a\end{bmatrix}},$

где ​ ² – ωб ² = 1 и ε = ±1 . Более того, определитель матрицы равен ε .

Для дальнейшего изучения ортогональной группы удобно ввести квадратный корень α из ω . Этот квадратный корень принадлежит F _q, если ортогональная группа равна O ⁺ (2, q ) и F _{q ²} в противном случае. Полагая x = a + αb и y = a – αb , имеем

$xy=1,\qquad a={\frac {x+y}{2}}\qquad b={\frac {x-y}{2\alpha }}.$

Если $A_{1}={\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}\\\omega b_{1}&a_{1}\end{bmatrix}}$ и $A_{2}={\begin{bmatrix}a_{2}&b_{2}\\\omega b_{2}&a_{2}\end{bmatrix}}$ две матрицы с определителем один в ортогональной группе, то

$A_{1}A_{2}={\begin{bmatrix}a_{1}a_{2}+\omega b_{1}b_{2}&a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}\\\omega b_{1}a_{2}+\omega a_{1}b_{2}&\omega b_{1}b_{2}+a_{1}a_{1}\end{bmatrix}}.$

Это ортогональная матрица ${\begin{bmatrix}a&b\\\omega b&a\end{bmatrix}},$с а знак равно а ₁ а ₂ + ωb ₁ б ₂ и б знак равно а ₁ б ₂ + б ₁ а ₂ . Таким образом

$a+\alpha b=(a_{1}+\alpha b_{1})(a_{2}+\alpha b_{2}).$

Отсюда следует, что отображение ( a , b ) ↦ a + αb является гомоморфизмом группы ортогональных матриц определителя один в мультипликативную группу F _{q ²} .

В случае с О ⁺ (2 n , q ) образ — это мультипликативная группа F _q , которая является циклической группой порядка q .

В случае с О ^– (2 n , q ) , указанные выше x и y сопряжены и, следовательно , являются образом друг друга согласно автоморфизму Фробениуса . Это означало, что $y=x^{-1}=x^{q},$ и, таким образом , х ^{д +1} = 1 . Для каждого такого x можно восстановить соответствующую ортогональную матрицу. Отсюда следует, что карта $(a,b)\mapsto a+\alpha b$ является групповым изоморфизмом ортогональных матриц определителя 1 группе ( q + 1) -корней из единицы . Эта группа является циклической группой порядка q + 1 , состоящей из степеней g ^{q -1} , где g — примитивный F q _{элемент ²} ,

Для завершения доказательства достаточно проверить, что группа всех ортогональных матриц не абелева и является полупрямым произведением группы {1, −1} и группы ортогональных матриц определителя один.

Сравнение этого доказательства с реальным случаем может оказаться проясняющим.

Здесь задействованы два групповых изоморфизма:

${\begin{aligned}\mathbf {Z} /(q+1)\mathbf {Z} &\to T\\k&\mapsto g^{(q-1)k},\end{aligned}}$

где g — примитивный элемент F _{q ²} — T мультипликативная группа элемента нормы один в F _{q ²}  ;

${\begin{aligned}\mathbf {T} &\to \operatorname {SO} ^{+}(2,\mathbf {F} _{q})\\x&\mapsto {\begin{bmatrix}a&b\\\omega b&a\end{bmatrix}},\end{aligned}}$

с $a={\frac {x+x^{-1}}{2}}$ и $b={\frac {x-x^{-1}}{2\alpha }}.$

В реальном случае соответствующие изоморфизмы таковы:

${\begin{aligned}\mathbf {R} /2\pi \mathbf {R} &\to C\\\theta &\mapsto e^{i\theta },\end{aligned}}$

где C — круг комплексных чисел нормы один;

${\begin{aligned}\mathbf {C} &\to \operatorname {SO} (2,\mathbf {R} )\\x&\mapsto {\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}},\end{aligned}}$

с $\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$ и $\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}.$

Если характеристика не равна двум, порядок ортогональных групп равен

$\left|\operatorname {O} (2n+1,q)\right|=2q^{n^{2}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right),$

$\left|\operatorname {O} ^{+}(2n,q)\right|=2q^{n(n-1)}\left(q^{n}-1\right)\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right),$

$\left|\operatorname {O} ^{-}(2n,q)\right|=2q^{n(n-1)}\left(q^{n}+1\right)\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right).$

Во второй характеристике формулы те же, за исключением того, что 2 | множитель О(2 n + 1, q ) | необходимо удалить.

Инвариант Диксона

Для ортогональных групп инвариант Диксона представляет собой гомоморфизм ортогональной группы в факторгруппу Z /2 Z (целые числа по модулю 2), принимающий значение 0 в случае, если элемент является произведением четного числа отражений, и значение 1 иначе.

Алгебраически инвариант Диксона можно определить как D ( f ) = ранг ( I − f ) по модулю 2 , где I — тождество ( Тейлор 1992 , теорема 11.43). Над полями, не имеющими характеристики 2, он эквивалентен определителю: определитель равен -1 в степени инварианта Диксона.В полях характеристики 2 определитель всегда равен 1, поэтому инвариант Диксона дает больше информации, чем определитель.

Специальная ортогональная группа является ядром инварианта Диксона. и обычно имеет индекс 2 в O( n , F ) . Когда характеристика F не равна 2, инвариант Диксона равен 0, если определитель равен 1 . Таким образом, когда характеристика не равна 2, SO( n , F ) обычно определяется как элементы O( n , F ) с определителем 1 . Каждый элемент в O( n , F ) имеет определитель ±1 . Таким образом, в характеристике 2 определитель всегда равен 1 .

Инвариант Диксона также можно определить для групп Клиффорда и групп штифтов аналогичным образом (во всех измерениях).

Ортогональные группы характеристики 2

Ортогональные группы над полями характеристики 2 часто демонстрируют особое поведение, некоторые из которых перечислены в этом разделе. (Раньше эти группы были известны как гипоабелевы группы , но этот термин больше не используется.)

• Любая ортогональная группа над любым полем порождается отражениями, за исключением уникального примера, когда векторное пространство является 4-мерным над полем с двумя элементами и индекс Витта равен 2. Отражение во второй характеристике имеет несколько иное определение. Во второй характеристике отражение, ортогональное вектору u, переводит вектор v в v + B ( v , u )/ Q ( u ) · u , где B — билинейная форма и Q — квадратичная форма, связанная с ортогональной геометрией. Сравните это с отражением Хаусхолдера нечетной характеристики или нулевой характеристики, которое переводит v в v - 2· B ( v , u )/ Q ( u ) · u .
• Центр I ортогональной группы обычно имеет порядок 1 по характеристике 2, а не 2, поскольку = − I .
• В нечетных размерностях 2 n + 1 в характеристике 2 ортогональные группы над совершенными полями такие же, как симплектические группы в размерности 2 n . На самом деле симметричная форма является знакопеременной в характеристике 2, а поскольку размерность нечетна, она должна иметь ядро ​​размерности 1, а фактор по этому ядру представляет собой симплектическое пространство размерности 2 n , на которое действует ортогональная группа.
• В четных размерностях характеристики 2 ортогональная группа является подгруппой симплектической группы, поскольку симметричная билинейная форма квадратичной формы также является знакопеременной формой.

Спинорная норма

Спинорная норма — это гомоморфизм ортогональной группы над полем F в факторгруппу F. ^× / ( Ф ^× ) ² ( мультипликативная группа поля F с точностью до умножения на квадратные элементы), переводящая отражение в векторе нормы n в образ n в F ^× / ( Ф ^× ) ² .

Для обычной ортогональной группы над вещественными числами она тривиальна, но часто нетривиальна над другими полями, или для ортогональной группы квадратичной формы над вещественными числами, которая не является положительно определенной.

Когомологии Галуа и ортогональные группы

В теории когомологий Галуа алгебраических групп вводятся некоторые дополнительные точки зрения. Они имеют объяснительное значение, в частности по отношению к теории квадратичных форм; но по большей части они были постфактум , что касается открытия этого явления. Первый момент заключается в том, что квадратичные формы над полем можно идентифицировать как форму Галуа H ¹ , или скрученные формы ( торсоры ) ортогональной группы. Как алгебраическая группа, ортогональная группа, как правило, не является ни связной, ни односвязной; последний момент приводит к спиновым явлениям, а первый связан с определителем .

«Спиновое» название спинорной нормы можно объяснить связью со спиновой группой (точнее, контактной группой ). Теперь это можно быстро объяснить с помощью когомологий Галуа (которые, однако, появились после введения этого термина за счет более прямого использования алгебр Клиффорда ). Спиновое накрытие ортогональной группы дает короткую точную последовательность алгебраических групп .

$1\rightarrow \mu _{2}\rightarrow \mathrm {Pin} _{V}\rightarrow \mathrm {O_{V}} \rightarrow 1$

Здесь µ ₂ — алгебраическая группа квадратных корней из 1 ; над полем характеристики, отличной от 2, это примерно то же самое, что двухэлементная группа с тривиальным действием Галуа. Связывающий гомоморфизм из H ⁰ (O _V ) , которая представляет собой просто группу O _V ( F ) F -значных точек, к H ¹ ( µ ₂ ) по существу является спинорной нормой, поскольку H ¹ (μ ₂ ) изоморфна мультипликативной группе поля по модулю квадратов.

Существует также связующий гомоморфизм из H ¹ ортогональной группы к H ² ядра спинового накрытия. Когомологии неабелевы, так что это все, что мы можем сделать, по крайней мере, с обычными определениями.

Алгебра Ли

Алгебра Ли, соответствующая группам Ли O( n , F ) и SO( n , F ), состоит из кососимметричных матриц размера n × n со скобкой Ли [, ] , заданной коммутатором . Обеим группам соответствует одна алгебра Ли. Его часто обозначают ${\mathfrak {o}}(n,F)$ или ${\mathfrak {so}}(n,F)$и называется ортогональной алгеброй Ли или специальной ортогональной алгеброй Ли . числами эти алгебры Ли для разных n являются компактными вещественными формами двух из четырех семейств полупростых алгебр Ли : в нечетной размерности Bk _{Над действительными} , где n = 2k + 1 , и в четной размерности D _r , где n = 2 р .

Поскольку группа SO( n ) неодносвязна, теория представлений ортогональных алгебр Ли включает как представления, соответствующие обычным представлениям ортогональных групп, так и представления, соответствующие проективным представлениям ортогональных групп. (Проективные представления SO( n ) — это просто линейные представления универсального покрытия, спиновой группы Spin( n ).) Последние представляют собой так называемые спиновые представления , которые важны в физике.

В более общем смысле, для векторного пространства V (над полем с характеристикой, не равной 2) с невырожденной симметричной билинейной формой (⋅, ⋅) специальная ортогональная алгебра Ли состоит из бесследовых эндоморфизмов $\varphi$ которые кососимметричны для этой формы ( $(\varphi A,B)+(A,\varphi B)=0$). Вместо этого над полем характеристики 2 рассмотрим знакопеременные эндоморфизмы. Конкретно мы можем приравнять их к знакопеременным тензорам Λ ² В. ​Переписку ведут:

$v\wedge w\mapsto (v,\cdot )w-(w,\cdot )v$

Это описание в равной степени применимо и к неопределенным специальным ортогональным алгебрам Ли. ${\mathfrak {so}}(p,q)$ для симметричных билинейных форм с сигнатурой ( p , q ) .

В отношении действительных чисел эта характеристика используется для интерпретации ротора векторного поля (естественно, 2-вектора) как бесконечно малого вращения или «завитка», отсюда и название.

Связанные группы

Ортогональные группы и специальные ортогональные группы имеют ряд важных подгрупп, супергрупп, факторгрупп и накрывающих групп. Они перечислены ниже.

Включения O( n ) ⊂ U( n ) ⊂ USp(2 n ) и USp( n ) ⊂ U( n ) ⊂ O(2 n ) являются частью последовательности из 8 включений, используемых в геометрическом доказательстве периодичности Ботта. теорема , а соответствующие фактор-пространства являются симметричными пространствами, представляющими независимый интерес – например, U( n )/O( n ) является лагранжианом Грассманианом .

Подгруппы Ли

В физике, особенно в области компактификации Калуцы – Клейна , важно выяснить подгруппы ортогональной группы. Основные из них:

$\mathrm {O} (n)\supset \mathrm {O} (n-1)$ - сохранить ось

$\mathrm {O} (2n)\supset \mathrm {U} (n)\supset \mathrm {SU} (n)$ – U( n ) – это те, которые сохраняют совместимую комплексную структуру или совместимую симплектическую структуру – см. свойство 2 из 3 ; SU( n ) также сохраняет комплексную ориентацию.

$\mathrm {O} (2n)\supset \mathrm {USp} (n)$

$\mathrm {O} (7)\supset \mathrm {G} _{2}$

Супергруппы лжи

Ортогональная группа O( n ) также является важной подгруппой различных групп Ли:

${\begin{aligned}\mathrm {U} (n)&\supset \mathrm {O} (n)\\\mathrm {USp} (2n)&\supset \mathrm {O} (n)\\\mathrm {G} _{2}&\supset \mathrm {O} (3)\\\mathrm {F} _{4}&\supset \mathrm {O} (9)\\\mathrm {E} _{6}&\supset \mathrm {O} (10)\\\mathrm {E} _{7}&\supset \mathrm {O} (12)\\\mathrm {E} _{8}&\supset \mathrm {O} (16)\end{aligned}}$

Конформная группа

Основная статья: Конформная группа

Будучи изометриями , реальные ортогональные преобразования сохраняют углы и, таким образом, являются конформными отображениями , хотя не все конформные линейные преобразования ортогональны. Говоря классическим языком, это разница между конгруэнтностью и подобием , примером которой является конгруэнтность треугольников AAA (угол-угол-угол) SSS (сторона-сторона-сторона) и подобие треугольников . Группа конформных линейных отображений R ^н обозначается CO( n ) для конформной ортогональной группы и состоит из произведения ортогональной группы на группу расширений . Если n нечетно, эти две подгруппы не пересекаются и представляют собой прямое произведение : CO(2 k + 1) = O(2 k + 1) × R ^∗ , где Р ^∗ = R ∖{0 } — вещественная мультипликативная группа , при этом, если n четно, эти подгруппы пересекаются в ±1 , так что это не прямое произведение, а прямое произведение с подгруппой расширения на положительный скаляр: CO (2 к ) = О(2 к ) × р ⁺ .

Аналогично можно определить CSO( n ) ; это всегда: CSO( n ) = CO( n ) ∩ GL ⁺ ( п ) знак равно ТАК ( п ) × р ⁺ .

Дискретные подгруппы

Поскольку ортогональная группа компактна, дискретные подгруппы эквивалентны конечным подгруппам. Эти подгруппы известны как точечные группы и могут быть реализованы как группы симметрии многогранников . Очень важный класс примеров — конечные группы Кокстера , включающие группы симметрии правильных многогранников .

Особенно изучена размерность 3 — см. точечные группы в трёх измерениях , группы многогранников и список сферических групп симметрии . В двумерном пространстве конечные группы либо циклические, либо диэдральные – см. точечные группы в двух измерениях .

Другие конечные подгруппы включают:

• Матрицы перестановок группа Кокстера An ₍ )
• Знаковые матрицы перестановок ( группа Кокстера B _n ); также равно пересечению ортогональной группы с целочисленными матрицами .

Накрывающие и факторгруппы

Ортогональная группа не является ни односвязной , ни бесцентровой и, следовательно, имеет как накрывающую , так и факторгруппу соответственно:

• Две покрывающие группы Pin , Pin ₊ ( n ) → O( n ) и Pin ₋ ( n ) → O( n ) ,
• Факторпроективная ортогональная группа , O( n ) → PO( n ) .

Это все обложки 2 к 1.

Для специальной ортогональной группы соответствующими группами являются:

• Спиновая группа , Spin( n ) → SO( n ) ,
• Проективная специальная ортогональная группа , SO( n ) → PSO( n ) .

Спин представляет собой покрытие 2 к 1, тогда как в четном измерении PSO(2 k ) является покрытием 2 к 1, а в нечетном измерении PSO (2 k + 1) является покрытием 1 к 1; т. е. изоморфен SO(2 k + 1) . Эти группы Spin( n ) , SO( n ) и PSO( n ) являются формами групп Ли компактной специальной ортогональной алгебры Ли . ${\mathfrak {so}}(n,\mathbf {R} )$ – Спин – это односвязная форма, тогда как PSO – бесцентровая форма, а SO , вообще говоря, не является ни тем, ни другим.

В размерности 3 и выше это покрытия и факторы, а в размерности 2 и ниже они несколько вырождены; подробности смотрите в конкретных статьях.

Главное однородное пространство: многообразие Штифеля.

Основная статья: коллектор Штифеля

Главным однородным пространством ортогональной группы O( n ) является многообразие Штифеля V _n ( R ^н ) ортонормированных базисов (ортонормированных n -шкалов ).

Другими словами, пространство ортонормированных базисов похоже на ортогональную группу, но без выбора базовой точки: для данного ортогонального пространства не существует естественного выбора ортонормированного базиса, но как только он дан, появляется однозначный -одно соответствие между базисами и ортогональной группой. Конкретно, линейное отображение определяется тем, куда оно отправляет базис: точно так же, как обратимое отображение может перевести любой базис в любой другой базис, ортогональное отображение может перевести любой ортогональный базис в любой другой ортогональный базис.

Остальные многообразия Штифеля V _k ( R ^н ) при k < n неполных это ортонормированных базисов (ортонормальных k -фреймов) по-прежнему являются однородными пространствами для ортогональной группы, но не главными однородными пространствами: любой k -фрейм можно перевести в любой другой k -фрейм с помощью ортогонального отображения, но карта не определяется однозначно.

См. также

Конкретные преобразования

• Координатные вращения и отражения
• Отражение через начало

Конкретные группы

• группа вращения, SO(3, R )
• ТАК(8)

Связанные группы

• неопределенная ортогональная группа
• унитарная группа
• симплектическая группа

Списки групп

• список конечных простых групп
• список простых групп Ли

Теория представлений

• Представления классических групп Ли
• Алгебра Брауэра

Ссылки

• Касселс, JWS (1978), Рациональные квадратичные формы , Монографии Лондонского математического общества, том. 13, Академик Пресс , ISBN  0-12-163260-1 , Збл   0395.10029
• Гроув, Ларри К. (2002), Классические группы и геометрическая алгебра , Аспирантура по математике , том. 39, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-2019-3 , МР   : 1859189
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN  978-3319134666
• Тейлор, Дональд Э. (1992), Геометрия классических групп , Серия сигм в чистой математике, том. 9, Берлин: Heldermann Verlag, ISBN  3-88538-009-9 , МР   1189139 , Збл   0767.20001

Внешние ссылки

• «Ортогональная группа» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Джон Баэз «Находки этой недели по математической физике», неделя 105
• Джон Баэз об Октонионах
• (на итальянском языке) n-мерная параметризация специальной ортогональной группы