Группа Клиффорда

Эта статья о группе по квантовой механике. Для подгрупп алгебры Клиффорда см. группу Липшица .

Группа Клиффорда включает в себя набор квантовых операций , которые отображают набор n -кратных произведений группы Паули в себя. Наиболее широко его изучают из-за его использования в квантовой коррекции ошибок .

Определение

Матрицы Паули ,

$\sigma _{0}=I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad \sigma _{1}=X={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},\quad \sigma _{2}=Y={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},{\text{ and }}\sigma _{3}=Z={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$

обеспечивают основу для операторов плотности одного кубита , а также для унитарных единиц , которые могут быть к ним применены. Для $n$В случае -кубита можно построить группу, известную как группа Паули , согласно

$\mathbf {P} _{n}=\left\{e^{i\theta \pi /2}\sigma _{j_{1}}\otimes \cdots \otimes \sigma _{j_{n}}\mid \theta =0,1,2,3,j_{k}=0,1,2,3\right\}.$

Группа Клиффорда определяется как группа унитарных элементов, нормализующих группу Паули: $\mathbf {C} _{n}=\{V\in U_{2^{n}}\mid V\mathbf {P} _{n}V^{\dagger }=\mathbf {P} _{n}\}.$ Это определение эквивалентно утверждению, что группа Клиффорда состоит из унитарных элементов, порожденных схемами, использующими вентили Адамара, Фазы и CNOT. Группа n -кубитов Клиффорда $\mathbf {C} _{n}$ содержит $2^{n^{2}+2n+3}\prod _{j=1}^{n}(4^{j}-1)$ элементы.

Некоторые авторы предпочитают определять группу Клиффорда как факторгруппу. $\mathbf {C} _{n}/U(1)$, который подсчитывает элементы в $\mathbf {C} _{n}$ которые отличаются только общим глобальным фазовым коэффициентом одного и того же элемента. Самая маленькая глобальная фаза – это ${\frac {1+i}{\sqrt {2}}}$, восьмой комплексный корень из числа 1, возникающий из тождества схемы $HSHSHS={\frac {1+i}{\sqrt {2}}}I$, где $H$ это ворота Адамара и $S$ это Фазовые ворота. Для $n=$ 1, 2 и 3 эта группа содержит 24, 11 520 и 92 897 280 элементов соответственно. Количество элементов в $\mathbf {C} _{n}/U(1)$ является $2^{n^{2}+2n}\prod _{j=1}^{n}(4^{j}-1)$.

Третье возможное определение группы Клиффорда можно получить из вышеизложенного путем дальнейшего факторизации группы Паули. $\{I,X,Y,Z\}$ на каждом кубите. Оставшаяся группа изоморфна группе $2n\times 2n$ симплектические матрицы Sp(2 n ,2) над полем $\mathbb {F} _{2}$ из двух элементов. Он имеет $2^{n^{2}}\prod _{j=1}^{n}(4^{j}-1)$ элементы.

Пример

В случае одного кубита каждый элемент однокубитной группы Клиффорда $\mathbf {C} _{1}/U(1)$ может быть выражено как матричное произведение $\mathbf {A} \mathbf {B}$, где $\mathbf {A} \in \{I,H,S,HS,SH,HSH\}$ и $\mathbf {B} =\{I,X,Y,Z\}$. Здесь $H$ это ворота Адамара и $S$ Фазовые ворота.

Создание библиотеки ворот

Дополнительная информация: Клиффордские ворота.

Группа Клиффорда генерируется тремя вентилями: Адамаром , фазовым вентилем S и CNOT .

Сложность схемы

Произвольный элемент группы Клиффорда может быть сгенерирован в виде схемы с длиной не более $O(n^{2}/\log(n))$ ворота. Здесь, ссылка сообщает об 11-этапной декомпозиции -HPCCPCHPCPC-, где H, C и P обозначают вычислительные этапы с использованием вентилей Адамара, CNOT и фазовых элементов соответственно, и ссылку показывает, что этап CNOT может быть реализован с использованием $O(n^{2}/\log(n))$ вентили (этапы -H- и -P- основаны на однокубитных вентилях и, таким образом, могут быть реализованы с использованием линейного числа вентилей, что не влияет на асимптотику).

Известные подгруппы

Группа Клиффорда имеет богатую структуру подгрупп, часто раскрываемую квантовыми схемами, генерирующими различные подгруппы. Подгруппы группы Клиффорда $\mathbf {C} _{n}$ включать:

• n -кратная группа продуктов Паули $\mathbf {P} _{n}$. Он имеет $2^{2n+2}$ элементы ( $2^{2n}$ без глобальной фазы) и генерируется квантовыми схемами с вентилями Паули-X и Паули-Z.
• Общая линейная группа GL $(n,\mathbb {F} _{2})$. Он имеет $\prod _{j=0}^{n-1}(2^{n}-2^{j})=2^{n^{2}+O(1)}$ элементов и генерируется схемами с вентилями CNOT.
• Симметричная группа $\mathrm {S} _{n}$. Он имеет $n!$ элементов и генерируется схемами с вентилями SWAP.
• Диагональная подгруппа, состоящая из диагональных клиффордовских унитариев. Он имеет $2^{0.5n^{2}+O(n)}$ элементов и генерируется квантовыми схемами с фазовыми и CZ-воротами.
• Подгруппа, свободная от Адамара, генерируется квантовыми схемами над вентилями Phase и CNOT. Он имеет $2^{1.5n^{2}+O(n)}$ элементы.
• Группа Вейля , которая порождается вентилями SWAP и Адамара. Он имеет $2^{n\log(n)+O(n)}$ элементы.
• Группа Бореля — максимальная разрешимая подгруппа , которая порождается произведением нижних треугольных обратимых булевых матриц (схемы CNOT с управлением на верхних кубитах и ​​целями на нижних кубитах) с диагональными элементами подгруппы (схемы с фазовыми и CZ-гейтами). Эта группа является подгруппой свободной по Адамару подгруппы; у него есть $2^{n^{2}+O(n)}$ элементы.

Характеристики

Порядок ворот Клиффорда и ворот Паули можно поменять местами. Например, это можно проиллюстрировать, рассмотрев следующий оператор для двух кубитов:

$A=(X\otimes Z)CZ$.

Мы знаем, что: $CZ(X\otimes I)CZ^{\dagger }=X\otimes Z$.Если умножить на CZ справа

$CZ(X\otimes I)=(X\otimes Z)CZ$.

Итак, А эквивалентно

$A=(X\otimes Z)CZ=CZ(X\otimes I)$.

Симуляционность

Теорема Готтесмана -Нилла утверждает, что квантовую схему, использующую только следующие элементы, можно эффективно смоделировать на классическом компьютере:

1. Подготовка кубитов в состояниях вычислительного базиса,
2. Клиффордские ворота и
3. Измерения в вычислительной основе.

Теорема Готтесмана-Нилла показывает, что даже некоторые сильно запутанные состояния можно эффективно моделировать. Некоторые важные типы квантовых алгоритмов используют только вентили Клиффорда, и наиболее важно это стандартные алгоритмы перегонки запутанности и квантовой коррекции ошибок .

См. также

• Магическая государственная дистилляция
• Алгебра Клиффорда
• Клиффордские ворота