Масштабирование (геометрия)

Каждая итерация треугольника Серпинского содержит треугольники, связанные со следующей итерацией масштабным коэффициентом 1/2.

В аффинной геометрии равномерное масштабирование (или изотропное масштабирование) ^[1]) — это линейное преобразование , которое увеличивает (увеличивает) или сжимает (уменьшает) объекты на масштабный коэффициент , одинаковый во всех направлениях. Результат равномерного масштабирования аналогичен (в геометрическом смысле) оригиналу. Обычно допускается масштабный коэффициент, равный 1, поэтому конгруэнтные формы также классифицируются как подобные. Равномерное масштабирование происходит, например, при увеличении или уменьшении фотографии , или при создании масштабной модели здания, автомобиля, самолета и т.п.

Более общим является масштабирование с использованием отдельного масштабного коэффициента для каждого направления оси. Неравномерное масштабирование ( анизотропное масштабирование ) получается, когда хотя бы один из коэффициентов масштабирования отличается от остальных; особым случаем является направленное масштабирование или растяжение (в одном направлении). Неравномерное масштабирование меняет форму объекта; например, квадрат может превратиться в прямоугольник или в параллелограмм, если стороны квадрата не параллельны осям масштабирования (углы между линиями, параллельными осям, сохраняются, но не все углы). Это происходит, например, когда на удаленный рекламный щит смотрят под косым углом или когда тень плоского объекта падает на поверхность, не параллельную ему.

Когда масштабный коэффициент больше 1, (равномерное или неравномерное) масштабирование иногда также называют расширением или расширением . Когда масштабный коэффициент представляет собой положительное число меньше 1, масштабирование иногда также называют сокращением или сокращением .

В самом общем смысле масштабирование включает случай, когда направления масштабирования не перпендикулярны. Сюда также входит случай, когда один или несколько масштабных коэффициентов равны нулю ( проекция ), и случай одного или нескольких отрицательных масштабных коэффициентов (направленное масштабирование на -1 эквивалентно отражению ) .

Масштабирование — это линейное преобразование и частный случай гомотетического преобразования (масштабирования относительно точки). В большинстве случаев гомотетические преобразования являются нелинейными преобразованиями.

Равномерное масштабирование

Масштабный коэффициент обычно представляет собой десятичную дробь, которая масштабирует или умножает некоторую величину. В уравнении y = Cx — C масштабный коэффициент для x . C также является коэффициентом x и может быть назван пропорциональности y x к константой . Например, удвоение расстояний соответствует масштабному коэффициенту расстояния, равному двум, а разрезание торта пополам дает куски с масштабным коэффициентом для объема, равным половине. Основное уравнение для этого — изображение вместо прообраза.

В области измерений масштабный коэффициент прибора иногда называют чувствительностью. Отношение любых двух соответствующих длин в двух подобных геометрических фигурах также называется масштабом.

Матричное представление

Масштабирование может быть представлено матрицей масштабирования . Чтобы масштабировать объект вектором v = ( v _x , v _y , v _z ), каждую точку p = ( p _x , p _y , p _z ) необходимо будет умножить на эту матрицу масштабирования:

S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}.

Как показано ниже, умножение даст ожидаемый результат:

S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\v_{z}p_{z}\end{bmatrix}}.

Такое масштабирование изменяет диаметр объекта на коэффициент между масштабными коэффициентами, площадь на коэффициент между наименьшим и наибольшим произведением двух масштабных коэффициентов, а объем на произведение всех трех.

Масштабирование является равномерным тогда и только тогда, когда коэффициенты масштабирования равны ( v _x = v _y = v _z ). Если все масштабные коэффициенты, кроме одного, равны 1, мы имеем направленное масштабирование.

В случае, когда v _x = v _y = v _z = k , масштабирование увеличивает площадь любой поверхности в k раз. ² а объем любого твердого объекта в k раз. ³.

Масштабирование в произвольных размерах

В $n$ -мерное пространство $\mathbb {R} ^{n}$ , равномерное масштабирование с коэффициентом $v$ достигается скалярным умножением на $v$ , то есть умножая каждую координату каждой точки на $v$ . В качестве частного случая линейного преобразования этого можно также достичь путем умножения каждой точки (рассматриваемой как вектор-столбец) на диагональную матрицу , все элементы которой на диагонали равны $v$ , а именно $vI$ .

Неравномерное масштабирование осуществляется путем умножения на любую симметричную матрицу . Собственные значения матрицы — это масштабные коэффициенты, а соответствующие собственные векторы — это оси, вдоль которых применяется каждый масштабный коэффициент. Особым случаем является диагональная матрица с произвольными числами. $v_{1},v_{2},\ldots v_{n}$ по диагонали: оси масштабирования являются тогда осями координат, а масштабы преобразования — вдоль каждой оси. $i$ по фактору $v_{i}$ .

При равномерном масштабировании с ненулевым масштабным коэффициентом все ненулевые векторы сохраняют свое направление (если смотреть из начала координат) или все имеют противоположное направление, в зависимости от знака масштабного коэффициента. При неравномерном масштабировании только векторы, принадлежащие собственному пространству, сохранят свое направление. Вектор, который представляет собой сумму двух или более ненулевых векторов, принадлежащих разным собственным пространствам, будет наклонен к собственному пространству с наибольшим собственным значением.

Использование однородных координат

В проективной геометрии , часто используемой в компьютерной графике , точки представляются с использованием однородных координат . Чтобы масштабировать объект вектором v = ( v _x , v _y , v _z ), каждый однородный координатный вектор p = ( p _x , _py , p _z , 1) необходимо умножить на эту матрицу проективного преобразования :

S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.

Как показано ниже, умножение даст ожидаемый результат:

S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\v_{z}p_{z}\\1\end{bmatrix}}.

Поскольку последний компонент однородной координаты можно рассматривать как знаменатель трех других компонентов, равномерное масштабирование с помощью общего коэффициента s (равномерное масштабирование) можно выполнить с помощью этой матрицы масштабирования: