Матричное соответствие
В математике две квадратные матрицы A и B над полем называются конгруэнтными , если существует обратимая матрица P над тем же полем такая, что
- П Т АП = Б
где «T» обозначает транспонирование матрицы . Сравнение матриц является отношением эквивалентности .
Конгруэнтность матриц возникает при рассмотрении влияния изменения базиса на матрицу Грама, присоединенную к билинейной форме или квадратичной форме в конечномерном векторном пространстве : две матрицы конгруэнтны тогда и только тогда, когда они представляют одну и ту же билинейную форму относительно разных базисов. .
Обратите внимание, что Халмос определяет конгруэнтность в терминах сопряженного транспонирования (по отношению к комплексному пространству внутреннего продукта ), а не транспонирования, [1] но это определение не было принято большинством других авторов.
Сравнение с реальными значениями [ править ]
Закон инерции Сильвестра гласит, что две конгруэнтные симметричные матрицы с действительными элементами имеют одинаковое количество положительных, отрицательных и нулевых собственных значений . То есть количество собственных значений каждого знака является инвариантом соответствующей квадратичной формы. [2]
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Халмос, Пол Р. (1958). Конечномерные векторные пространства . Ван Ностранд . п. 134.
- ^ Сильвестр, Джей-Джей (1852 г.). «Демонстрация теоремы о том, что каждый однородный квадратичный многочлен с помощью вещественных ортогональных замен можно привести к форме суммы положительных и отрицательных квадратов» (PDF) . Философский журнал . IV : 138–142 . Проверено 30 декабря 2007 г.
- Грюнберг, КВ ; Вейр, Эй Джей (1967). Линейная геометрия . ван Ностранд. п. 80.
- Хэдли, Г. (1961). Линейная алгебра . Аддисон-Уэсли . п. 253 .
- Херштейн, Индиана (1975). Темы по алгебре . Уайли . п. 352 . ISBN 0-471-02371-Х .
- Мирский, Л. (1990). Введение в линейную алгебру . Дуврские публикации . п. 182. ИСБН 0-486-66434-1 .
- Маркус, Марвин ; Минк, Хенрик (1992). Обзор теории матриц и матричных неравенств . Дуврские публикации. п. 81. ИСБН 0-486-67102-Х .
- Норман, CW (1986). Бакалавриат по алгебре . Издательство Оксфордского университета . п. 354. ИСБН 0-19-853248-2 .
