ТАК(8)

В математике действующая SO(8) — это специальная ортогональная группа, в восьмимерном евклидовом пространстве . Это может быть как действительная, так и сложная простая группа Ли ранга 4 и размерности 28.

Спин(8)

Как и все специальные ортогональные группы $n>2$ , SO(8) не является односвязным , поскольку имеет фундаментальную группу изоморфную , Z ₂ . Универсальным накрытием SO(8) является спиновая группа Spin(8) .

Центр

Центром n SO(8) является Z ₂ , диагональные матрицы {±I} (как и для всех SO(2 ) с 2 n ≥ 4), а центром Spin(8) является Z ₂ × Z ₂ (как для всех Spin(4 n ), 4 n ≥ 4).

Триальность

SO(8) уникальна среди простых групп Ли тем, что ее Дынкина диаграмма ( D ₄ по классификации Дынкина), обладает тройной симметрией . Это порождает особенность Spin(8), известную как тройственность . С этим связан тот факт, что два спинорных представления , а также фундаментальное векторное представление Spin(8) являются восьмимерными (для всех других спинорных групп спинорное представление либо меньше, либо больше векторного представления). тройственности Автоморфизм Spin(8) находится во внешней группе автоморфизмов Spin(8), которая изоморфна симметрической группе S3 _, которая переставляет эти три представления. Группа автоморфизмов действует в центре Z ₂ x Z ₂ (который также имеет группу автоморфизмов, изоморфную S ₃ , которую также можно рассматривать как общую линейную группу над конечным полем с двумя элементами S ₃ ≅GL(2,2)) . Когда Spin(8) факторизуют по одному центральному Z ₂ , нарушая эту симметрию и получая SO(8), оставшаяся внешняя группа автоморфизмов представляет собой только Z ₂ . Симметрия тройственности снова действует на дальнейший фактор SO(8)/ Z ₂ .

Иногда Spin(8) естественным образом появляется в «расширенной» форме, как группа автоморфизмов Spin(8), которая распадается как полупрямое произведение : Aut(Spin(8)) ≅ PSO (8) ⋊ S ₃ .

Единичные октонионы

Элементы SO(8) могут быть описаны с помощью единичных октонионов , аналогично тому, как элементы SO(2) могут быть описаны с помощью единичных комплексных чисел , а элементы SO(4) могут быть описаны с помощью единичных кватернионов . Однако связь более сложная, отчасти из-за неассоциативности октонионов. Общий элемент в SO(8) можно описать как произведение 7 умножений слева, 7 умножений справа, а также 7 биумножений на единичные октонионы (биумножение представляет собой композицию левого умножения и правого умножения на одни и те же октонион и однозначно определяется благодаря октонионам, подчиняющимся тождествам Муфанга ).

Можно показать, что элемент SO (8) можно построить с помощью биумножений, сначала показав, что пары отражений через начало координат в 8-мерном пространстве соответствуют парам биумножений на единичные октонионы. Описанный ниже автоморфизм тройственности Spin(8) обеспечивает аналогичные конструкции с левыми и правыми умножениями. ^[1]

Октонионы и триальности

Если $x,y,z\in \mathbb {O}$ и $(xy)z=1$ , можно показать, что это эквивалентно $x(yz)=1$ , это означает, что $xyz=1$ без двусмысленности. Тройка карт $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ которые сохраняют эту идентичность, так что $x^{\alpha }y^{\beta }z^{\gamma }=1$ называется изотопией . Если три карты изотопии находятся в $\operatorname {SO(8)}$ , изотопия называется ортогональной изотопией. Если $\gamma \in \operatorname {SO(8)}$ , затем следуя приведенному выше $\gamma$ можно описать как произведение двойного умножения единичных октонионов, скажем $\gamma =B_{u_{1}}...B_{u_{n}}$ . Позволять $\alpha ,\beta \in \operatorname {SO(8)}$ будут соответствующими произведениями левого и правого умножения на сопряженные (т. е. мультипликативные обратные) одних и тех же единичных октонионов, поэтому $\alpha =L_{\overline {u_{1}}}...L_{\overline {u_{n}}}$ , $\beta =R_{\overline {u_{1}}}...R_{\overline {u_{n}}}$ . Простой расчет показывает, что $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ является изотопией. В результате неассоциативности октонионов единственная другая ортогональная изотопия для $\gamma$ является $(-\alpha ,-\beta ,\gamma )$ . Поскольку набор ортогональных изотопий создает покрытие 2:1 $\operatorname {SO} (8)$ , они на самом деле должны быть $\operatorname {Spin} (8)$ .

Мультипликативные инверсии октонионов двусторонние, что означает, что $xyz=1$ эквивалентно $yzx=1$ . Это означает, что данная изотопия $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ можно циклически переставлять, чтобы получить еще две изотопии $(\beta ,\gamma ,\alpha )$ и $(\gamma ,\alpha ,\beta )$ . третьего порядка автоморфизму Это приводит к внешнему $\operatorname {Spin} (8)$ . Этот автоморфизм «тройственности» является исключительным среди спиновых групп . Не существует триальности автоморфизма $\operatorname {SO} (8)$ , как для данного $\gamma$ соответствующие карты $\alpha ,\beta$ определяются только однозначно с точностью до знака. ^[1]

Корневая система

(\pm 1,\pm 1,0,0)

(\pm 1,0,\pm 1,0)

(\pm 1,0,0,\pm 1)

(0,\pm 1,\pm 1,0)

(0,\pm 1,0,\pm 1)

(0,0,\pm 1,\pm 1)

Группа Вейля

В группе Вейля / Коксетера их 4! × 8 = 192 элемента.

Матрица Картана

{\begin{pmatrix}2&-1&-1&-1\\-1&2&0&0\\-1&0&2&0\\-1&0&0&2\end{pmatrix}}

См. также

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Джон Х. Конвей; Дерек А. Смит (23 января 2003 г.). О кватернионах и октонионах . Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-1-56881-134-5 .

Адамс, Дж. Ф. (1996), Лекции по исключительным группам Ли , Чикагские лекции по математике, University of Chicago Press , ISBN 0-226-00526-7
Шевалле, Клод (1997), Алгебраическая теория спиноров и алгебр Клиффорда , Собрание сочинений, том. 2, Спрингер-Верлаг, ISBN 3-540-57063-2 (первоначально опубликовано в 1954 году издательством Columbia University Press )
Портеус, Ян Р. (1995), Алгебры Клиффорда и классические группы , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 50, Издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-55177-3

[ConwaySmith2003-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Джон Х. Конвей; Дерек А. Смит (23 января 2003 г.). О кватернионах и октонионах . Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-1-56881-134-5 .

[1]