Эйгенспинор

В квантовой механике собственные спиноры рассматриваются как базисные векторы, представляющие общее состояние спина частицы. Строго говоря, это вовсе не векторы, а фактически спиноры . Для одной частицы со спином 1/2 их можно определить как собственные векторы матриц Паули .

Общие самоспиноры

В квантовой механике спин частицы или совокупности частиц квантуется . В частности, все частицы имеют либо полуцелый, либо целый спин. В самом общем случае собственные спиноры системы могут быть весьма сложными. Если у вас есть набор частиц с числом Авогадро , каждая из которых имеет два (или более) возможных спиновых состояния, записать полный набор собственных спиноров практически невозможно. Однако собственные спиноры очень полезны при работе со спинами очень небольшого числа частиц.

Частица со спином 1/2

Самый простой и наиболее наглядный пример собственных спиноров относится к одной частице со спином 1/2. Спин частицы имеет три компонента, соответствующие трем пространственным измерениям: $S_{x}$ , $S_{y}$ , и $S_{z}$ . Для частицы со спином 1/2 существует только два возможных собственных состояния спина: спин вверх и спин вниз. Спин вверх обозначается как матрица-столбец: $\chi _{+}={\begin{bmatrix}1\\0\\\end{bmatrix}}$ и спин вниз $\chi _{-}={\begin{bmatrix}0\\1\\\end{bmatrix}}$ .

Таким образом, каждая компонента углового момента имеет два собственных спинора. По соглашению направление z выбирается как имеющее $\chi _{+}$ и $\chi _{-}$ состояния как его собственные спиноры. Собственные спиноры для двух других ортогональных направлений следуют из этого соглашения:

$S_{z}$ :

\chi _{+}^{z}={\begin{bmatrix}1\\0\\\end{bmatrix}}

\chi _{-}^{z}={\begin{bmatrix}0\\1\\\end{bmatrix}}

$S_{x}$ :

\chi _{+}^{x}={1 \over {\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\1\\\end{bmatrix}}

\chi _{-}^{x}={1 \over {\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-1\\\end{bmatrix}}

$S_{y}$ :

\chi _{+}^{y}={1 \over {\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\i\\\end{bmatrix}}

\chi _{-}^{y}={1 \over {\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-i\\\end{bmatrix}}

Все эти результаты являются лишь частными случаями собственных спиноров для направления, заданного θ и φ в сферических координатах. Этими собственными спинорами являются:

\chi _{+}={\begin{bmatrix}\cos(\theta /2)\\e^{i\varphi }\sin(\theta /2)\\\end{bmatrix}}

\chi _{-}={\begin{bmatrix}\sin(\theta /2)\\-e^{i\varphi }\cos(\theta /2)\\\end{bmatrix}}

Пример использования

Предположим, что существует частица со спином 1/2 в состоянии $\chi ={1 \over {\sqrt {5}}}{\begin{bmatrix}1\\2\\\end{bmatrix}}$ . Чтобы определить вероятность обнаружения частицы в состоянии со спином вверх, мы просто умножаем состояние частицы на сопряженную матрицу собственного спинора, представляющую спин вверх, и возводим результат в квадрат. Таким образом, собственный спинор позволяет нам отбирать ту часть состояния частицы, которая находится в том же направлении, что и собственный спинор. Сначала умножаем:

$c_{+}={\begin{bmatrix}1\ 0\\\end{bmatrix}}*\chi ={1 \over {\sqrt {5}}}$ .

Теперь мы просто возводим это значение в квадрат, чтобы получить вероятность того, что частица окажется в состоянии со спином вверх:

$P_{+}={1 \over 5}$

Характеристики

Каждый набор собственных спиноров образует полный ортонормированный базис . что любое состояние можно записать как линейную комбинацию базисных Это означает , спиноров.

Собственные спиноры представляют собой собственные векторы матриц Паули в случае одной частицы со спином 1/2.

См. также

Ссылки

Гриффитс, Дэвид Дж. (2005) Введение в квантовую механику (2-е изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: Пирсон Прентис Холл. ISBN 0-13-111892-7 .
де ла Пенья, Луис (2006). Введение в квантовую механику (3-е издание). Мехико: Фонд экономической культуры. ISBN 968-16-7856-7 .