Неопределенная ортогональная группа
В математике неопределенная группа ортогональная O( p , q ) — это группа Ли всех преобразований вещественного n - мерного векторного пространства , которые оставляют инвариантной невырожденную , симметричную билинейную форму сигнатуры линейных ( p , q ) , где n = п + д . Ее еще называют псевдоортогональной группой. [1] или обобщенная ортогональная группа . [2] Размерность группы равна n ( n − 1)/2 .
Неопределенная специальная ортогональная группа SO ( p , q ) — это подгруппа O ( p , q ), состоящая из всех элементов с определителем 1. В отличие от определенного случая, SO( p , q ) не связна — она имеет 2 компонента. – и есть две дополнительные подгруппы конечного индекса, а именно связная SO + ( п , q ) и О + ( p , q ) , который имеет 2 компонента – см. в § Топология определение и обсуждение .
Сигнатура формы определяет группу с точностью до изоморфизма ; замена p на q означает замену метрики ее отрицательной, и таким образом дает ту же самую группу. Если либо p, либо q равно нулю, то группа изоморфна обычной ортогональной группе O( n ). В дальнейшем мы предполагаем, что и p , и q положительны.
Группа O( p , q ) определена для векторных пространств над действительными числами . Для комплексных пространств все группы O( p , q ; C ) изоморфны обычной ортогональной группе O( p + q ; C ) , поскольку преобразование меняет подпись формы. Это не следует путать с неопределенной унитарной группой U( p , q ), которая сохраняет полуторалинейную форму сигнатуры ( p , q ) .
В четной размерности n = 2 O p ( p , p ) называется расщепляемой ортогональной группой .
Примеры
[ редактировать ]Базовым примером являются отображения сжатия , которые представляют собой группу SO + (1, 1) (единичного компонента) линейных преобразований, сохраняющих единичную гиперболу . Конкретно это матрицы и может быть интерпретировано как гиперболическое вращение, точно так же, как группу SO(2) можно интерпретировать как круговое вращение.
В физике группа Лоренца O(1,3) имеет центральное значение, поскольку является основой для электромагнетизма и специальной теории относительности . (В некоторых текстах используется O(3,1) для группы Лоренца; однако O(1,3) преобладает в квантовой теории поля , поскольку геометрические свойства уравнения Дирака более естественны в O(1,3) .)
Определение матрицы
[ редактировать ]Можно определить O( p , q ) как группу матриц , так же, как и для классической ортогональной группы O( n ). Рассмотрим диагональная матрица данный
Тогда мы можем определить симметричную билинейную форму на по формуле
- ,
где является стандартным внутренним продуктом на .
Затем мы определяем быть группой матрицы, сохраняющие эту билинейную форму: [3]
- .
Более явно, состоит из матриц такой, что [4]
- ,
где это транспонирование .
Изоморфную группу (действительно, сопряженную подгруппу в GL( p + q ) ) можно получить, заменив g на любую симметричную матрицу с p положительными собственными значениями и q отрицательными. Диагонализация этой матрицы дает сопряжение этой группы со стандартной группой O( p , q ) .
Подгруппы
[ редактировать ]Группа СО + ( p , q ) и связанные с ними подгруппы O( p , q ) могут быть описаны алгебраически. Разделите матрицу L на O( p , q ) как блочную матрицу :
где A , B , C и D — блоки p × p , p × q , q × p и q × q соответственно. Можно показать, что набор матриц из O( p , q ), чей верхний левый p × p блок A имеет положительный определитель, является подгруппой. Или, говоря иначе, если
находятся в O( p , q ) , то
Аналогичный результат для нижнего правого блока q × q также верен. Подгруппа СО + ( p , q ) состоит из матриц L таких, что det A и det D положительны. [5] [6]
Для всех матриц L в O( p , q ) определители A и D обладают свойством, что и это [7] В частности, подгруппа SO( p , q ) состоит из матриц L таких, что det A и det D имеют одинаковый знак. [5]
Топология
[ редактировать ]Предполагая, что и p, и q положительны, ни одна из групп O( p , q ) и SO( p , q ) не являются связными и имеют четыре и два компонента соответственно. π 0 (O( p , q )) ≅ C 2 × C 2 — это четырехгруппа Клейна , где каждый фактор определяет, сохраняет ли элемент или меняет соответствующие ориентации в p и q -мерных подпространствах, на которых форма определена; обратите внимание, что изменение ориентации только одного из этих подпространств меняет ориентацию всего пространства. Специальная ортогональная группа имеет компоненты π 0 (SO( p , q )) = {(1, 1), (−1, −1) }, каждая из которых либо сохраняет обе ориентации, либо меняет обе ориентации на противоположные, в любом случае сохраняя общая ориентация. [ нужны разъяснения ]
Единичный компонент O ( p , q ) часто обозначается SO + ( p , q ) и может быть отождествлен с набором элементов в SO( p , q ), которые сохраняют обе ориентации. Это обозначение связано с обозначением O + (1, 3) для ортохронной группы Лоренца , где + относится к сохранению ориентации в первом (временном) измерении.
Группа O( p , q ) также не компактна , но содержит компактные подгруппы O( p ) и O( q ), действующие на подпространствах, на которых форма определена. Фактически, O( p ) × O( q ) — максимальная компактная подгруппа в O( p , q ) , а S(O( p ) × O( q )) — максимальная компактная подгруппа в SO( p , q ). .Аналогично, SO( p ) × SO( q ) является максимальной компактной подгруппой SO + ( п , q ) .Таким образом, пространства гомотопически эквивалентны произведениям (специальных) ортогональных групп, из которых можно вычислить алгебро-топологические инварианты. (См. Максимальная компактная подгруппа .)
В частности, группа SO фундаментальная + ( p , q ) — произведение фундаментальных групп компонентов, π 1 (SO + ( п , q )) = π 1 (SO( p )) × π 1 (SO( q )) и определяется как:
π 1 (СО + ( п , q )) р = 1 р = 2 р ≥ 3 д = 1 С 1 С С 2 д = 2 С Z × Z З × С 2 д ≥ 3 С 2 С 2 × З С 2 × С 2
Разделить ортогональную группу
[ редактировать ]В четных измерениях средняя группа O( n , n ) известна как расщепленная ортогональная группа как группа преобразований T-двойственности и представляет особый интерес, поскольку она встречается , например, в теории струн. Это расщепленная группа Ли, соответствующая комплексной алгебре Ли so 2 n (группа Ли расщепленной вещественной формы алгебры Ли); точнее, единичный компонент представляет собой расщепленную группу Ли, поскольку нетождественные компоненты не могут быть восстановлены из алгебры Ли. В этом смысле она противоположна определенной ортогональной группе O( n ) := O( n , 0) = O(0, n ) , которая является компактной вещественной формой комплексной алгебры Ли.
Группу SO(1, 1) можно отождествить с группой единичных расщепленных комплексных чисел .
С точки зрения того, что это группа лиева типа – т. е. конструкция алгебраической группы из алгебры Ли – расщепляемые ортогональные группы являются группами Шевалле , в то время как нерасщепляемые ортогональные группы требуют немного более сложной конструкции и являются группами Стейнберга .
Расщепляемые ортогональные группы используются для построения обобщенного многообразия флагов над неалгебраически замкнутыми полями.
Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, добавив к нему . ( март 2011 г. ) |
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Попов 2001.
- ^ Холл 2015 , с. 8, раздел 1.2
- ^ Зал 2015 г., раздел 1.2.3.
- ↑ Холл 2015 г. Глава 1, Упражнение 1.
- ^ Перейти обратно: а б Лестер, Дж. А. (1993). «Ортохронные подгруппы O(p,q)». Линейная и полилинейная алгебра . 36 (2): 111–113. дои : 10.1080/03081089308818280 . Збл 0799.20041 .
- ^ Shirokov 2012 , pp. 88–96, Section 7.1
- ^ Shirokov 2012 , pp. 89–91, Lemmas 7.1 and 7.2
Источники
[ редактировать ]- Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666
- Энтони Кнапп , Группы Ли за пределами введения , второе издание, Progress in Mathematics, vol. 140, Биркхойзер, Бостон, 2002 г. ISBN 0-8176-4259-5 - описание неопределенной ортогональной группы см. на странице 372.
- Попов, В.Л. (2001) [1994], «Ортогональная группа» , Энциклопедия Математики , EMS Press
- Широков, Д.С. (2012). Лекции по алгебрам Клиффорда и спинорам Лекции по алгебрам клиффорда и спинорам (PDF) (на русском языке). дои : 10.4213/book1373 . Збл 1291.15063 .
- Джозеф А. Вольф , Пространства постоянной кривизны , (1967), стр. 335.