Личность Фирца

В теоретической физике тождество Фирца — это тождество, позволяющее переписать билинейные произведения двух спиноров как линейную комбинацию произведений билинейных чисел отдельных спиноров. Он назван в честь швейцарского физика Маркуса Фирца . Тождества Фирца также иногда называют тождествами Фирца-Паули-Кофинка , поскольку Паули и Кофинк описали общий механизм создания таких тождеств.

Существует версия тождеств Фирца для спиноров Дирака и другая версия для спиноров Вейля . Кроме 3+1, есть версии и для других измерений. Спинорные билинейки в произвольных размерностях являются элементами алгебры Клиффорда ; тождества Фирца можно получить, выразив алгебру Клиффорда как фактор внешней алгебры .

При работе в 4-х измерениях пространства-времени бивектор $\psi {\bar {\chi }}$ можно разложить по матрицам Дирака пространство , охватывающим :

$\psi {\bar {\chi }}={\frac {1}{4}}(c_{S}\mathbb {1} +c_{V}^{\mu }\gamma _{\mu }+c_{T}^{\mu \nu }T_{\mu \nu }+c_{A}^{\mu }\gamma _{\mu }\gamma _{5}+c_{P}\gamma _{5})$.

Коэффициенты

$c_{S}=({\bar {\chi }}\psi ),\quad c_{V}^{\mu }=({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\psi ),\quad c_{T}^{\mu \nu }=-({\bar {\chi }}T^{\mu \nu }\psi ),\quad c_{A}^{\mu }=-({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\gamma _{5}\psi ),\quad c_{P}=({\bar {\chi }}\gamma _{5}\psi )$

и обычно определяются с использованием ортогональности базиса при операции трассировки . Помещая приведенное выше разложение между желаемыми гамма-структурами, тождества для сжатия двух билинейей Дирака одного и того же типа можно записать с коэффициентами в соответствии со следующей таблицей.

Продукт	С	V	Т	А	П
С × С =	1/4	1/4	−1/4	−1/4	1/4
V × V =	1	−1/2	0	−1/2	−1
Т × Т =	−3/2	0	−1/2	0	−3/2
А × А =	−1	−1/2	0	−1/2	1
П × П =	1/4	−1/4	−1/4	1/4	1/4

где

$S={\bar {\chi }}\psi ,\quad V={\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\psi ,\quad T={\bar {\chi }}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]\psi /2{\sqrt {2}},\quad A={\bar {\chi }}\gamma _{5}\gamma ^{\mu }\psi ,\quad P={\bar {\chi }}\gamma _{5}\psi .$

Стол симметричен относительно отражения от центрального элемента. Знаки в таблице соответствуют случаю коммутирующих спиноров , в противном случае, как и в случае с фермионами в физике, все коэффициенты меняют знаки .

Например, в предположении коммутации спиноров произведение V × V можно разложить как:

$\left({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\psi \right)\left({\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\chi \right)=\left({\bar {\chi }}\chi \right)\left({\bar {\psi }}\psi \right)-{\frac {1}{2}}\left({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\chi \right)\left({\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\psi \right)-{\frac {1}{2}}\left({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\gamma _{5}\chi \right)\left({\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\gamma _{5}\psi \right)-\left({\bar {\chi }}\gamma _{5}\chi \right)\left({\bar {\psi }}\gamma _{5}\psi \right)~.$

Комбинации билинейных чисел, соответствующие собственным векторам транспонированной матрицы, преобразуются в такие же комбинации с собственными значениями ±1. Например, снова для коммутирующих спиноров V×V + A×A ,

$({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\psi )({\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\chi )+({\bar {\chi }}\gamma _{5}\gamma ^{\mu }\psi )({\bar {\psi }}\gamma _{5}\gamma _{\mu }\chi )=-(~({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\chi )({\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\psi )+({\bar {\chi }}\gamma _{5}\gamma ^{\mu }\chi )({\bar {\psi }}\gamma _{5}\gamma _{\mu }\psi )~)~.$

Упрощения возникают, когда рассматриваемые спиноры являются майорановскими спинорами или киральными фермионами, поскольку тогда некоторые члены в разложении могут исчезнуть по причинам симметрии.Например, для антикоммутирующих спиноров на этот раз из сказанного выше легко следует, что

${\bar {\chi }}_{1}\gamma ^{\mu }(1+\gamma _{5})\psi _{2}{\bar {\psi }}_{3}\gamma _{\mu }(1-\gamma _{5})\chi _{4}=-2{\bar {\chi }}_{1}(1-\gamma _{5})\chi _{4}{\bar {\psi }}_{3}(1+\gamma _{5})\psi _{2}.$

Ссылки

• Вывод тождеств для переписывания любого скалярного сжатия билинейных чисел Дирака можно найти в 29.3.4 книги. Л. Б. Окунь (1980). Лептоны и кварки . Северная Голландия. ISBN  978-0-444-86924-1 .
• См. также приложение B.1.2 в Т. Ортин (2004). Гравитация и струны . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-82475-0 .
• Кеннеди, AD (1981). «Алгебры Клиффорда в 2ω измерениях». Журнал математической физики . 22 (7): 1330–7. дои : 10.1063/1.525069 .
• Пал, Палаш Б. (2007). «Независимые от представления манипуляции со спинорами Дирака». arXiv : физика/0703214 .