Типичное подпространство

В квантовой теории информации идея типичного подпространства играет важную роль в доказательствах многих теорем кодирования (наиболее ярким примером является сжатие Шумахера ). Его роль аналогична роли типичного множества в классической теории информации .

Безусловная квантовая типичность

Рассмотрим оператор плотности $\rho$ со следующим спектральным разложением :

$\rho =\sum _{x}p_{X}(x)\vert x\rangle \langle x\vert .$

Слабо типичное подпространство определяется как совокупность всех векторов таких, чтовыборочная энтропия ${\overline {H}}(x^{n})$ их классическогометка близка к истинной энтропии $H(X)$ распределения ​ $p_{X}(x)$:

$T_{\delta }^{X^{n}}\equiv {\text{span}}\left\{\left\vert x^{n}\right\rangle :\left\vert {\overline {H}}(x^{n})-H(X)\right\vert \leq \delta \right\},$

где

${\overline {H}}(x^{n})\equiv -{\frac {1}{n}}\log(p_{X^{n}}(x^{n})),$

$H(X)\equiv -\sum _{x}p_{X}(x)\log p_{X}(x).$

Проектор ​ $\Pi _{\rho ,\delta }^{n}$ на типичное подпространство $\rho$ являетсяопределяется как

$\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\equiv \sum _{x^{n}\in T_{\delta }^{X^{n}}}\vert x^{n}\rangle \langle x^{n}\vert ,$

где мы «перегрузили» символ $T_{\delta }^{X^{n}}$ обратиться также к набору $\delta$-типичные последовательности:

$T_{\delta }^{X^{n}}\equiv \left\{x^{n}:\left\vert {\overline {H}}\left(x^{n}\right)-H(X)\right\vert \leq \delta \right\}.$

Три важных свойства типичного проектора заключаются в следующем:

${\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho ^{\otimes n}\right\}\geq 1-\epsilon ,$

${\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\leq 2^{n\left[H\left(X\right)+\delta \right]},$

$2^{-n\left[H(X)+\delta \right]}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\leq \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho ^{\otimes n}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\leq 2^{-n\left[H(X)-\delta \right]}\Pi _{\rho ,\delta }^{n},$

где первое свойство выполнено для произвольного $\epsilon ,\delta >0$ идостаточно большой $n$.

Условная квантовая типичность

Рассмотрим ансамбль $\left\{p_{X}(x),\rho _{x}\right\}_{x\in {\mathcal {X}}}$ государств. Предположим, что каждое состояние $\rho _{x}$ имеетследующее спектральное разложение :

$\rho _{x}=\sum _{y}p_{Y|X}(y|x)\vert y_{x}\rangle \langle y_{x}\vert .$

Рассмотрим оператор плотности $\rho _{x^{n}}$ что обусловлено классическимпоследовательность $x^{n}\equiv x_{1}\cdots x_{n}$:

$\rho _{x^{n}}\equiv \rho _{x_{1}}\otimes \cdots \otimes \rho _{x_{n}}.$

Определим слабое условно типичное подпространство как оболочку векторов(при условии соблюдения последовательности $x^{n}$) такой, что выборочная условная энтропия ${\overline {H}}(y^{n}|x^{n})$ их классических лейблов близокк истинной условной энтропии $H(Y|X)$ распределения ​ $p_{Y|X}(y|x)p_{X}(x)$:

$T_{\delta }^{Y^{n}|x^{n}}\equiv {\text{span}}\left\{\left\vert y_{x^{n}}^{n}\right\rangle :\left\vert {\overline {H}}(y^{n}|x^{n})-H(Y|X)\right\vert \leq \delta \right\},$

где

${\overline {H}}(y^{n}|x^{n})\equiv -{\frac {1}{n}}\log \left(p_{Y^{n}|X^{n}}(y^{n}|x^{n})\right),$

$H(Y|X)\equiv -\sum _{x}p_{X}(x)\sum _{y}p_{Y|X}(y|x)\log p_{Y|X}(y|x).$

Проектор ​ $\Pi _{\rho _{x^{n}},\delta }$ на слабый условно-типичныйподпространство $\rho _{x^{n}}$ заключается в следующем:

$\Pi _{\rho _{x^{n}},\delta }\equiv \sum _{y^{n}\in T_{\delta }^{Y^{n}|x^{n}}}\vert y_{x^{n}}^{n}\rangle \langle y_{x^{n}}^{n}\vert ,$

где мы снова перегрузили символ $T_{\delta }^{Y^{n}|x^{n}}$ ссылатьсямножеству слабых условно типичных последовательностей:

$T_{\delta }^{Y^{n}|x^{n}}\equiv \left\{y^{n}:\left\vert {\overline {H}}\left(y^{n}|x^{n}\right)-H(Y|X)\right\vert \leq \delta \right\}.$

Три важных свойства слабого условно типичного проектора:следующее:

$\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}},\delta }\rho _{X^{n}}\right\}\right\}\geq 1-\epsilon ,$

${\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{x^{n}},\delta }\right\}\leq 2^{n\left[H(Y|X)+\delta \right]},$

$2^{-n\left[H(Y|X)+\delta \right]}\ \Pi _{\rho _{x^{n}},\delta }\leq \Pi _{\rho _{x^{n}},\delta }\ \rho _{x^{n}}\ \Pi _{\rho _{x^{n}},\delta }\leq 2^{-n\left[H(Y|X)-\delta \right]}\ \Pi _{\rho _{x^{n}},\delta },$

где первое свойство выполнено для произвольного $\epsilon ,\delta >0$ идостаточно большой $n$, и ожидание относится краспределение $p_{X^{n}}(x^{n})$.

См. также

• Классическая емкость
• Квантовая теория информации

Ссылки

• Уайльд, Марк М., 2017, Квантовая теория информации, издательство Кембриджского университета , также доступно по адресу eprint arXiv:1106.1145.