Пятикубитный код исправления ошибок

Пятикубитный код исправления ошибок — это наименьший квантовый код исправления ошибок , который может защитить логический кубит от любой произвольной ошибки одного кубита. ^[1] В этом коде 5 физических кубитов . для кодирования логического кубита используются ^[2] С $X$ и $Z$ будучи матрицами Паули и $I$ Матрица идентичности кода , генераторы этого $\langle XZZXI,IXZZX,XIXZZ,ZXIXZ\rangle$ . Его логические операторы: ${\bar {X}}=XXXXX$ и ${\bar {Z}}=ZZZZZ$ . ^[3] После кодирования логического кубита ошибки в физических кубитах можно обнаружить с помощью измерений стабилизатора. Справочная таблица , которая сопоставляет результаты измерений стабилизатора с типами и местами ошибок, дает системе управления квантового компьютера достаточно информации для исправления ошибок. ^[4]

Измерения

Измерения стабилизатора — это измерения четности , которые измеряют стабилизаторы физических кубитов. ^[5]Например, для измерения первого стабилизатора ( $XZZXI$ ), измерение четности $X$ первого кубита, $Z$ на втором, $Z$ на третьем, $X$ на четвертом и $I$ на пятом выполняется.Поскольку стабилизаторов четыре, для их измерения будут использоваться 4 вспомогательные устройства. Первые 4 кубита на изображении выше — вспомогательные. Полученные биты из вспомогательных элементов и есть синдром; который кодирует тип произошедшей ошибки и ее местоположение.

Логический кубит можно измерить на вычислительной основе , выполнив измерение четности на ${\bar {Z}}$ . Если измеряемая вспомогательная $0$ , логический кубит $|0_{\rm {L}}\rangle$ . Если измеряемая вспомогательная $1$ , логический кубит $|1_{\rm {L}}\rangle$ . ^[6]

Исправление ошибок

Можно вычислить все возможные ошибки одного кубита и способы их исправления. Это делается путем расчета того, какие ошибки коммутируют со стабилизаторами. ^[4] Например, если есть $X$ ошибка на первом кубите и отсутствие ошибок на остальных ( $X_{1}=XIIII$ ), он коммутирует с первым стабилизатором $[XIIII,XZZXI]=0$ . Это означает, что если ошибка X возникает в первом кубите, первый вспомогательный кубит будет равен 0. Второй вспомогательный кубит: $[XIIII,IXZZX]=0$ , третий: $[XIIII,XIXZZ]=0$ и четвертый $[XIIII,ZXIXZ]\neq 0$ . Таким образом, если ошибка X возникает на первом кубите, синдром будет $0001$ ; который показан в таблице ниже, справа от $X_{1}$ . Аналогичные расчеты проводятся для всех остальных возможных ошибок заполнения таблицы.

$X_{1}$	0001	$Z_{1}$	1010	$Y_{1}$	1011
$X_{2}$	1000	$Z_{2}$	0101	$Y_{2}$	1101
$X_{3}$	1100	$Z_{3}$	0010	$Y_{3}$	1110
$X_{4}$	0110	$Z_{4}$	1001	$Y_{4}$	1111
$X_{5}$	0011	$Z_{5}$	0100	$Y_{5}$	0111

Для исправления ошибки такая же операция производится над физическим кубитом на основе его синдрома. Если синдром $0001$ , $X$ Gate применяется к первому кубиту, чтобы обратить ошибку.

Кодирование

Первым шагом в выполнении квантовых вычислений с коррекцией ошибок является кодирование начального состояния компьютера путем преобразования физических кубитов в логические кодовые слова. Логические кодовые слова для пятикубитного кода:

{\begin{aligned}|0_{\rm {L}}\rangle ={\frac {1}{4}}[&|00000\rangle +|10010\rangle +|01001\rangle +|10100\rangle +|01010\rangle -|11011\rangle -|00110\rangle -|11000\rangle \\-&|11101\rangle -|00011\rangle -|11110\rangle -|01111\rangle -|10001\rangle -|01100\rangle -|10111\rangle +|00101\rangle ],\end{aligned}}

{\begin{aligned}|1_{\rm {L}}\rangle ={\frac {1}{4}}[&|11111\rangle +|01101\rangle +|10110\rangle +|01011\rangle +|10101\rangle -|00100\rangle -|11001\rangle -|00111\rangle \\-&|00010\rangle -|11100\rangle -|00001\rangle -|10000\rangle -|01110\rangle -|10011\rangle -|01000\rangle +|11010\rangle ].\end{aligned}}

Замеры стабилизатора с последующим ${\bar {Z}}$ измерение можно использовать для кодирования логического кубита в 5 физических кубитов. ^[7] Подготовить $|0_{\rm {L}}\rangle$ , выполните измерения стабилизатора и примените коррекцию ошибок. После исправления ошибок логическое состояние гарантированно будет логическим кодовым словом. Если результат измерения ${\bar {Z}}$ является $0$ , логическое состояние $|0_{\rm {L}}\rangle$ . Если результат $1$ , логическое состояние $|1\rangle$ и применение ${\bar {X}}$ превратит его в $|0_{\rm {L}}\rangle$ .

Ссылки

^ Готтесман, Дэниел (2009). «Введение в квантовую коррекцию ошибок и отказоустойчивые квантовые вычисления». arXiv : 0904.2557 [ квант-ph ].
^ Нилл, Э.; Лафламм, Р.; Мартинес, Р.; Негревернь, К. (2001). «Сравнительный анализ квантовых компьютеров: пятикубитный код исправления ошибок». Физ. Преподобный Летт . 86 (25). Американское физическое общество: 5811–5814. arXiv : Quant-ph/0101034 . Бибкод : 2001PhRvL..86.5811K . doi : 10.1103/PhysRevLett.86.5811 . ПМИД 11415364 . S2CID 119440555 .
^ Д. Готтесман (1997). «Коды стабилизатора и квантовая коррекция ошибок». arXiv : Quant-ph/9705052 .
^ Jump up to: ^а ^б Роффе, Йошка (2019). «Квантовая коррекция ошибок: вводное руководство» . Современная физика . 60 (3). Тейлор и Фрэнсис: 226–245. arXiv : 1907.11157 . Бибкод : 2019ConPh..60..226R . дои : 10.1080/00107514.2019.1667078 . S2CID 198893630 .
^ Девитт, Саймон Дж; Манро, Уильям Дж; Немото, Кае (2013). «Квантовая коррекция ошибок для начинающих» . Отчеты о прогрессе в физике . 76 (7): 076001. arXiv : 0905.2794 . Бибкод : 2013РПФ...76г6001Д . дои : 10.1088/0034-4885/76/7/076001 . ПМИД 23787909 . S2CID 206021660 .
^ Райан-Андерсон, К.; Бонет, Дж.Г.; Лук-порей.; Греш, Д.; Ханкин, А.; Геблер, JP; Франсуа, Д.; Черногузов А.; Луккетти, Д.; Браун, Северная Каролина; Гаттерман, ТМ; Халит, Словакия; Гилмор, К.; Гербер, Дж.; Нейенхейс, Б.; Хейс, Д.; Штутц, Р.П. (2021). «Реализация отказоустойчивой квантовой коррекции ошибок в реальном времени». Физический обзор X . 11 (4): 041058. arXiv : 2107.07505 . Бибкод : 2021PhRvX..11d1058R . дои : 10.1103/PhysRevX.11.041058 . S2CID 235899062 .
^ Гун, Юань, Сяо; У, Юйлинь; Чжа, Ли, Шаовэй; Чжао, Ци; Лян, Линь, Цзинь; ; Ронг, Хао; Бенджамин, С.; Пэн, Чэн-Чжи; Чэнь, Чжу, Сяобо; Ю Экспериментальное исследование пятикубитного квантового кода исправления ошибок со сверхпроводящими кубитами» . National Science Review . 9 (1): nwab011. arXiv : 1907.04507 . doi : nsr/nwab011 . PMC 8776549. . PMID 35070323 10.1093 /

[1] Готтесман, Дэниел (2009). «Введение в квантовую коррекцию ошибок и отказоустойчивые квантовые вычисления». arXiv : 0904.2557 [ квант-ph ].

[2] Нилл, Э.; Лафламм, Р.; Мартинес, Р.; Негревернь, К. (2001). «Сравнительный анализ квантовых компьютеров: пятикубитный код исправления ошибок». Физ. Преподобный Летт . 86 (25). Американское физическое общество: 5811–5814. arXiv : Quant-ph/0101034 . Бибкод : 2001PhRvL..86.5811K . doi : 10.1103/PhysRevLett.86.5811 . ПМИД 11415364 . S2CID 119440555 .

[3] Д. Готтесман (1997). «Коды стабилизатора и квантовая коррекция ошибок». arXiv : Quant-ph/9705052 .

[introductory2019-4] Jump up to: ^а ^б Роффе, Йошка (2019). «Квантовая коррекция ошибок: вводное руководство» . Современная физика . 60 (3). Тейлор и Фрэнсис: 226–245. arXiv : 1907.11157 . Бибкод : 2019ConPh..60..226R . дои : 10.1080/00107514.2019.1667078 . S2CID 198893630 .

[5] Девитт, Саймон Дж; Манро, Уильям Дж; Немото, Кае (2013). «Квантовая коррекция ошибок для начинающих» . Отчеты о прогрессе в физике . 76 (7): 076001. arXiv : 0905.2794 . Бибкод : 2013РПФ...76г6001Д . дои : 10.1088/0034-4885/76/7/076001 . ПМИД 23787909 . S2CID 206021660 .

[6] Райан-Андерсон, К.; Бонет, Дж.Г.; Лук-порей.; Греш, Д.; Ханкин, А.; Геблер, JP; Франсуа, Д.; Черногузов А.; Луккетти, Д.; Браун, Северная Каролина; Гаттерман, ТМ; Халит, Словакия; Гилмор, К.; Гербер, Дж.; Нейенхейс, Б.; Хейс, Д.; Штутц, Р.П. (2021). «Реализация отказоустойчивой квантовой коррекции ошибок в реальном времени». Физический обзор X . 11 (4): 041058. arXiv : 2107.07505 . Бибкод : 2021PhRvX..11d1058R . дои : 10.1103/PhysRevX.11.041058 . S2CID 235899062 .

[7] Гун, Юань, Сяо; У, Юйлинь; Чжа, Ли, Шаовэй; Чжао, Ци; Лян, Линь, Цзинь; ; Ронг, Хао; Бенджамин, С.; Пэн, Чэн-Чжи; Чэнь, Чжу, Сяобо; Ю Экспериментальное исследование пятикубитного квантового кода исправления ошибок со сверхпроводящими кубитами» . National Science Review . 9 (1): nwab011. arXiv : 1907.04507 . doi : nsr/nwab011 . PMC 8776549. . PMID 35070323 10.1093 /

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]