Теорема Кука – Спекера

В квантовой механике Кохена -Спкера ( КС ) теорема , также известная как теорема Белла-КС , это «недопустимая» теорема доказано Джоном С. Беллом в 1966 году и Саймоном Б. Кохеном и Эрнстом Спеккером в 1967 году. Это накладывает определенные ограничения на допустимые типы теорий скрытых переменных , которые пытаются объяснить предсказания квантовой механики независимо от контекста. Версия теоремы, доказанная Кохеном и Спеккером, также дала явный пример этого ограничения в терминах конечного числа векторов состояния.

Теорема Кохена-Спкера является дополнением к теореме Белла . В то время как теорема Белла установила, что нелокальность является особенностью любой теории скрытых переменных, которая восстанавливает предсказания квантовой механики, теорема Кохена-Спкера установила, что контекстуальность является неизбежной особенностью таких теорий.

Теорема доказывает, что существует противоречие между двумя основными предположениями теорий скрытых переменных, предназначенных для воспроизведения результатов квантовой механики: что все скрытые переменные, соответствующие квантово-механическим наблюдаемым, имеют определенные значения в любой момент времени и что значения эти переменные являются внутренними и независимыми от устройства, используемого для их измерения. Противоречие вызвано тем, что квантовомеханические наблюдаемые не обязательно должны быть коммутативными . Оказывается, невозможно одновременно вложить все коммутирующие подалгебры алгебры этих наблюдаемых в одну коммутативную алгебру, которая, как предполагается, представляет классическую структуру теории скрытых переменных, если размерность гильбертова пространства не менее трех.

Теорема Кохена-Спкера исключает теории скрытых переменных , которые предполагают, что все элементы физической реальности могут быть последовательно представлены одновременно с помощью квантовомеханического формализма гильбертового пространства, независимо от контекста конкретной структуры (технически это проективная декомпозиция тождественного оператора), связанной с рассматриваемый эксперимент или аналитическая точка зрения. Как кратко выразились Ишам и Баттерфилд : (в предположении универсального вероятностного выборочного пространства, как в неконтекстуальных теориях скрытых переменных) теорема Кохена-Спкера «утверждает невозможность присвоения значений всем физическим величинам, в то же время сохраняя функциональные отношения между ними».

История

Теорема КС является важным шагом в дискуссии о (не)полноте квантовой механики, усиленной в 1935 году критикой копенгагенского предположения о полноте в статье Эйнштейна, Подольского и Розена, создавшей так называемый ЭПР-парадокс . Этот парадокс вытекает из предположения, что результат квантово-механического измерения генерируется детерминированным образом как следствие существования элемента физической реальности, который, как предполагается, присутствовал до измерения как свойство микроскопического объекта. В статье ЭПР предполагалось , что роль такого элемента физической реальности может играть измеряемая величина квантовомеханической наблюдаемой. Вследствие этого метафизического предположения критика ЭПР не была воспринята большинством физического сообщества очень серьезно. Более того, в своем ответе Бор указал на двусмысленность в статье ЭПР, заключающуюся в том, что она предполагает, что можно предположить, что ничего не изменилось бы в отдаленных результатах измерений, изменивших локальную основу измерения, даже если бы весь универсальный контекст был другим. Принятие во внимание контекстуальности, вытекающей из схемы измерения, по мнению Бора, сделало бы недействительными рассуждения ЭПР. Впоследствии это заметил Эйнштейн. что опора Бора на контекстуальность подразумевает нелокальность («жуткое действие на расстоянии») и что, как следствие, пришлось бы принять неполноту, если бы мы хотели избежать нелокальности.

В 1950-х и 1960-х годах для тех, кто не был против метафизики, были открыты две линии развития, обе линии усовершенствовали «недопустимую» теорему, представленную фон Нейманом : претендуя на доказательство невозможности того, чтобы теории скрытых переменных давали те же результаты, что и квантовая механика. Во-первых, Бом разработал интерпретацию квантовой механики , общепринятую как теорию скрытых переменных, лежащую в основе квантовой механики. Нелокальность теории Бома побудила Белла предположить, что квантовая реальность нелокальна и что, вероятно, только локальные теории скрытых переменных не согласуются с квантовой механикой. Что еще более важно, Беллу удалось поднять проблему с уровня метафизики на уровень физики, выведя неравенство Белла , которое можно проверить экспериментально.

Вторая линия — линия Кохена–Спкера. Существенное отличие от подхода Белла заключается в том, что возможность подкрепления квантовой механики теорией скрытых переменных рассматривается независимо от каких-либо ссылок на локальность или нелокальность, но вместо этого налагается более сильное ограничение, чем локальность, а именно, что скрытые переменные связаны исключительно с измеряемая квантовая система; ни один из них не связан с измерительным устройством. Это называется предположением неконтекстуальности. Контекстуальность здесь связана с совместимостью квантово-механических наблюдаемых, а несовместимость связана с взаимоисключаемостью способов измерения. Теорема Кохена-Спкера утверждает, что ни одна неконтекстуальная модель со скрытыми переменными не может воспроизвести предсказания квантовой теории, когда размерность гильбертова пространства равна трем или более.

Белл опубликовал доказательство теоремы Кохена-Спкера в 1966 году в статье, которая была отправлена ​​​​в журнал раньше, чем его знаменитая статья о неравенстве Белла, но пропала на столе редактора на два года. Значительно более простые доказательства, чем доказательство Кохена – Спекера, были позже даны, в частности, Мермином. и Перес . Однако многие более простые доказательства устанавливают теорему только для гильбертовых пространств более высокой размерности, например, размерности четыре.

Первая экспериментальная проверка контекстуальности была проведена в 2000 году. а версия без лазеек в обнаружении, резкости и совместимости была достигнута в 2022 году.

Обзор

Теорема КС исследует, можно ли встроить набор квантово-механических наблюдаемых в набор классических величин, несмотря на то, что все классические величины взаимно совместимы. Первое наблюдение, сделанное в статье Кохена-Спекера, заключается в том, что это возможно тривиальным способом, а именно, игнорируя алгебраическую структуру набора квантово-механических наблюдаемых. Действительно, пусть p _A ( ak _{), взятое по} ) будет вероятностью того, что наблюдаемая A имеет значение a _k , тогда произведение Π _A   p _A ( ak _{вероятности} всем возможным наблюдаемым A , является допустимым совместным распределением вероятностей , дающим все квантово-механические наблюдаемые путем взятия маргинальных значений . Однако Кохен и Спекер отмечают, что такое совместное распределение вероятностей неприемлемо, поскольку оно игнорирует все корреляции между наблюдаемыми. Таким образом, в квантовой механике A ² имеет значение a _k ² если A имеет значение a _k , подразумевая, что значения A и A ² сильно коррелированы.

В более общем плане Кохен и Спекер требуют, чтобы для произвольной функции f значение $v{\big (}f(\mathbf {A} ){\big )}$ наблюдаемых $f(\mathbf {A} )$ удовлетворяет

$v{\big (}f(\mathbf {A} ){\big )}=f{\big (}v(\mathbf {A} ){\big )}.$

Если A ₁ и A ₂ — совместимые (измеримые) наблюдаемые, то по той же причине мы должны иметь следующие два равенства:

$v(c_{1}\mathbf {A} _{1}+c_{2}\mathbf {A} _{2})=c_{1}v(\mathbf {A} _{1})+c_{2}v(\mathbf {A} _{2}),$

$c_{1}$ и $c_{2}$ настоящий, и

$v(\mathbf {A} _{1}\mathbf {A} _{2})=v(\mathbf {A} _{1})v(\mathbf {A} _{2}).$

Первое из них представляет собой значительное ослабление по сравнению с предположением фон Неймана о том, что это равенство должно выполняться независимо от того, А1 _или и А2 _{совместимы} несовместимы . Кохен и Спекер смогли доказать, что присвоение ценности невозможно даже на основе этих более слабых предположений. Для этого они ограничили наблюдаемые специальным классом, а именно так называемыми наблюдаемыми «да-нет», имеющими только значения 0 и 1, соответствующие операторам проектирования на собственные векторы некоторых ортогональных базисов гильбертова пространства.

Поскольку гильбертово пространство хотя бы трехмерно, им удалось найти набор из 117 таких операторов проектирования, не позволяющих однозначно приписать каждому из них значение 0 или 1. Вместо довольно сложного доказательства Кохена и Спекера, более информативно будет воспроизвести здесь одно из гораздо более простых доказательств, данных гораздо позже, в котором используется меньшее количество операторов проектирования, но доказывает теорему только тогда, когда размерность гильбертова пространства не менее 4. Оказывается, аналогичный результат можно получить на основе набора всего из 18 операторов проектирования.

Для этого достаточно осознать, что если u ₁ , u ₂ , u ₃ и u ₄ — четыре ортогональных вектора ортогонального базиса в четырехмерном гильбертовом пространстве, то операторы проектирования P ₁ , P ₂ , P ₃ , P ₄ на этих векторах все взаимно коммутируют (и, следовательно, соответствуют совместимым наблюдаемым, что позволяет одновременно приписывать значения 0 или 1). С

$\mathbf {P} _{1}+\mathbf {P} _{2}+\mathbf {P} _{3}+\mathbf {P} _{4}=\mathbf {I} ,$

отсюда следует, что

$v(\mathbf {P} _{1}+\mathbf {P} _{2}+\mathbf {P} _{3}+\mathbf {P} _{4})=v(\mathbf {I} )=1.$

Но поскольку

$v(\mathbf {P} _{1}+\mathbf {P} _{2}+\mathbf {P} _{3}+\mathbf {P} _{4})=v(\mathbf {P} _{1})+v(\mathbf {P} _{2})+v(\mathbf {P} _{3})+v(\mathbf {P} _{4}),$

это следует из $v(\mathbf {P} _{i})$ = 0 или 1, $i=1,\ldots ,4$, что из четырех значений $v(\mathbf {P} _{1}),v(\mathbf {P} _{2}),v(\mathbf {P} _{3}),v(\mathbf {P} _{4})$ один должен быть 1, а остальные три должны быть 0.

Волосы, расширение аргумента, разработанного Кернаганом рассматривались 9 ортогональных базисов, каждый базис соответствует столбцу следующей таблицы, в которой явно отображаются базисные векторы. Базисы выбраны таким образом, что каждый проектор появляется ровно в двух контекстах, тем самым устанавливая функциональные связи между контекстами.

в 1	(0, 0, 0, 1)	(0, 0, 0, 1)	(1, −1, 1, −1)	(1, −1, 1, −1)	(0, 0, 1, 0)	(1, −1, −1, 1)	(1, 1, −1, 1)	(1, 1, −1, 1)	(1, 1, 1, −1)
ты 2	(0, 0, 1, 0)	(0, 1, 0, 0)	(1, −1, −1, 1)	(1, 1, 1, 1)	(0, 1, 0, 0)	(1, 1, 1, 1)	(1, 1, 1, −1)	(−1, 1, 1, 1)	(−1, 1, 1, 1)
ты 3	(1, 1, 0, 0)	(1, 0, 1, 0)	(1, 1, 0, 0)	(1, 0, −1, 0)	(1, 0, 0, 1)	(1, 0, 0, −1)	(1, −1, 0, 0)	(1, 0, 1, 0)	(1, 0, 0, 1)
ты 4	(1, −1, 0, 0)	(1, 0, −1, 0)	(0, 0, 1, 1)	(0, 1, 0, −1)	(1, 0, 0, −1)	(0, 1, −1, 0)	(0, 0, 1, 1)	(0, 1, 0, −1)	(0, 1, −1, 0)

Теперь следует теорема о запрете, гарантирующая невозможность следующего: поместить значение, либо 1, либо 0, в каждое отделение приведенной выше таблицы таким образом, чтобы:

(a) значение 1 появляется ровно один раз в каждом столбце, остальные записи в столбце равны 0;

(б) отсеки одинакового цвета содержат одно и то же значение – либо оба содержат 1, либо оба содержат 0.

Так получилось, что все, что нам нужно сделать сейчас, это задать вопрос: сколько раз значение 1 должно появиться в таблице? С одной стороны, (а) подразумевает, что 1 должна появиться 9 раз: имеется 9 столбцов, и (а) говорит, что 1 должна появиться ровно один раз в каждом столбце. С другой стороны, (b) подразумевает, что 1 должна появляться четное количество раз: все отсеки представлены парами одинакового цвета, и (b) говорит, что если один член пары содержит 1, то другой член должен содержать 1. также. Повторим: (а) говорит, что 1 появляется 9 раз, а (б) говорит, что оно появляется четное количество раз. Поскольку 9 не четно, отсюда следует, что (а) и (б) противоречат друг другу; никакое распределение единиц и нулей по отсекам не могло бы удовлетворить и то, и другое.

Обычное доказательство теоремы Белла ( неравенство CHSH ) также можно преобразовать в простое доказательство теоремы KS в размерности не менее 4. Установка Белла включает в себя четыре измерения с четырьмя исходами (четыре пары одновременных двоичных измерений в каждом крыле эксперимента). ) и четыре с двумя исходами (два бинарных измерения в каждом крыле эксперимента, без сопровождения), то есть 24 оператора проецирования.

Примечания

Контекстуальность

Основная статья: Квантовая контекстуальность

В статье Кохена-Спкера обсуждается возможность того, что приписывание ценности $v(\mathbf {A} )$ могут быть контекстно-зависимыми, т.е. наблюдаемые, соответствующие одинаковым векторам в разных столбцах таблицы, не обязательно должны иметь одинаковые значения, поскольку разные столбцы соответствуют разным схемам измерения. Поскольку субквантовая реальность (как она описывается теорией скрытых переменных) может зависеть от контекста измерения, вполне возможно, что отношения между квантово-механическими наблюдаемыми и скрытыми переменными являются просто гомоморфными , а не изоморфными. Это сделало бы устаревшим требование контекстно-независимой атрибуции значений. Следовательно, теорема КС исключает только неконтекстуальные теории скрытых переменных. Возможность контекстуальности породила так называемые модальные интерпретации квантовой механики .

Разные уровни описания

Теоремой КС доказывается невозможность предположения Эйнштейна о том, что элемент физической реальности представлен значением квантовомеханической наблюдаемой. Под значением квантово-механической наблюдаемой понимается, прежде всего, конечное положение стрелки измерительного прибора, которое возникает только в процессе измерения и которое по этой причине не может играть роль элемента физической реальность. Элементы физической реальности, если они существуют, по-видимому, нуждаются в субквантовой теории (скрытой переменной) для своего описания, а не в квантовой механике. В более поздних публикациях Неравенства Белла обсуждаются на основе теорий скрытых переменных, в которых предполагается, что скрытая переменная относится к субквантовому свойству микроскопического объекта, отличному от значения квантово-механической наблюдаемой. Это открывает возможность выделения разных уровней реальности, описываемых разными теориями, что уже практиковал Луи де Бройль . Для таких более общих теорий теорема КС применима только в том случае, если измерение предполагается точным, в том смысле, что существует детерминированная связь между субквантовым элементом физической реальности и значением наблюдаемой, обнаруженной при измерении.

См. также

• Квантовые основы
• Квантовая неопределенность

Внешние ссылки

• Карстен Хелд, Теорема Кохена – Спекера , Стэнфордская энциклопедия философии * [1]
• С. Кохен и Э. П. Спекер, Проблема скрытых переменных в квантовой механике, Полный текст [2]
• Маккормик, Кэти (22 июня 2022 г.). «Жуткий квантовый феномен, о котором вы никогда не слышали» . Журнал Кванта .