Квантовые неравенства

Квантовые неравенства — это локальные ограничения на величину и степень распределения отрицательной плотности энергии в пространстве-времени. Первоначально задуманные для решения давней проблемы квантовой теории поля (а именно, возможности неограниченной отрицательной плотности энергии в точке), квантовые неравенства доказали, что имеют широкий спектр приложений.

Форма квантовых неравенств напоминает принцип неопределенности .

Энергетические условия в классической теории поля

теория относительности Эйнштейна Общая сводится к описанию взаимосвязи между искривлением пространства-времени, с одной стороны, и распределением материи в пространстве-времени, с другой. Точные детали этого соотношения определяются уравнениями Эйнштейна

$G_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }$.

Здесь тензор Эйнштейна $G_{\mu \nu }$ описывает кривизну пространства-времени, а тензор энергии-импульса $T_{\mu \nu }$ описывает локальное распределение материи. ( $\kappa$ является константой.) Уравнения Эйнштейна выражают локальные отношения между участвующими величинами - в частности, это система связанных нелинейных уравнений в частных производных второго порядка.

Здесь можно сделать очень простое наблюдение: нулевая точка энергии-импульса не является произвольной. Добавление «константы» в правую часть уравнений Эйнштейна приведет к изменению тензора Эйнштейна и, следовательно, к изменению свойств кривизны пространства-времени.

Все известные классические поля материи подчиняются определенным « энергетическим условиям ». Самым известным классическим энергетическим состоянием является «состояние слабой энергии»; это утверждает, что локальная плотность энергии, измеренная наблюдателем, движущимся вдоль времяподобной мировой линии, неотрицательна. Условие слабой энергии существенно для многих наиболее важных и мощных результатов классической теории относительности, в частности, теорем о сингулярности Хокинга и др.

Энергетические условия в квантовой теории поля

Ситуация в квантовой теории поля совершенно иная: математическое ожидание плотности энергии может быть отрицательным в любой данной точке. На самом деле дела обстоят еще хуже: путем настройки состояния поля квантовой материи математическое ожидание локальной плотности энергии можно сделать сколь угодно отрицательным.

Неравенства

Для свободных, безмассовых, минимально связанных скалярных полей, для всех $\tau _{0}>0$ следующее неравенство справедливо вдоль любой инерциальной мировой линии наблюдателя со скоростью $u^{i}$ и подходящее время $\tau$:

${\frac {\tau _{0}}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\langle T_{ij}u^{i}u^{j}\rangle d\tau }{\tau ^{2}+\tau _{0}^{2}}}\geq -{\frac {3}{32\pi ^{2}\tau _{0}^{4}}}.$

Это подразумевает условие усредненной слабой энергии как $\tau _{0}\rightarrow \infty$, но также накладывает более строгие ограничения на продолжительность эпизодов негативной энергии.

Аналогичные границы можно построить для массивных скалярных или электромагнитных полей. Соответствующие теоремы подразумевают, что импульсы отрицательной энергии необходимо компенсировать более крупным положительным импульсом (величина которого растет с увеличением разделения импульсов).

Обратите внимание, что приведенное выше неравенство применимо только к инерционным наблюдателям: для ускоренных наблюдателей более слабые границы или их отсутствие не влекут за собой.

Приложения

Распределения отрицательной плотности энергии составляют то, что часто называют экзотической материей , и открывают несколько интригующих возможностей: например, двигатель Алькубьерре потенциально позволяет путешествовать в космосе со скоростью, превышающей скорость света.

Квантовые неравенства ограничивают величину и пространственно-временную протяженность отрицательной плотности энергии. В случае упомянутого выше варп-двигателя Алькубьерре квантовые неравенства предсказывают, что количество экзотической материи, необходимой для создания и поддержания «пузыря» варп-двигателя, намного превышает общую массу-энергию Вселенной.

История

Самые ранние исследования квантовых неравенств были проведены Ларри Фордом и Томом Романом; одним из первых соавторов был Митч Пфеннинг, один из студентов Форда в Университете Тафтса. Важную работу провела также Эанна Фланаган. Совсем недавно Крис Фьюстер (из Йоркского университета в Великобритании) применил строгую математику для получения множества весьма общих квантовых неравенств. Среди сотрудников были Форд, Роман, Пфеннинг, Стефан Холландс и Райнер Верх.

Дальнейшее чтение

Веб-сайты

Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени в Институте Эрвина Шредингера

Квантовые энергетические неравенства (Йоркский университет, Великобритания)