Взаимно несмещенные базы

Пример трех базисов в двумерном пространстве, где базы B1 и B2 взаимно несмещены, тогда как векторы базиса B3 не имеют равного перекрытия с векторами базиса B1 (как и B2) и поэтому B3 не является взаимно несмещенным. несмещенный с B1 (и B2).

В квантовой теории информации набор базисов в гильбертовом пространстве C ^д Говорят, что они взаимно несмещены , что означает, что если система подготовлена ​​в собственном состоянии одного из базисов, то все результаты измерения относительно другого базиса прогнозируются с равной вероятностью, неумолимо равной 1/ д .

Обзор

Понятие взаимно несмещенных базисов было впервые введено Джулианом Швингером в 1960 году. и первым, кто рассмотрел применение взаимно непредвзятых оснований, был И.Д. Иванович в задаче определения квантового состояния.

Теперь известно, что взаимно несмещенные базисы (MUB) и проблема их существования имеют несколько тесно связанных проблем и эквивалентных аватаров в некоторых других областях математики и квантовых наук, таких как SIC-POVM , конечные проективные/аффинные плоскости, комплексные матрицы Адамара и многое другое. см. раздел: Связанные проблемы ].

MUB важны для распределения квантовых ключей , в частности, для безопасного обмена квантовыми ключами. MUB используются во многих протоколах, поскольку результат является случайным, когда измерение производится на основе, несмещенной по отношению к той, в которой было подготовлено состояние. Когда две удаленные стороны имеют два неортогональных квантовых состояния, попытки перехватчика различить их посредством измерений повлияют на систему, и это можно обнаружить. Хотя многие протоколы квантовой криптографии опираются на однокубитные технологии , использование состояний более высокой размерности, таких как кутриты , позволяет повысить безопасность от подслушивания. Это мотивирует изучение взаимно несмещенных базисов в пространствах более высокой размерности.

Другие применения взаимно несмещенных базисов включают реконструкцию квантового состояния , коды квантовой коррекции ошибок , обнаружение квантовой запутанности , и так называемая «проблема подлого короля».

Определение и примеры

Пара ортонормированных оснований $\{|e_{1}\rangle ,\dots ,|e_{d}\rangle \}$ и $\{|f_{1}\rangle ,\dots ,|f_{d}\rangle \}$ в гильбертовом пространстве C ^д называются взаимно несмещенными тогда и только тогда, когда внутреннего продукта квадрат величины между любыми базисными состояниями $|e_{j}\rangle$ и $|f_{k}\rangle$ равно обратной размерности ​ d :

$|\langle e_{j}|f_{k}\rangle |^{2}={\frac {1}{d}},\quad \forall j,k\in \{1,\dots ,d\}.$

Эти базы несмещены в следующем смысле: если система подготовлена ​​в состоянии, принадлежащем одной из базисов, то все результаты измерения по отношению к другой базе прогнозируются с равной вероятностью.

Пример для d = 2

Три базы

$M_{0}=\left\{|0\rangle ,|1\rangle \right\}$

$M_{1}=\left\{{\frac {|0\rangle +|1\rangle }{\sqrt {2}}},{\frac {|0\rangle -|1\rangle }{\sqrt {2}}}\right\}$

$M_{2}=\left\{{\frac {|0\rangle +i|1\rangle }{\sqrt {2}}},{\frac {|0\rangle -i|1\rangle }{\sqrt {2}}}\right\}$

предоставить простейший пример взаимно несмещенных базисов в C ² . Указанные выше базисы состоят из собственных векторов спиновых матриц Паули. $\sigma _{z},\sigma _{x}$ и их продукт $\sigma _{x}\sigma _{z}$, соответственно.

Пример для d = 4

Для d = 4 пример d + 1 = 5 взаимно несмещенных базисов, где каждый базис обозначается M _j , 0 ≤ j ≤ 4, задается следующим образом:

$M_{0}=\left\{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\right\}$

$M_{1}=\left\{{\frac {1}{2}}(1,1,1,1),{\frac {1}{2}}(1,1,-1,-1),{\frac {1}{2}}(1,-1,-1,1),{\frac {1}{2}}(1,-1,1,-1)\right\}$

$M_{2}=\left\{{\frac {1}{2}}(1,-1,-i,-i),{\frac {1}{2}}(1,-1,i,i),{\frac {1}{2}}(1,1,i,-i),{\frac {1}{2}}(1,1,-i,i)\right\}$

$M_{3}=\left\{{\frac {1}{2}}(1,-i,-i,-1),{\frac {1}{2}}(1,-i,i,1),{\frac {1}{2}}(1,i,i,-1),{\frac {1}{2}}(1,i,-i,1)\right\}$

$M_{4}=\left\{{\frac {1}{2}}(1,-i,-1,-i),{\frac {1}{2}}(1,-i,1,i),{\frac {1}{2}}(1,i,-1,i),{\frac {1}{2}}(1,i,1,-i)\right\}$

Проблема существования

Нерешенная задача по математике :

Каково максимальное количество MUB в любом измерении d, не являющемся простой степенью?

(еще нерешенные задачи по математике)

Позволять ${\mathfrak {M}}(d)$ обозначаем максимальное число взаимно несмещенных базисов в d -мерном гильбертовом пространстве C ^д . Это открытый вопрос сколько взаимно несмещенных оснований, ${\mathfrak {M}}(d)$, можно найти в C ^д , для произвольного d .

В общем, если

$d=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}\cdots p_{k}^{n_{k}}$

— это в ​​простой степени факторизация числа d , где

$p_{1}^{n_{1}}<p_{2}^{n_{2}}<\cdots <p_{k}^{n_{k}}$

тогда максимальное количество взаимно несмещенных базисов, которое можно построить, удовлетворяет

$p_{1}^{n_{1}}+1\leq {\mathfrak {M}}(d)\leq d+1.$

Отсюда следует, что если размерность гильбертова пространства d представляет собой целую степень простого числа, то можно найти d + 1 взаимно несмещенные базы. Это можно увидеть в предыдущем уравнении, поскольку разложение d на простые числа просто есть $d=p^{n}$. Поэтому,

${\mathfrak {M}}(p^{n})=p^{n}+1.$

Таким образом, максимальное количество взаимно несмещенных оснований известно, когда d — целая степень простого числа, но неизвестно для произвольного d .

Наименьшее измерение, не являющееся целой степенью простого числа, равно d = 6. Это также наименьшее измерение, для которого количество взаимно несмещенных оснований неизвестно. Методы определения количества взаимно несмещенных оснований, когда d — целая степень простого числа, в этом случае использовать нельзя. Ищет набор из четырех взаимно несмещенных оснований, когда d = 6, оба с использованием матриц Адамара. и численные методы оказались безуспешными. Общепринято считать, что максимальное количество взаимно несмещенных оснований для d = 6 равно ${\mathfrak {M}}(6)=3$.

Связанные проблемы

Нерешенная задача по математике :

Существуют ли SIC-POVM во всех измерениях?

(еще нерешенные задачи по математике)

Проблема MUB по своей природе похожа на симметричное свойство SIC-POVM . Уильям Вуттерс отмечает, что полный набор $d+1$ несмещенные базисы дают геометрическую структуру, известную как конечная проективная плоскость , в то время как SIC-POVM (в любом измерении, имеющем степень простого числа ) дает конечную аффинную плоскость , тип структуры, определение которой идентично определению конечной проективной плоскости с роли точек и линий поменялись местами. В этом смысле проблемы SIC-POVM и взаимно несмещенных баз двойственны друг другу.

В измерении $d=3$, аналогию можно продолжить: полный набор взаимно несмещенных базисов можно построить непосредственно из SIC-POVM. 9 векторов SIC-POVM вместе с 12 векторами взаимно несмещенных оснований образуют набор, который можно использовать в доказательстве Кохена – Спекера . Однако в 6-мерном гильбертовом пространстве известен SIC-POVM, но полный набор взаимно несмещенных базисов еще не обнаружен, и широко распространено мнение, что такого набора не существует.

Методы поиска

группы Вейля Метод

Позволять ${\hat {X}}$ и ${\hat {Z}}$ — два унитарных оператора в гильбертовом пространстве C ^д такой, что

${\hat {Z}}{\hat {X}}=\omega {\hat {X}}{\hat {Z}}$

для некоторого фазового коэффициента $\omega$. Если $\omega$ является примитивным корнем из единицы , например $\omega \equiv e^{\frac {2\pi i}{d}}$ тогда собственные основания ${\hat {X}}$ и ${\hat {Z}}$ взаимно непредвзяты.

Выбирая собственный базис ${\hat {Z}}$ Чтобы быть стандартным базисом , мы можем сгенерировать другой несмещенный к нему базис, используя матрицу Фурье. Элементы матрицы Фурье имеют вид

$F_{ab}=\omega ^{ab},0\leq a,b\leq N-1$

Другие базы, несмещенные как по отношению к стандартному базису, так и к базису, порожденному матрицей Фурье, могут быть созданы с использованием групп Вейля. Размерность гильбертова пространства важна при создании наборов взаимно несмещенных базисов с использованием групп Вейля. Когда d — простое число, то обычные d + 1 взаимно несмещенные основания можно создать с помощью групп Вейля. Когда d не является простым числом, возможно, что максимальное количество взаимно несмещенных оснований, которое можно сгенерировать с помощью этого метода, равно 3.

Метод унитарных операторов с использованием конечных полей

Когда d = p простое число , мы определяем унитарные операторы ${\hat {X}}$ и ${\hat {Z}}$ к

${\hat {X}}=\sum _{k=0}^{d-1}|k+1\rangle \langle k|$

${\hat {Z}}=\sum _{k=0}^{d-1}\omega ^{k}|k\rangle \langle k|$

где $\{|k\rangle |0\leq k\leq d-1\}$ является стандартной основой и $\omega =e^{\frac {2\pi i}{d}}$ является корнем единства .

Тогда собственные базы следующих d + 1 операторов взаимно несмещены:

${\hat {X}},{\hat {Z}},{\hat {X}}{\hat {Z}},{\hat {X}}{\hat {Z}}^{2},\ldots ,{\hat {X}}{\hat {Z}}^{d-1}.$

Для нечетного d -й собственный вектор t оператора ${\hat {X}}{\hat {Z}}^{k}$ задается явно

$|\psi _{t}^{k}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {d}}}\sum _{j=0}^{d-1}\omega ^{tj+kj^{2}}|j\rangle .$

Когда $d=p^{r}$ является степенью простого числа, мы воспользуемся конечным полем $\mathbb {F} _{d}$ построить максимальный набор из d + 1 взаимно несмещенных базисов. Обозначим элементы вычислительной базы C ^д используя конечное поле: $\{|a\rangle |a\in \mathbb {F} _{d}\}$.

Определим операторы ${\hat {X_{a}}}$ и ${\hat {Z_{b}}}$ следующим образом

${\hat {X_{a}}}=\sum _{c\in \mathbb {F} _{d}}|c+a\rangle \langle c|$

${\hat {Z_{b}}}=\sum _{c\in \mathbb {F} _{d}}\chi (bc)|c\rangle \langle c|$

где

$\chi (\theta )=\exp \left[{\frac {2\pi i}{p}}\left(\theta +\theta ^{p}+\theta ^{p^{2}}+\cdots +\theta ^{p^{r-1}}\right)\right],$

– аддитивный характер по полю, а также сложение и умножение в кетах и $\chi (\cdot )$ это из $\mathbb {F} _{d}$.

Затем формируем d + 1 наборов коммутирующих унитарных операторов:

$\{{\hat {Z_{s}}}|s\in \mathbb {F} _{d}\}$ и $\{{\hat {X_{s}}}{\hat {Z_{sr}}}|s\in \mathbb {F} _{d}\}$ для каждого $r\in \mathbb {F} _{d}$

Совместные собственные базы операторов одного набора взаимно несмещены по отношению к базисам любого другого набора. Таким образом, мы имеем d + 1 взаимно несмещенные основания.

Матричный метод Адамара

Учитывая, что один базис в гильбертовом пространстве является стандартным базисом, то все базисы, несмещенные по отношению к этому базису, могут быть представлены столбцами комплексной матрицы Адамара, умноженной на нормировочный коэффициент. При d = 3 эти матрицы имели бы вид

$U={\frac {1}{\sqrt {d}}}{\begin{bmatrix}1&1&1\\e^{i\phi _{10}}&e^{i\phi _{11}}&e^{i\phi _{12}}\\e^{i\phi _{20}}&e^{i\phi _{21}}&e^{i\phi _{22}}\end{bmatrix}}$

Таким образом, задача нахождения набора из k +1 взаимно несмещенных базисов соответствует нахождению k взаимно несмещенных комплексных матриц Адамара.

Примером однопараметрического семейства матриц Адамара в 4-мерном гильбертовом пространстве является

$H_{4}(\phi )={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&e^{i\phi }&-1&-e^{i\phi }\\1&-1&1&-1\\1&-e^{i\phi }&-1&e^{i\phi }\end{bmatrix}}$

соотношения

Существует альтернативная характеристика взаимно несмещенных базисов, рассматривающая их с точки зрения отношений неопределенности .

Соотношения энтропийной неопределенности аналогичны принципу неопределенности Гейзенберга , а Ханс Маассен и Дж. Б. М. Уффинк обнаружил, что для любых двух оснований $B_{1}=\{|a_{i}\rangle _{i=1}^{d}\}$ и $B_{2}=\{|b_{j}\rangle _{j=1}^{d}\}$:

$H_{B_{1}}+H_{B_{2}}\geq -2\log c.$

где $c=\max |\langle a_{j}|b_{k}\rangle |$ и $H_{B_{1}}$ и $H_{B_{2}}$ - соответствующая энтропия оснований $B_{1}$ и $B_{2}$, при измерении данного состояния.

Соотношения энтропийной неопределенности часто являются предпочтительными. к принципу неопределенности Гейзенберга , поскольку они выражаются не в терминах измеряемого состояния, а в терминах c .

В таких сценариях, как квантовое распределение ключей , мы стремимся к таким базам измерения, при которых полное знание состояния по отношению к одному базису подразумевает минимальное знание состояния по отношению к другим базам. Это подразумевает высокую энтропию результатов измерений, и поэтому мы называем эти отношения сильной энтропийной неопределенности.

Для двух базисов нижняя граница соотношения неопределенностей максимизируется, когда базы измерения взаимно несмещены, поскольку взаимно несмещенные базы максимально несовместимы : результат измерения, выполненного в базисе, несмещенном по отношению к тому, в котором подготовлено состояние, полностью случайный. Фактически, для d -мерного пространства имеем:

$H_{B_{1}}+H_{B_{2}}\geq \log(d)$

для любой пары взаимно несмещенных оснований $B_{1}$ и $B_{2}$. Эта граница является оптимальной : Если мы измеряем состояние по одному из базисов, то результат будет иметь энтропию 0 в этом базисе и энтропию $\log(d)$ в другом.

Если размерность пространства равна простой степени, мы можем построить d + 1 MUB, и тогда было обнаружено, что

$\sum _{k=1}^{d+1}H_{B_{k}}\geq (d+1)\log \left({\frac {d+1}{2}}\right)$

что является более сильным, чем соотношение, которое мы получили бы, объединив множества в пары и затем используя уравнение Маассена и Уффинка. Таким образом, мы имеем характеристику d + 1 взаимно несмещенных базисов как тех, для которых соотношения неопределенности являются наиболее сильными.

Хотя случай двух базисов и базисов d + 1 хорошо изучен, очень мало известно о соотношениях неопределенностей для взаимно несмещенных базисов в других обстоятельствах.

При рассмотрении более двух и менее $d+1$ Известно, что существуют большие наборы взаимно несмещенных базисов, которые демонстрируют очень небольшую неопределенность. Это означает, что простая взаимная несмещенность не приводит к высокой неопределенности, за исключением случаев, когда рассматриваются измерения только в двух базах. Однако существуют и другие измерения, которые весьма неточны.

Бесконечномерное гильбертово пространство

Хотя исследования взаимно несмещенных базисов в бесконечномерном гильбертовом пространстве проводились, их существование остается открытым вопросом. Предполагается, что в непрерывном гильбертовом пространстве два ортонормированных базиса $|\psi _{s}^{b}\rangle$ и $|\psi _{s'}^{b'}\rangle$ называются взаимно несмещенными, если

$|\langle \psi _{s}^{b}|\psi _{s'}^{b'}\rangle |^{2}=k>0,s,s'\in \mathbb {R}$

Для обобщенных собственных состояний положения и импульса $|q\rangle ,q\in \mathbb {R}$ и $|p\rangle ,p\in \mathbb {R}$, значение k равно

$|\langle q|p\rangle |^{2}={\frac {1}{2\pi \hbar }}$

Существование взаимно несмещенных базисов в непрерывном гильбертовом пространстве остается открытым для дискуссий, поскольку необходимы дальнейшие исследования их существования, прежде чем можно будет прийти к каким-либо выводам.

Состояния позиции $|q\rangle$ и импульсные состояния $|p\rangle$ являются собственными векторами эрмитовых операторов ${\hat {x}}$ и $-i{\frac {\partial }{\partial x}}$, соответственно. Вейгерт и Уилкинсон первыми заметили, что и линейная комбинация этих операторов имеет собственные базы, обладающие некоторыми особенностями, характерными для взаимно несмещенных базисов. Оператор $\alpha {\hat {x}}-i\beta {\frac {\partial }{\partial x}}$ имеет собственные функции, пропорциональные $\exp(i(ax^{2}+bx))\,$ с $\alpha +2\beta a=0$ и соответствующие собственные значения $b\beta$. Если мы параметризуем $\alpha$ и $\beta$ как $\cos \theta$ и $\sin \theta$, перекрытие между любым собственным состоянием линейной комбинации и любым собственным состоянием оператора положения (оба состояния нормированы на дельту Дирака) постоянно, но зависит от $\beta$:

$|\langle x_{\theta }|x\rangle |^{2}={\frac {1}{2\pi |\sin \theta |}},$

где $|x\rangle$ и $|x_{\theta }\rangle$ обозначают собственные функции ${\hat {x}}$ и $\cos \theta {\hat {x}}-i\sin \theta {\frac {\partial }{\partial x}}$.

См. также

• Измерение в квантовой механике
• ПОВМ
• НИЦ-ПОВМ
• Кбизм