НИЦ-ПОВМ

В контексте квантовой механики и квантовой теории информации симметричные , информационно полные, положительные операторно-значные меры (SIC - POVM ) представляют собой особый тип обобщенного измерения (POVM) . SIC-POVM особенно примечательны благодаря своим определяющим характеристикам: (1) информационная полнота; (2) иметь минимальное количество исходов, совместимых с информационной полнотой, и (3) быть высокосимметричными. В этом контексте информационная полнота является свойством POVM, позволяющим полностью восстанавливать входные состояния по данным измерений.

Свойства SIC-POVM делают их интересным кандидатом на «стандартные квантовые измерения», используемые при изучении основ квантовой механики, особенно в QBism. ^{[ нужна ссылка ]}. SIC-POVM имеют несколько применений в контексте томографии квантового состояния. ^[1] и квантовая криптография , ^[2] и возможная связь была обнаружена с двенадцатой проблемой Гильберта . ^[3]

Определение [ править ]

Нерешенная задача по математике :

Существуют ли SIC-POVM во всех измерениях?

(еще нерешенные задачи по математике)

POVM над $d$ -мерное гильбертово пространство ${\mathcal {H}}$ представляет собой набор $m$ положительно-полуопределенные операторы $\left\{F_{i}\right\}_{i=1}^{m}$ эта сумма равна тождеству :

\sum _{i=1}^{m}F_{i}=I.

Если POVM состоит как минимум из $d^{2}$ операторы, охватывающие пространство самосопряженных операторов ${\mathcal {L}}({\mathcal {H}})$ говорят, что это информационно полная POVM (IC-POVM). IC-POVM, состоящие ровно из $d^{2}$ элементы называются минимальными. Набор $d^{2}$ ранга -1 проекторы $\left\{\Pi _{i}\right\}_{i=1}^{d^{2}}$ которые имеют равные попарные скалярные произведения Гильберта–Шмидта ,

\mathrm {Tr} \left(\Pi _{i}\Pi _{j}\right)={\frac {d\delta _{ij}+1}{d+1}},

определяет минимальный IC-POVM с элементами

F_{i}={\frac {1}{d}}\Pi _{i}

называется SIC-POVM.

Свойства [ править ]

Симметрия [ править ]

Рассмотрим произвольный набор проекторов ранга 1. $(\Pi _{i})_{i=1}^{d^{2}}$ такой, что $F_{i}=\Pi _{i}/d$ является POVM, и, следовательно, ${\frac {1}{d}}\sum _{i}\Pi _{i}=I$ . Попросив проекторы иметь равные попарные внутренние произведения, $\mathrm {Tr} (\Pi _{i}\Pi _{j})=c$ для всех $i\neq j$ , фиксирует значение $c$ . Чтобы увидеть это, заметьте, что

{\begin{aligned}d&=\mathrm {Tr} (I^{2})\\&={\frac {1}{d^{2}}}\sum _{i,j}\mathrm {Tr} (\Pi _{i}\Pi _{j})\\&={\frac {1}{d^{2}}}\left(d^{2}+cd^{2}(d^{2}-1)\right)\end{aligned}}

подразумевает, что

c={\frac {1}{d+1}}

. Таким образом,

\mathrm {Tr} \left(\Pi _{i}\Pi _{j}\right)={\frac {d\delta _{ij}+1}{d+1}}.

Именно это свойство делает SIC-POVM симметричными ; относительно скалярного произведения Гильберта – Шмидта любая пара элементов эквивалентна любой другой паре.

Супероператор [ править ]

Используя элементы SIC-POVM, можно построить интересный супероператор, подобный которому ${\mathcal {L}}({\mathcal {H}})\rightarrow {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})$ . Этот оператор наиболее полезен при рассмотрении связи SIC-POVM со сферическими t-образными конструкциями . Рассмотрите карту

{\begin{aligned}{\mathcal {G}}:{\mathcal {L}}({\mathcal {H}})&\rightarrow {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})\\A&\mapsto \displaystyle \sum _{\alpha }|\psi _{\alpha }\rangle \langle \psi _{\alpha }|A|\psi _{\alpha }\rangle \langle \psi _{\alpha }|\end{aligned}}

Этот оператор действует на элемент SIC-POVM способом, очень похожим на идентификатор, в том смысле, что

{\begin{aligned}{\mathcal {G}}(\Pi _{\beta })&=\displaystyle \sum _{\alpha }\Pi _{\alpha }\left|\langle \psi _{\alpha }|\psi _{\beta }\rangle \right|^{2}\\&=\displaystyle \Pi _{\beta }+{\frac {1}{d+1}}\sum _{\alpha \neq \beta }\Pi _{\alpha }\\&=\displaystyle {\frac {d}{d+1}}\Pi _{\beta }+{\frac {1}{d+1}}\Pi _{\beta }+{\frac {1}{d+1}}\sum _{\alpha \neq \beta }\Pi _{\alpha }\\&=\displaystyle {\frac {d}{d+1}}\Pi _{\beta }+{\frac {d}{d+1}}\sum _{\alpha }{\frac {1}{d}}\Pi _{\alpha }\\&=\displaystyle {\frac {d}{d+1}}\left(\Pi _{\beta }+I\right)\end{aligned}}

Но поскольку элементы SIC-POVM могут полностью и однозначно определять любое квантовое состояние, этот линейный оператор можно применить к разложению любого состояния, что дает возможность записать следующее:

G={\frac {d}{d+1}}\left({\mathcal {I}}+I\right)

где

I(A)=A{\text{ and }}{\mathcal {I}}(A)=\mathrm {Tr} (A)I

Отсюда левую обратную величину можно вычислить ^[4] быть $G^{-1}={\frac {1}{d}}\left[\left(d+1\right)I-{\mathcal {I}}\right]$ , и так со знанием того, что

I=G^{-1}G={\frac {1}{d}}\sum _{\alpha }\left[(d+1)\Pi _{\alpha }\odot \Pi _{\alpha }-I\odot \Pi _{\alpha }\right]

,

выражение состояния $\rho$ может быть создано с точки зрения распределения квазивероятностей следующим образом:

{\begin{aligned}\rho =I|\rho )&=\displaystyle \sum _{\alpha }\left[(d+1)\Pi _{\alpha }-I\right]{\frac {(\Pi _{\alpha }|\rho )}{d}}\\&=\displaystyle \sum _{\alpha }\left[(d+1)\Pi _{\alpha }-I\right]{\frac {\mathrm {Tr} (\Pi _{\alpha }\rho )}{d}}\\&=\displaystyle \sum _{\alpha }p_{\alpha }\left[(d+1)\Pi _{\alpha }-I\right]\quad {\text{ where }}p_{\alpha }=\mathrm {Tr} (\Pi _{\alpha }\rho )/d\\&=\displaystyle -I+(d+1)\sum _{\alpha }p_{\alpha }|\psi _{\alpha }\rangle \langle \psi _{\alpha }|\\&=\displaystyle \sum _{\alpha }\left[(d+1)p_{\alpha }-{\frac {1}{d}}\right]|\psi _{\alpha }\rangle \langle \psi _{\alpha }|\end{aligned}}

где $|\rho )$ — обозначение Дирака для оператора плотности, рассматриваемого в гильбертовом пространстве. ${\mathcal {L}}({\mathcal {H}})$ . Это показывает, что соответствующее распределение квазивероятностей (названное так, потому что оно может давать отрицательные результаты) представляет состояние $\rho$ дается

(d+1)p_{\alpha }-{\frac {1}{d}}

Поиск наборов SIC [ править ]

Простейший пример [ править ]

Для $d=2$ уравнения, определяющие SIC-POVM, можно решить вручную, получив векторы

{\begin{aligned}|\psi _{1}\rangle &=|0\rangle \\|\psi _{2}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {3}}}|0\rangle +{\sqrt {\frac {2}{3}}}|1\rangle \\|\psi _{3}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {3}}}|0\rangle +{\sqrt {\frac {2}{3}}}e^{i{\frac {2\pi }{3}}}|1\rangle \\|\psi _{4}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {3}}}|0\rangle +{\sqrt {\frac {2}{3}}}e^{i{\frac {4\pi }{3}}}|1\rangle ,\end{aligned}}

которые образуют вершины правильного тетраэдра в сфере Блоха . Проекторы, определяющие SIC-POVM, имеют вид $\Pi _{i}=|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|$ , и элементы SIC-POVM, таким образом, $F_{i}=\Pi _{i}/2=|\psi _{i}\rangle \!\langle \psi _{i}|/2$ .

Для более высоких измерений это невозможно, что требует использования более сложного подхода.

Групповая ковариация [ править ]

Общая ковариация групповая

НИЦ-ПОВМ $P$ называется групповой ковариантной, если существует группа $G$ с $d^{2}$ -мерное унитарное представление такое, что

$\forall |\psi \rangle \langle \psi |\in P,\quad \forall U_{g}\in G,\quad U_{g}|\psi \rangle \in P$
$\forall |\psi \rangle \langle \psi |,|\phi \rangle \langle \phi |\in P,\quad \exists U_{g}\in G,\quad U_{g}|\phi \rangle =|\psi \rangle$

Поиск SIC-POVM можно значительно упростить, используя свойство групповой ковариантности. Действительно, задача сводится к нахождению нормированного опорного вектора $|\phi \rangle$ такой, что

|\langle \phi |U_{g}|\phi \rangle |^{2}={\frac {1}{d+1}}\ \forall g\neq id

.

Тогда SIC-POVM представляет собой набор созданный групповым действием , $U_{g}$ на $|\phi \rangle$ .

Случай Z _d × Z _d [ править ]

До сих пор большинство SIC-POVM были найдены путем рассмотрения групповой ковариации при $\mathbb {Z} _{d}\times \mathbb {Z} _{d}$ . ^[5] Чтобы построить унитарное представление, мы отображаем $\mathbb {Z} _{d}\times \mathbb {Z} _{d}$ к $U(d)$ , группа унитарных операторов в d-мерностях. Сначала необходимо ввести несколько операторов. Позволять $|e_{i}\rangle$ быть основой для ${\mathcal {H}}$ , то оператор фазовый

T|e_{i}\rangle =\omega ^{i}|e_{i}\rangle

где

\omega =e^{\frac {2\pi i}{d}}

является корнем единства

и оператор сдвига как

S|e_{i}\rangle =|e_{i+1{\pmod {d}}}\rangle

Объединение этих двух операторов дает оператор Вейля $W(p,q)=S^{p}T^{q}$ порождающее группу Гейзенберга-Вейля. Это унитарный оператор, поскольку

{\begin{aligned}W(p,q)W^{\dagger }(p,q)&=S^{p}T^{q}T^{-q}S^{-p}\\&=Id\end{aligned}}

Можно проверить, что отображение $(p,q)\in \mathbb {Z} _{d}\times \mathbb {Z} _{d}\rightarrow W(p,q)$ является проективным унитарным представлением. Он также удовлетворяет всем свойствам групповой ковариации: ^[6] и полезен для численного расчета наборов SIC.

Гипотеза Заунера [ править ]

Учитывая некоторые полезные свойства SIC-POVM, было бы полезно, если бы было точно известно, можно ли построить такие множества в гильбертовом пространстве произвольной размерности. Первоначально предложенный в диссертации Заунера, ^[7] выдвинута гипотеза о существовании фидуциального вектора для произвольных размерностей.

Более конкретно,

Для каждого измерения $d\geq 2$ существует SIC-POVM, элементы которого являются орбитой положительного оператора первого ранга $E_{0}$ под группой Вейля – Гейзенберга $H_{d}$ . Более того, $E_{0}$ коммутирует с элементом T группы Якоби $J_{d}=H_{d}\rtimes SL(2,\mathbb {Z} _{d})$ . Действие Т на $H_{d}$ по модулю центр имеет порядок три.

Используя понятие групповой ковариации на $\mathbb {Z} _{d}\times \mathbb {Z} _{d}$ , это можно переформулировать как ^[8]

Для любого размера $d\in \mathbb {N}$ , позволять $\left\{k\right\}_{k=0}^{d-1}$ быть ортонормированным базисом для $\mathbb {C} ^{d}$ и определить
$\displaystyle \omega =e^{\frac {2\pi i}{d}},\quad \quad D_{j,k}=\omega ^{\frac {jk}{2}}\sum _{m=0}^{d-1}\omega ^{jm}|k+m{\pmod {d}}\rangle \langle m|$
Затем $\exists |\phi \rangle \in \mathbb {C} ^{d}$ такой, что набор $\left\{D_{j,k}|\phi \rangle \right\}_{j,k=1}^{d}$ является SIC-POVM.

Частичные результаты [ править ]

Доказательство существования SIC-POVM для произвольных размеров остается открытым вопросом. ^[6] но это постоянная область исследований в сообществе квантовой информации.

Точные выражения для множеств SIC были найдены для гильбертовых пространств всех размерностей из $d=2$ через $d=53$ включительно, а в некоторых более высоких измерениях вплоть до $d=5779$ , для 115 значений $d$ всего. ^[а] Кроме того, используя ковариацию группы Гейзенберга на $\mathbb {Z} _{d}\times \mathbb {Z} _{d}$ численные решения были найдены для всех целых чисел до $d=193$ , а в некоторых больших размерах до $d=2208$ . ^[б]

Связь со сферическими Т образными - конструкциями

Сферическая Т-образная конструкция представляет собой набор векторов $S=\left\{|\phi _{k}\rangle :|\phi _{k}\rangle \in \mathbb {S} ^{d}\right\}$ на d-мерной обобщенной гиперсфере , такой, что среднее значение любого $t^{th}$ полином -порядка $f_{t}(\psi )$ над $S$ равно среднему значению $f_{t}(\psi )$ по всем нормализованным векторам $|\psi \rangle$ . Определение ${\mathcal {H}}_{t}=\displaystyle \bigotimes _{i=1}^{t}{\mathcal {H}}$ как t-кратное тензорное произведение гильбертовых пространств и

S_{t}=\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|\Phi _{k}^{t}\rangle \langle \Phi _{k}^{t}|,\quad |\Phi _{k}^{t}\rangle =|\phi _{k}\rangle ^{\otimes t}

t-кратного тензорного произведения как оператор фрейма , можно показать, что ^[8] набор нормализованных векторов $\left\{|\phi _{k}\rangle \in \mathbb {S} ^{d}\right\}_{k=1}^{n}$ с $n\geq {t+d-1 \choose d-1}$ образует сферическую Т-образную конструкцию тогда и только тогда, когда

\displaystyle \mathrm {Tr} \left[S_{t}^{2}\right]=\sum _{j,k}\left|\langle \phi _{j}|\phi _{k}\rangle \right|^{2t}={\frac {n^{2}t!(d-1)!}{(t+d-1)!}}

Отсюда сразу следует, что каждая SIC-POVM является 2-проектной, поскольку

\mathrm {Tr} (S_{2}^{2})=\displaystyle \sum _{j,k}|\langle \phi _{j}|\phi _{k}\rangle |^{4}={\frac {2d^{3}}{d+1}}

что и является необходимым значением, удовлетворяющим приведенной выше теореме.

Связь с MUB [ править ]

В d -мерном гильбертовом пространстве два различных базиса $\left\{|\psi _{i}\rangle \right\},\left\{|\phi _{j}\rangle \right\}$ называются взаимно несмещенными, если

\displaystyle |\langle \psi _{i}|\phi _{j}\rangle |^{2}={\frac {1}{d}},\quad \forall i,j

По своей природе это похоже на симметричное свойство SIC-POVM. Вуттерс отмечает, что полный набор $d+1$ несмещенные базисы дают геометрическую структуру, известную как конечная проективная плоскость , в то время как SIC-POVM (в любом измерении, имеющем степень простого числа ) дает конечную аффинную плоскость , тип структуры, определение которой идентично определению конечной проективной плоскости с роли точек и линий поменялись местами. В этом смысле проблемы SIC-POVM и взаимно несмещенных баз двойственны друг другу. ^[17]

В измерении $d=3$ , аналогию можно продолжить: полный набор взаимно несмещенных базисов можно построить непосредственно из SIC-POVM. ^[18] 9 векторов SIC-POVM вместе с 12 векторами взаимно несмещенных оснований образуют набор, который можно использовать в доказательстве Кохена – Спекера . ^[19] Однако в 6-мерном гильбертовом пространстве известен SIC-POVM, но полный набор взаимно несмещенных базисов еще не обнаружен, и широко распространено мнение, что такого набора не существует. ^[20]^[21]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Подробности этих точных решений можно найти в литературе. ^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]^[12]^[13]^[14]
^ Как и точные решения, численные решения на протяжении многих лет представлялись в ряде публикаций разных авторов. ^[8]^[10]^[15]^[16]^[5]^[14]

Ссылки [ править ]

^ Кейвс, Карлтон М .; Фукс, Кристофер А.; Шак, Рюдигер (сентябрь 2002 г.). «Неизвестные квантовые состояния: квантовое представление де Финетти». Журнал математической физики . 43 (9): 4537–4559. arXiv : Quant-ph/0104088 . Бибкод : 2002JMP....43.4537C . дои : 10.1063/1.1494475 . ISSN 0022-2488 . S2CID 17416262 .
^ Фукс, Калифорния; Сасаки, М. (2003). «Сжатие квантовой информации через классический канал: измерение« квантовости »набора квантовых состояний». Квант. Информация. Комп . 3 : 377–404. arXiv : Quant-ph/0302092 . Бибкод : 2003quant.ph..2092F .
^ Эпплби, Маркус; Фламмия, Стивен; МакКоннелл, Гэри; Ярд, Джон (24 апреля 2017 г.). «SIC и алгебраическая теория чисел». Основы физики . 47 (8): 1042–1059. arXiv : 1701.05200 . Бибкод : 2017FoPh...47.1042A . дои : 10.1007/s10701-017-0090-7 . ISSN 0015-9018 . S2CID 119334103 .
^ CM Caves (1999); http://info.phys.unm.edu/~caves/reports/infopovm.pdf
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Фукс, Кристофер А.; Хоанг, Майкл С.; Стейси, Блейк К. (22 марта 2017 г.). «Вопрос SIC: история и состояние дел» . Аксиомы . 6 (4): 21. arXiv : 1703.07901 . дои : 10.3390/axioms6030021 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Эпплби, DM (2005). «SIC-POVM и расширенная группа Клиффорда». Журнал математической физики . 46 (5): 052107. arXiv : quant-ph/0412001 . Бибкод : 2005JMP....46e2107A . дои : 10.1063/1.1896384 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Заунер Г. «Квантовые проекты – основы некоммутативной теории дизайна». Диссертация, Венский университет, 1999. http://www.gerhardzauner.at/documents/gz-quantendesigns.pdf.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Ренес, Джозеф М.; Блюм-Когоут, Робин; Скотт, Эй Джей; Пещеры, Карлтон М. (2004). «Симметричные информационно полные квантовые измерения». Журнал математической физики . 45 (6): 2171. arXiv : quant-ph/0310075 . Бибкод : 2004JMP....45.2171R . дои : 10.1063/1.1737053 . S2CID 17371881 .
^ А. Колдобский и Х. Кениг, «Аспекты изометрической теории банаховых пространств», в Справочнике по геометрии банаховых пространств, Vol. 1, под редакцией У. Б. Джонсона и Дж. Линденштрауса (Северная Голландия, Дордрехт, 2001), стр. 899–939.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Скотт, Эй Джей; Грассль, М. (2010). «SIC-POVM: новое компьютерное исследование». Журнал математической физики . 51 (4): 042203. arXiv : 0910.5784 . Бибкод : 2010JMP....51d2203S . дои : 10.1063/1.3374022 . S2CID 115159554 .
^ Т.Я. Чиен. ``Равноугольные линии, проективная симметрия и красивые рамки ошибок. Кандидатская диссертация Оклендского университета (2015 г.); https://www.math.auckland.ac.nz/~waldron/Tuan/Thesis.pdf
^ «Точные реперные векторы SIC» . Университет Сиднея . Проверено 7 марта 2018 г.
^ Эпплби, Маркус; Чиен, Туан-Йоу; Фламмия, Стивен; Уолдрон, Шейн (2018). «Построение точных симметричных информационно полных измерений на основе численных решений». Физический журнал A: Математический и теоретический . 51 (16): 165302. arXiv : 1703.05981 . Бибкод : 2018JPhA...51p5302A . дои : 10.1088/1751-8121/aab4cd . S2CID 119736328 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Стейси, Блейк С. (2021). Первый курс спорадических СИЦ . Чам, Швейцария: Springer. п. 6. ISBN 978-3-030-76104-2 . OCLC 1253477267 .
^ Фукс, Кристофер А.; Стейси, Блейк К. (21 декабря 2016 г.). «Кбизм: квантовая теория как справочник героя». arXiv : 1612.07308 [ квант-ph ].
^ Скотт, Эй Джей (11 марта 2017 г.). «НИЦ: расширение списка решений». arXiv : 1703.03993 [ квант-ph ].
^ Вуттерс, Уильям К. (2004). «Квантовые измерения и конечная геометрия». arXiv : Quant-ph/0406032 .
^ Стейси, Блейк С. (2016). «SIC-POVM и совместимость квантовых состояний» . Математика . 4 (2): 36. arXiv : 1404.3774 . дои : 10.3390/math4020036 .
^ Бенгтссон, Ингемар; Бланчфилд, Кейт; Кабельо, Адан (2012). «Неравенство Кохена – Спекера из SIC». Буквы по физике А. 376 (4): 374–376. arXiv : 1109.6514 . Бибкод : 2012PhLA..376..374B . дои : 10.1016/j.physleta.2011.12.011 . S2CID 55755390 .
^ Грассль, Маркус (2004). «О SIC-POVM и MUB в измерении 6». arXiv : Quant-ph/0406175 .
^ Бенгтссон, Ингемар; Жичковский, Кароль (2017). Геометрия квантовых состояний: введение в квантовую запутанность (второе изд.). Кембридж, Соединенное Королевство: Издательство Кембриджского университета . стр. 313–354. ISBN 9781107026254 . OCLC 967938939 .

[15] Подробности этих точных решений можно найти в литературе. ^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]^[12]^[13]^[14]

[18] Как и точные решения, численные решения на протяжении многих лет представлялись в ряде публикаций разных авторов. ^[8]^[10]^[15]^[16]^[5]^[14]

[1] Кейвс, Карлтон М .; Фукс, Кристофер А.; Шак, Рюдигер (сентябрь 2002 г.). «Неизвестные квантовые состояния: квантовое представление де Финетти». Журнал математической физики . 43 (9): 4537–4559. arXiv : Quant-ph/0104088 . Бибкод : 2002JMP....43.4537C . дои : 10.1063/1.1494475 . ISSN 0022-2488 . S2CID 17416262 .

[2] Фукс, Калифорния; Сасаки, М. (2003). «Сжатие квантовой информации через классический канал: измерение« квантовости »набора квантовых состояний». Квант. Информация. Комп . 3 : 377–404. arXiv : Quant-ph/0302092 . Бибкод : 2003quant.ph..2092F .

[3] Эпплби, Маркус; Фламмия, Стивен; МакКоннелл, Гэри; Ярд, Джон (24 апреля 2017 г.). «SIC и алгебраическая теория чисел». Основы физики . 47 (8): 1042–1059. arXiv : 1701.05200 . Бибкод : 2017FoPh...47.1042A . дои : 10.1007/s10701-017-0090-7 . ISSN 0015-9018 . S2CID 119334103 .

[4] CM Caves (1999); http://info.phys.unm.edu/~caves/reports/infopovm.pdf

[history2017-5] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Фукс, Кристофер А.; Хоанг, Майкл С.; Стейси, Блейк К. (22 марта 2017 г.). «Вопрос SIC: история и состояние дел» . Аксиомы . 6 (4): 21. arXiv : 1703.07901 . дои : 10.3390/axioms6030021 .

[Appleby2004-6] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Эпплби, DM (2005). «SIC-POVM и расширенная группа Клиффорда». Журнал математической физики . 46 (5): 052107. arXiv : quant-ph/0412001 . Бибкод : 2005JMP....46e2107A . дои : 10.1063/1.1896384 .

[Zauner1999-7] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Заунер Г. «Квантовые проекты – основы некоммутативной теории дизайна». Диссертация, Венский университет, 1999. http://www.gerhardzauner.at/documents/gz-quantendesigns.pdf.

[Renes2004-8] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Ренес, Джозеф М.; Блюм-Когоут, Робин; Скотт, Эй Джей; Пещеры, Карлтон М. (2004). «Симметричные информационно полные квантовые измерения». Журнал математической физики . 45 (6): 2171. arXiv : quant-ph/0310075 . Бибкод : 2004JMP....45.2171R . дои : 10.1063/1.1737053 . S2CID 17371881 .

[9] А. Колдобский и Х. Кениг, «Аспекты изометрической теории банаховых пространств», в Справочнике по геометрии банаховых пространств, Vol. 1, под редакцией У. Б. Джонсона и Дж. Линденштрауса (Северная Голландия, Дордрехт, 2001), стр. 899–939.

[ScottGrassl-10] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Скотт, Эй Джей; Грассль, М. (2010). «SIC-POVM: новое компьютерное исследование». Журнал математической физики . 51 (4): 042203. arXiv : 0910.5784 . Бибкод : 2010JMP....51d2203S . дои : 10.1063/1.3374022 . S2CID 115159554 .

[11] Т.Я. Чиен. ``Равноугольные линии, проективная симметрия и красивые рамки ошибок. Кандидатская диссертация Оклендского университета (2015 г.); https://www.math.auckland.ac.nz/~waldron/Tuan/Thesis.pdf

[12] «Точные реперные векторы SIC» . Университет Сиднея . Проверено 7 марта 2018 г.

[13] Эпплби, Маркус; Чиен, Туан-Йоу; Фламмия, Стивен; Уолдрон, Шейн (2018). «Построение точных симметричных информационно полных измерений на основе численных решений». Физический журнал A: Математический и теоретический . 51 (16): 165302. arXiv : 1703.05981 . Бибкод : 2018JPhA...51p5302A . дои : 10.1088/1751-8121/aab4cd . S2CID 119736328 .

[Stacey2021-14] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Стейси, Блейк С. (2021). Первый курс спорадических СИЦ . Чам, Швейцария: Springer. п. 6. ISBN 978-3-030-76104-2 . OCLC 1253477267 .

[16] Фукс, Кристофер А.; Стейси, Блейк К. (21 декабря 2016 г.). «Кбизм: квантовая теория как справочник героя». arXiv : 1612.07308 [ квант-ph ].

[17] Скотт, Эй Джей (11 марта 2017 г.). «НИЦ: расширение списка решений». arXiv : 1703.03993 [ квант-ph ].

[19] Вуттерс, Уильям К. (2004). «Квантовые измерения и конечная геометрия». arXiv : Quant-ph/0406032 .

[20] Стейси, Блейк С. (2016). «SIC-POVM и совместимость квантовых состояний» . Математика . 4 (2): 36. arXiv : 1404.3774 . дои : 10.3390/math4020036 .

[21] Бенгтссон, Ингемар; Бланчфилд, Кейт; Кабельо, Адан (2012). «Неравенство Кохена – Спекера из SIC». Буквы по физике А. 376 (4): 374–376. arXiv : 1109.6514 . Бибкод : 2012PhLA..376..374B . дои : 10.1016/j.physleta.2011.12.011 . S2CID 55755390 .

[22] Грассль, Маркус (2004). «О SIC-POVM и MUB в измерении 6». arXiv : Quant-ph/0406175 .

[23] Бенгтссон, Ингемар; Жичковский, Кароль (2017). Геометрия квантовых состояний: введение в квантовую запутанность (второе изд.). Кембридж, Соединенное Королевство: Издательство Кембриджского университета . стр. 313–354. ISBN 9781107026254 . OCLC 967938939 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[а]

[б]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]