Фрейм (линейная алгебра)

Эта статья посвящена обобщению базисов на линейно зависимые множества векторов. Чтобы узнать о других значениях слова «фрейм» в математике, см. « Фрейм (значения) § Математика и физика» .

В линейной алгебре фрейм линейно пространства внутреннего произведения является обобщением базиса векторного пространства на множества, которые могут быть зависимыми . В терминологии обработки сигналов кадр обеспечивает избыточный, стабильный способ представления сигнала . Фреймы используются при обнаружении и исправлении ошибок , проектировании и анализе наборов фильтров и, в более общем плане, в прикладной математике , информатике и технике .

История

Из-за различных математических компонентов, окружающих фреймы, теория фреймов имеет корни в гармоническом и функциональном анализе , теории операторов , линейной алгебре и теории матриц .

Преобразование Фурье используется уже более века как способ разложения и расширения сигналов. Однако преобразование Фурье маскирует ключевую информацию о моменте излучения и продолжительности сигнала. В 1946 году Деннис Габор смог решить эту проблему, используя метод, который одновременно уменьшал шум, обеспечивал отказоустойчивость и создавал квантование , одновременно инкапсулируя важные характеристики сигнала. Это открытие ознаменовало первую согласованную попытку создать теорию фреймов.

Условие репера было впервые описано Ричардом Даффином и Альбертом Чарльзом Шеффером в статье 1952 года о негармонических рядах Фурье как способ вычисления коэффициентов в линейной комбинации векторов линейно зависимого остовного множества (в их терминологии это « гильбертово пространство »). рамка"). В 1980-х годах Стефан Малла , Ингрид Добеши и Ив Мейер использовали кадры для анализа вейвлетов . Сегодня кадры связаны с вейвлетами, обработкой сигналов и изображений , а также сжатием данных .

и

Мотивирующий пример: вычисление базиса из линейно зависимого множества

Предположим, у нас есть векторное пространство $V$ над полем $F$ и мы хотим выразить произвольный элемент $\mathbf {v} \in V$ как линейная комбинация векторов $\{\mathbf {e} _{k}\}\in V$, то есть нахождение коэффициентов $\{c_{k}\}\in F$ такой, что

$\mathbf {v} =\sum _{k}c_{k}\mathbf {e} _{k}.$

Если набор $\{\mathbf {e} _{k}\}$ не охватывает $V$, то такие коэффициенты не существуют для каждого такого $\mathbf {v}$. Если $\{\mathbf {e} _{k}\}$ пролеты $V$ а также линейно независимо , это множество основу образует $V$, а коэффициенты $c_{k}$ однозначно определяются $\mathbf {v}$. Если, однако, $\{\mathbf {e} _{k}\}$ пролеты $V$ но не является линейно независимым, вопрос о том, как определить коэффициенты, становится менее очевидным, в частности, если $V$ имеет бесконечную размерность.

При условии $\{\mathbf {e} _{k}\}$ пролеты $V$и является линейно зависимым, одна из стратегий состоит в том, чтобы удалять векторы из набора до тех пор, пока он не станет линейно независимым и не образует базис. Есть некоторые проблемы с этим планом:

1. Удаление произвольных векторов из набора может привести к тому, что он не сможет охватывать $V$ прежде чем он станет линейно независимым.
2. Даже если можно придумать особый способ удаления векторов из множества до тех пор, пока оно не станет базисом, этот подход может оказаться неосуществимым на практике, если множество велико или бесконечно.
3. В некоторых приложениях может оказаться полезным использовать больше векторов, чем необходимо для представления. $\mathbf {v}$. Это означает, что мы хотим найти коэффициенты $c_{k}$ без удаления элементов в $\{\mathbf {e} _{k}\}$. Коэффициенты $c_{k}$ больше не будет однозначно определяться $\mathbf {v}$. Следовательно, вектор $\mathbf {v}$ можно представить в виде линейной комбинации $\{\mathbf {e} _{k}\}$ более чем одним способом.

Определение

Позволять $V$ быть внутренним пространством продукта и $\{\mathbf {e} _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ быть набором векторов в $V$. Набор $\{\mathbf {e} _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ представляет рамку собой $V$если он удовлетворяет так называемому условию кадра . То есть, если существуют две константы $0<A\leq B<\infty$ такой, что

$A\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}\leq \sum _{k\in \mathbb {N} }\left|\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \right|^{2}\leq B\left\|\mathbf {v} \right\|^{2},\quad \forall \mathbf {v} \in V.$

Фрейм называется сверхполным (или избыточным ), если он не является базисом Рисса векторного пространства. Избыточность кадра измеряется нижней и верхней границей кадра (или коэффициентами избыточности ). $A$ и $B$, соответственно. То есть кадр из $K\geq N$ нормализованные векторы $\|\mathbf {e} _{k}\|=1$ в $N$-мерное пространство $V$ имеет границы кадра, которые удовлетворяют

$0<A\leq {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{K}|\langle \mathbf {e} _{k},\mathbf {e} _{k}\rangle |^{2}={\frac {K}{N}}\leq B<\infty .$

Если фрейм является базисом Рисса и, следовательно, линейно независим , то $A\leq 1\leq B$.

Границы кадра не уникальны, поскольку числа меньше $A$ и больше, чем $B$также являются допустимыми границами кадра. Оптимальная нижняя граница — это верхняя грань всех нижних границ, а оптимальная верхняя граница — нижняя грань всех верхних границ.

Оператор анализа

Если условие кадра удовлетворено, то линейный оператор, определяемый как

$\mathbf {T} :V\to \ell ^{2},\quad \mathbf {v} \mapsto \mathbf {T} \mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e_{k}} \rangle ,$

картографирование $\mathbf {v} \in V$ к последовательности коэффициентов кадра $c_{k}=\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e_{k}} \rangle$, называется оператором анализа . Используя это определение, условие кадра можно переписать как

$A\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}\leq \left\|\mathbf {T} \mathbf {v} \right\|^{2}=\sum _{k}\left|\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \right|^{2}\leq B\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}.$

Оператор синтеза

Сопряженный к оператору анализа называется оператором синтеза системы отсчета и определяется как

$\mathbf {T} ^{*}:\ell ^{2}\to V,\quad \{c_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }\mapsto \sum _{k}c_{k}\mathbf {e} _{k}.$

Оператор фрейма

Композиция оператора анализа и оператора синтеза приводит к оператору кадра, определяемому как

$\mathbf {S} :V\rightarrow V,\quad \mathbf {v} \mapsto \mathbf {S} \mathbf {v} =\mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} \mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}.$

Из этого определения и линейности первого аргумента внутреннего продукта условие кадра теперь дает

$A\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}\leq \left\|\mathbf {T} \mathbf {v} \right\|^{2}=\langle \mathbf {S} \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \leq B\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}.$

Если существует оператор анализа, то существует и оператор кадра. $\mathbf {S}$ а также обратное $\mathbf {S} ^{-1}$. Оба $\mathbf {S}$ и $\mathbf {S} ^{-1}$ являются положительно определенными ограниченными самосопряженными операторами , что приводит к $A$ и $B$ являющиеся нижним и верхним спектра значениями $\mathbf {S}$. В конечных измерениях оператор фрейма автоматически является трассировочным , с $A$ и $B$ соответствующие наименьшему и наибольшему собственным значениям $\mathbf {S}$ или, что то же самое, наименьшее и наибольшее сингулярные значения $\mathbf {T}$.

Отношение к базам

Условие кадра — это обобщение тождества Парсеваля , которое поддерживает нормальную эквивалентность между сигналами в $V$ и его последовательность коэффициентов в $\ell ^{2}$.

Если набор $\{\mathbf {e} _{k}\}$ представляет собой рамку $V$, он охватывает $V$. В противном случае существовал бы хотя бы один ненулевой $\mathbf {v} \in V$ который был бы ортогонален всем $\mathbf {e} _{k}$ такой, что

$A\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}\leq 0\leq B\left\|\mathbf {v} \right\|^{2};$

либо нарушая условие кадра, либо предположение, что $\mathbf {v} \neq 0$.

Однако охватывающий набор $V$не обязательно является рамкой. Например, рассмотрим $V=\mathbb {R} ^{2}$ со скалярным произведением и бесконечным множеством $\{\mathbf {e} _{k}\}$ данный

$\left\{(1,0),\,(0,1),\,\left(0,{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right),\,\left(0,{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\right),\dotsc \right\}.$

Этот набор охватывает $V$ но с тех пор

$\sum _{k}\left|\langle \mathbf {e} _{k},(0,1)\rangle \right|^{2}=0+1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\dotsb =\infty ,$

мы не можем выбрать конечную верхнюю границу B . Следовательно, набор $\{\mathbf {e} _{k}\}$ это не рамка.

Двойные кадры

Позволять $\{\mathbf {e} _{k}\}$быть рамкой; удовлетворяющее условию кадра. Тогда двойственный оператор определяется как

${\widetilde {\mathbf {T} }}\mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\rangle ,$

с

${\tilde {\mathbf {e} }}_{k}=(\mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} )^{-1}\mathbf {e} _{k}=\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {e} _{k},$

называется двойной системой отсчета (или сопряженной системой отсчета ). Это канонический двойник $\{\mathbf {e} _{k}\}$ (аналогично двойственному базису ), обладая тем свойством, что

$\mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {\tilde {e}} _{k}=\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {\tilde {e}} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k},$

и последующее состояние кадра

${\frac {1}{B}}\|\mathbf {v} \|^{2}\leq \sum _{k}|\langle \mathbf {v} ,{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\rangle |^{2}=\langle \mathbf {T} \mathbf {S} ^{-1}\mathbf {v} ,\mathbf {T} \mathbf {S} ^{-1}\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {S} ^{-1}\mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \leq {\frac {1}{A}}\|\mathbf {v} \|^{2},\quad \forall \mathbf {v} \in V.$

Каноническая двойственность — это отношение взаимности, т. е. если фрейм $\{\mathbf {\tilde {e}} _{k}\}$ является каноническим двойником $\{\mathbf {e} _{k}\},$ затем рамка $\{\mathbf {e} _{k}\}$ является каноническим двойником $\{\mathbf {\tilde {e}} _{k}\}.$ Чтобы увидеть, что это имеет смысл, позвольте $\mathbf {v}$ быть элементом $V$ и разреши

$\mathbf {u} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle {\tilde {\mathbf {e} }}_{k}.$

Таким образом

$\mathbf {u} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle (\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {e} _{k})=\mathbf {S} ^{-1}\left(\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}\right)=\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {S} \mathbf {v} =\mathbf {v} ,$

доказывая это

$\mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle {\tilde {\mathbf {e} }}_{k}.$

Альтернативно, пусть

$\mathbf {u} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\rangle \mathbf {e} _{k}.$

Применяя свойства $\mathbf {S}$ и его обратное тогда показывает, что

$\mathbf {u} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}=\sum _{k}\langle \mathbf {S} ^{-1}\mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}=\mathbf {S} (\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {v} )=\mathbf {v} ,$

и поэтому

$\mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\rangle \mathbf {e} _{k}.$

Слишком полный кадр $\{\mathbf {e} _{k}\}$ дает нам некоторую свободу в выборе коэффициентов $c_{k}\neq \langle \mathbf {v} ,{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\rangle$ такой, что ${\textstyle \mathbf {v} =\sum _{k}c_{k}\mathbf {e} _{k}}$. То есть существуют двойные кадры $\{\mathbf {g} _{k}\}\neq \{{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\}$ из $\{\mathbf {e} _{k}\}$ для которого

$\mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {g} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k},\quad \forall \mathbf {v} \in V.$

кадров

Предполагать $V$ является подпространством гильбертова пространства $H$ и разреши $\{\mathbf {e} _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ и $\{{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ быть рамкой и двойной рамкой $V$, соответственно. Если $\{\mathbf {e} _{k}\}$ не зависит от $f\in H$, двойной кадр вычисляется как

${\tilde {\mathbf {e} }}_{k}=(\mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} _{V})^{-1}\mathbf {e} _{k},$

где $\mathbf {T} _{V}$ означает ограничение $\mathbf {T}$ к $V$ такой, что $\mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} _{V}$ является обратимым на $V$. Наилучшее линейное приближение $f$ в $V$ тогда задается проекцией ортогональной $f\in H$ на $V$, определяется как

$P_{V}f=\sum _{k}\langle f,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {\tilde {e}} _{k}=\sum _{k}\langle f,\mathbf {\tilde {e}} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}.$

Оператор двойного синтеза кадров определяется как

$P_{V}f={\widetilde {\mathbf {T} }}^{*}\mathbf {T} f=(\mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} _{V})^{-1}\mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} f=\sum _{k}\langle f,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {\tilde {e}} _{k},$

и ортогональная проекция вычисляется из коэффициентов кадра $\langle f,\mathbf {e} _{k}\rangle$. В двойном анализе ортогональная проекция вычисляется по формуле $\{\mathbf {e} _{k}\}$ как

$P_{V}f=\mathbf {T} ^{*}{\widetilde {\mathbf {T} }}f=\sum _{k}\langle f,\mathbf {\tilde {e}} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}$

с оператором анализа двойного кадра $\{{\widetilde {\mathbf {T} }}f\}_{k}=\langle f,{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\rangle$.

Приложения и примеры

При обработке сигналов принято представлять сигналы в виде векторов в гильбертовом пространстве . В этой интерпретации вектор, выраженный как линейная комбинация векторов кадров, является избыточным сигналом. Представление сигнала строго набором линейно независимых векторов не всегда может быть самой компактной формой. Используя кадр, можно создать более простое и разреженное представление сигнала по сравнению с семейством элементарных сигналов. Таким образом, рамы обеспечивают «надежность». Поскольку они позволяют создавать один и тот же вектор в пространстве, сигналы можно кодировать различными способами. Это повышает отказоустойчивость и устойчивость к потере сигнала. Наконец, избыточность может использоваться для уменьшения шума , что важно для восстановления, улучшения и реконструкции сигналов.

Негармонический

Основная статья: ряд Фурье

Из гармонического анализа известно, что сложная тригонометрическая система ${\textstyle \{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{ikx}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$ образуют ортонормированный базис для ${\textstyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$. Как таковой, ${\textstyle \{e^{ikx}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$ представляет собой (жесткую) рамку для ${\textstyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$ с границами $A=B=2\pi$.

Система остается устойчивой при «достаточно малых» возмущениях. $\{\lambda _{k}-k\}$ и рама ${\textstyle \{e^{i\lambda _{k}x}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$ составит основу Рисса для ${\textstyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$. Соответственно, каждая функция $f$ в ${\textstyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$ будет иметь уникальное негармоническое представление ряда Фурье.

$f(x)=\sum _{k\in \mathbb {Z} }c_{k}e^{i\lambda _{k}x},$

с ${\textstyle \sum |c_{k}|^{2}<\infty }$ и ${\textstyle \{e^{i\lambda _{k}x}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$называется фреймом Фурье (или фреймом экспонент ). Что представляет собой «достаточно малый», описывает следующая теорема, названная в честь Михаила Кадца .

Кадека 1 ⁄ 4 -теорема — Пусть ${\textstyle \{\lambda _{k}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$ — последовательность действительных чисел такая, что

$|\lambda _{k}-k|\leq L<{\frac {1}{4}},\quad \forall k\in \mathbb {Z} ,$

затем ${\textstyle \{e^{i\lambda _{k}x}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$ удовлетворяет критерию Пэли-Винера и, таким образом, формирует базис Рисса для ${\textstyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$.

Теорему можно легко распространить на рамки, заменяя целые числа другой последовательностью действительных чисел. ${\textstyle \{\mu _{k}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$ такой, что

$|\lambda _{k}-\mu _{k}|\leq L<{\frac {1}{4}},\quad \forall k\in \mathbb {Z} ,\quad {\text{and}}\quad 1-\cos(\pi L)+\sin(\pi L)<{\sqrt {\frac {A}{B}}},$

затем ${\textstyle \{e^{i\lambda _{k}x}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$ представляет собой рамку для ${\textstyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$ с границами

$A(1-{\sqrt {\frac {B}{A}}}(1-\cos(\pi L)+\sin(\pi L)))^{2},\quad B(2-\cos(\pi L)+\sin(\pi L))^{2}.$

Рамочный проектор

Не путать с проекционной рамкой .

Избыточность кадра полезна для уменьшения дополнительного шума от коэффициентов кадра. Позволять $\mathbf {a} \in \ell ^{2}(\mathbb {N} )$обозначают вектор, вычисленный с использованием зашумленных коэффициентов кадра. Затем шум подавляется проецированием $\mathbf {a}$ на образ ​ ​ $\mathbf {T}$.

Теорема — Пусть $\{\mathbf {e} _{k}\}$быть фреймом гильбертова пространства его подпространства. Ортогональная проекция $P:\ell ^{2}\to \operatorname {im} (\mathbf {T} )$ является

$P\mathbf {a} _{k}=\mathbf {T} {\widetilde {\mathbf {T} }}^{*}\mathbf {a} =\mathbf {T} (\mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} )^{-1}\mathbf {T} ^{*}\mathbf {a} _{k}=\sum _{p}\mathbf {a} _{p}\langle {\tilde {\mathbf {e} }}_{p},\mathbf {e} _{k}\rangle .$

Коэффициенты $\mathbf {a} \in \ell ^{2}(\mathbb {N} )$ являются коэффициентами кадра $\mathbf {a} =\mathbf {T} f$ в $\operatorname {im} (\mathbf {T} )$ если и только если

$P\mathbf {a} _{k}=\mathbf {a} _{k}.$

The $\ell ^{2}$ пространство последовательности и $\operatorname {im} (\mathbf {T} )$ (как $\operatorname {im} (\mathbf {T} )\subseteq \ell ^{2}$) воспроизводят ядерные гильбертовые пространства с ядром, заданным матрицей $M_{k,p}=\langle \mathbf {S} ^{-1}\mathbf {e} _{p},\mathbf {e} _{k}\rangle$. По существу, приведенное выше уравнение также называется уравнением ядра воспроизведения и выражает избыточность коэффициентов кадра.

Особые случаи

Жесткие рамки

Рамка является жесткой, если $A=B$. Плотный каркас ${\textstyle \{\mathbf {e} _{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ с рамкой $A$ имеет свойство, которое

$\mathbf {v} ={\frac {1}{A}}\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k},\quad \forall \mathbf {v} \in V.$

Например, союз $k$ непересекающиеся ортонормированные базисы векторного пространства — это сверхполный тесный фрейм с $A=B=k$. Плотный фрейм называется фреймом Парсеваля , если $A=B=1$. Каждый ортонормированный базис представляет собой (полный) фрейм Парсеваля, но обратное не обязательно верно.

Рамка равной нормы

Фрейм называется кадром равной нормы, если существует константа $c$ такой, что $\|\mathbf {e} _{k}\|=c$ для каждого $k$. Кадр равной нормы является нормализованным кадром (иногда его называют кадром единичной нормы ), если $c=1$. Фрейм Парсеваля с единичной нормой является ортонормированным базисом; такой фрейм удовлетворяет тождеству Парсеваля .

Равноугольные рамки

Фрейм называется равноугольным, если существует постоянная $c$ такой, что $|\langle \mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}\rangle |=c$ для всех $i\neq j$. В частности, каждый ортонормированный базис равноугольный.

Точные кадры

Фрейм является точным, если ни одно правильное подмножество фрейма не охватывает внутреннее пространство продукта. Каждый базис пространства внутреннего продукта является точным фреймом этого пространства (поэтому базис — это частный случай фрейма).

Обобщения

Полурамка

Иногда невозможно одновременно удовлетворить обе границы кадра. Верхний (соответственно нижний) полукадр — это набор, который удовлетворяет только верхнему (соответственно нижнему) неравенству фрейма. Последовательность Бесселя — это пример набора векторов, который удовлетворяет только неравенству верхнего кадра.

Для любого вектора $\mathbf {v} \in V$ восстанавливается из коэффициентов $\{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \}_{k\in \mathbb {N} }$ достаточно, если существует константа $A>0$ такой, что

$A\|x-y\|^{2}\leq \|Tx-Ty\|^{2},\quad \forall x,y\in V.$

Установив $\mathbf {v} =x-y$ и применяя линейность оператора анализа, это условие эквивалентно:

$A\|\mathbf {v} \|^{2}\leq \|T\mathbf {v} \|^{2},\quad \forall \mathbf {v} \in V,$

что и является условием нижней границы кадра.

Fusion Frame

Основная статья: Фрейм Fusion

Слитый кадр лучше всего понимать как расширение операторов двойного синтеза и анализа кадров, где вместо одного подпространства $V\subseteq H$, набор замкнутых подпространств $\{W_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }\subseteq H$ с положительными скалярными весами $\{w_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }$Считается. Фьюжн-каркас – это семья $\{W_{i},w_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }$ который удовлетворяет условию кадра

$A\|f\|^{2}\leq \sum _{i}w_{i}^{2}\|P_{W_{i}}f\|^{2}\leq B\|f\|^{2},\quad \forall f\in H,$

где $P_{W_{i}}$ обозначает ортогональную проекцию на подпространство $W_{i}$.

Непрерывный кадр

Предполагать $H$ является гильбертовым пространством, $X$ локально компактное пространство и $\mu$ является локально конечной борелевской мерой на $X$. Тогда набор векторов в $H$, $\{f_{x}\}_{x\in X}$ с мерой $\mu$ называется непрерывной системой отсчета, если существуют константы, $0<A\leq B$ такой, что

$A||f||^{2}\leq \int _{X}|\langle f,f_{x}\rangle |^{2}d\mu (x)\leq B||f||^{2},\quad \forall f\in H.$

Чтобы убедиться в том, что непрерывные фреймы действительно являются естественным обобщением упомянутых выше фреймов, рассмотрим дискретный набор $\Lambda \subset X$ и мера $\mu =\delta _{\Lambda }$ где $\delta _{\Lambda }$является мерой Дирака . Тогда условие непрерывного кадра сводится к

$A||f||^{2}\leq \sum _{\lambda \in \Lambda }|\langle f,f_{\lambda }\rangle |^{2}\leq B||f||^{2},\quad \forall f\in H.$

Как и в дискретном случае, мы можем определить операторы анализа, синтеза и фрейма, когда имеем дело с непрерывными фреймами.

Оператор непрерывного анализа

Учитывая непрерывный кадр $\{f_{x}\}_{x\in X}$ оператор непрерывного анализа — это оператор отображения $f$ к функции на $X$ определяется следующим образом:

$T:H\to L^{2}(X,\mu )$ к $f\mapsto \langle f,f_{x}\rangle _{x\in X}$.

Оператор непрерывного синтеза

Сопряженным оператором оператора непрерывного анализа является оператор непрерывного синтеза , который является отображением

$T^{*}:L^{2}(X,\mu )\to H$ к $a_{x}\mapsto \int _{X}a_{x}f_{x}d\mu (x)$.

Оператор непрерывного кадра

Композиция оператора непрерывного анализа и оператора непрерывного синтеза известна как оператор непрерывного фрейма. Для непрерывного кадра $\{f_{x}\}_{x\in X}$, оно определяется следующим образом:

$S:H\to H$ к $Sf:=\int _{X}\langle f,f_{x}\rangle f_{x}d\mu (x).$

В этом случае проектор непрерывного кадра $P:L^{2}(x,\mu )\to \operatorname {im} (T)$ ортогональная проекция, определяемая формулой

$P:=TS^{-1}T^{*}.$

Проектор $P$ — интегральный оператор с воспроизводящим ядром $K(x,y)=\langle S^{-1}f_{x},f_{y}\rangle$, таким образом $\operatorname {im} (T)$ является воспроизводящим ядром гильбертова пространства .

Непрерывный двойной кадр

Учитывая непрерывный кадр $\{f_{x}\}_{x\in X}$, и еще один непрерывный кадр $\{g_{x}\}_{x\in X}$, затем $\{g_{x}\}_{x\in X}$ называется непрерывной дуальной системой отсчета $\{f_{x}\}$ если оно удовлетворяет следующему условию для всех $f,h\in H$:

$\langle f,h\rangle =\int _{X}\langle f,f_{x}\rangle \langle g_{x},h\rangle d\mu (x).$

Положительная операторно-значная мера в рамке

Основная статья: Положительная операторная мера

Подобно тому, как фрейм является естественным обобщением базиса на множества, которые могут быть линейно зависимыми, положительная операторнозначная мера (POVM) является естественным обобщением проекционнозначной меры (PVM) в том смысле, что элементы POVM не обязательно являются ортогональные проекции .

Предполагать $(X,M)$ представляет собой измеримое пространство с $M$ борелевская σ-алгебра на $X$ и разреши $F$ быть ПОВМ из $M$ в пространство положительных операторов на $H$ с дополнительным свойством, которое

$0<AI\leq F(M)\leq BI<\infty ,$

где $I$является идентификационным оператором . Затем $F$ называется рамочной POVM .

В случае условия слияния каркаса это позволяет сделать замену

$F(m)=\sum _{i\in m}w_{i}P_{W_{i}},\quad m\in M.$

Для оператора непрерывного кадра кадрированная POVM будет иметь вид

$\langle F(M)f_{x},f_{y}\rangle =\int _{M}\langle Sf_{x},f_{y}\rangle d\mu (x).$

См. также

• k -кадр
• Биортогональный вейвлет
• Ортогональный вейвлет
• Свойство ограниченной изометрии
• база содрогания
• Гармонический анализ
• Фурье-анализ
• Функциональный анализ

Ссылки

• Антуан, Ж.-П.; Балаж, П. (2012). «Рамки, полурамки и шкалы Гильберта». Численный функциональный анализ и оптимизация . 33 (7–9): 736–769. arXiv : 1203.0506 . дои : 10.1080/01630563.2012.682128 . ISSN   0163-0563 .
• Касацца, Питер ; Кутынюк, Гитта ; Филипп, Фридрих (2013). «Введение в теорию конечных фреймов». Конечные рамки: теория и приложения . Берлин: Биркхойзер. стр. 1–53. ISBN  978-0-8176-8372-6 .
• Кристенсен, Оле (2016). «Введение в фреймы и базисы Рисса». Прикладной и численный гармонический анализ . Чам: Международное издательство Springer. дои : 10.1007/978-3-319-25613-9 . ISBN  978-3-319-25611-5 . ISSN   2296-5009 .
• Даффин, Ричард Джеймс ; Шеффер, Альберт Чарльз (1952). «Один класс негармонических рядов Фурье» . Труды Американского математического общества . 72 (2): 341–366. дои : 10.2307/1990760 . JSTOR   1990760 . МР   0047179 .
• Ковачевич, Елена; Чебира, Амина (2008). «Введение в фреймы» (PDF) . Основы и тенденции в области обработки сигналов . 2 (1): 1–94. дои : 10.1561/2000000006 .
• Ковачевич, Елена; Драготти, Пьер Луиджи; Гоял, Вивек (2002). «Расширение фреймов банка фильтров с помощью стираний» (PDF) . Транзакции IEEE по теории информации . 48 (6): 1439–1450. CiteSeerX   10.1.1.661.2699 . дои : 10.1109/TIT.2002.1003832 .
• Маллат, Стефан (2009). Вейвлет-тур по обработке сигналов: разреженный путь . Амстердам Бостон: Elsevier/Academic Press. ISBN  978-0-12-374370-1 .
• Моран, Билл; Ховард, Стивен; Кокран, Дуг (2013). «Меры с положительным операторным значением: общие настройки для фреймов». Экскурсии по гармоническому анализу, Том 2 . Бостон: Биркхойзер Бостон. дои : 10.1007/978-0-8176-8379-5_4 . ISBN  978-0-8176-8378-8 .
• Робинсон, Бенджамин; Моран, Билл; Кокран, Дуг (2021). «Положительные операторные меры и плотно определенные операторные фреймы». Математический журнал Роки Маунтин . 51 (1). arXiv : 2004.11729 . дои : 10.1216/rmj.2021.51.265 . ISSN   0035-7596 .
• Янг, Роберт М. (2001). Введение в негармонический ряд Фурье, исправленное издание, стр. 93 . Академическая пресса. ISBN  978-0-12-772955-8 .