последовательность Рисса

В математике — последовательность векторов n ( x ₎ в гильбертовом пространстве. $(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ называется последовательностью Рисса, если существуют константы $0<c\leq C<+\infty$ такой, что

$c\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)\leq \left\Vert \sum _{n}a_{n}x_{n}\right\Vert ^{2}\leq C\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)$

для всех последовательностей скаляров ( a _n ) в ℓ ^п пробел ℓ ² . Последовательность Рисса называется Рисса, базисом если

${\overline {\mathop {\rm {span}} (x_{n})}}=H$.

В качестве альтернативы можно определить базис Рисса как семейство вида $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }=\left\{Ue_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$, где $\left\{e_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ является ортонормированным базисом для $H$ и $U:H\rightarrow H$ является ограниченным биективным оператором. Следовательно, базисы Рисса не обязательно должны быть ортонормированными, т. е. они являются обобщением ортонормированных базисов.

Критерий Пэли-Винера

Не путать с теоремой Пэли-Винера .

Позволять $\{e_{n}\}$ быть ортонормированным базисом гильбертова пространства $H$ и пусть $\{x_{n}\}$ быть «близким» к $\{e_{n}\}$ в том смысле, что

$\left\|\sum a_{i}(e_{i}-x_{i})\right\|\leq \lambda {\sqrt {\sum |a_{i}|^{2}}}$

для некоторой константы $\lambda$, $0\leq \lambda <1$и произвольные скаляры $a_{1},\dotsc ,a_{n}$ $(n=1,2,3,\dotsc )$ . Затем $\{x_{n}\}$ является базисом Рисса для $H$.

Теоремы

Если H — конечномерное пространство, то каждый базис H является базисом Рисса.

Позволять $\varphi$ быть в Л ^п пространство L ² ( R ), пусть

$\varphi _{n}(x)=\varphi (x-n)$

и пусть ${\hat {\varphi }}$ обозначим Фурье преобразование ${\varphi }$. Определите константы c и C с помощью $0<c\leq C<+\infty$. Тогда следующие условия эквивалентны:

$1.\quad \forall (a_{n})\in \ell ^{2},\ \ c\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)\leq \left\Vert \sum _{n}a_{n}\varphi _{n}\right\Vert ^{2}\leq C\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)$

$2.\quad c\leq \sum _{n}\left|{\hat {\varphi }}(\omega +2\pi n)\right|^{2}\leq C$

Первым из приведенных выше условий является определение ( ${\varphi _{n}}$), чтобы сформировать базис Рисса для пространства, которое оно охватывает .

См. также

• Ортонормированный базис
• Гильбертово пространство
• Рамка векторного пространства

Ссылки

• Антуан, Ж.-П.; Балаж, П. (2012). «Рамки, полурамки и шкалы Гильберта». Численный функциональный анализ и оптимизация . 33 (7–9). arXiv : 1203.0506 . дои : 10.1080/01630563.2012.682128 . ISSN   0163-0563 .
• Кристенсен, Оле (2001), «Фреймы, базы Рисса и дискретные расширения Габора/Вейвлета» (PDF) , Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 38 (3): 273–291, doi : 10.1090/S0273-0979 -01-00903-X
• Маллат, Стефан (2008), Вейвлет-тур по обработке сигналов: разреженный путь (PDF) (3-е изд.), стр. 46–47, ISBN  9780123743701
• Пейли, Раймонд EAC ; Винер, Норберт (1934). Преобразования Фурье в комплексной области . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-1019-4 .
• Янг, Роберт М. (2001). Введение в негармонический ряд Фурье, исправленное издание, стр. 93 . Академическая пресса. ISBN  978-0-12-772955-8 .

В эту статью включен материал из последовательности Рисса на сайте PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License . Эта статья включает в себя материалы, полученные Риссом на платформе PlanetMath , которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .