Фьюжн-рамка

В математике слитый фрейм векторного пространства является естественным расширением фрейма . Это аддитивная конструкция из нескольких потенциально «перекрывающихся» фреймов. Мотивация этой концепции исходит из того, что сигнал не может быть получен только одним датчиком (ограничение, обусловленное ограничениями аппаратного обеспечения или пропускной способности данных), а частичные компоненты сигнала должны быть собраны через сеть датчиков. и частичные представления сигнала затем объединяются в полный сигнал.

По своей конструкции фреймы Fusion легко поддаются параллельной или распределенной обработке. сенсорных сетей, состоящих из произвольных перекрывающихся сенсорных полей.

Определение

Учитывая гильбертово пространство ${\mathcal {H}}$, позволять $\{W_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}$ быть замкнутыми подпространствами ${\mathcal {H}}$, где ${\mathcal {I}}$ представляет собой индексный набор. Позволять $\{v_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}$ быть набором положительных скалярных весов. Затем $\{W_{i},v_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}$ представляет собой слитый каркас ${\mathcal {H}}$ если существуют константы $0<A\leq B<\infty$ такой, что

$A\|f\|^{2}\leq \sum _{i\in {\mathcal {I}}}v_{i}^{2}{\big \|}P_{W_{i}}f{\big \|}^{2}\leq B\|f\|^{2},\quad \forall f\in {\mathcal {H}},$

где $P_{W_{i}}$ обозначает ортогональную проекцию на подпространство $W_{i}$. Константы $A$ и $B$ называются нижней и верхней границей соответственно. Когда нижняя и верхняя границы равны друг другу, $\{W_{i},v_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}$ становится $A$-плотный сварной каркас. Кроме того, если $A=B=1$, мы можем позвонить $\{W_{i},v_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}$ Фрейм Парсеваля.

Предполагать $\{f_{ij}\}_{i\in {\mathcal {I}},j\in J_{i}}$ представляет собой рамку для $W_{i}$. Затем $\{\left(W_{i},v_{i},\{f_{ij}\}_{j\in J_{i}}\right)\}_{i\in {\mathcal {I}}}$ называется системой Fusion Frame для ${\mathcal {H}}$.

Связь с глобальными фреймами

Позволять $\{W_{i}\}_{i\in {\mathcal {H}}}$ быть замкнутыми подпространствами ${\mathcal {H}}$ с положительными весами $\{v_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}$. Предполагать $\{f_{ij}\}_{i\in {\mathcal {I}},j\in J_{i}}$ представляет собой рамку для $W_{i}$ с границами рамки $C_{i}$ и $D_{i}$. Позволять ${\textstyle C=\inf _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}}$ и ${\textstyle D=\inf _{i\in {\mathcal {I}}}D_{i}}$, которые удовлетворяют этому $0<C\leq D<\infty$. Затем $\{W_{i},v_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}$ представляет собой слитый каркас ${\mathcal {H}}$ тогда и только тогда, когда $\{v_{i}f_{ij}\}_{i\in {\mathcal {I}},j\in J_{i}}$ представляет собой рамку ${\mathcal {H}}$.

Кроме того, если $\{\left(W_{i},v_{i},\{f_{ij}\}_{j\in J_{i}}\right)\}_{i\in {\mathcal {I}}}$ представляет собой систему рамок Fusion для ${\mathcal {H}}$ с нижней и верхней границей $A$ и $B$, затем $\{v_{i}f_{ij}\}_{i\in {\mathcal {I}},j\in J_{i}}$ представляет собой рамку ${\mathcal {H}}$ с нижней и верхней границей $AC$ и $BD$. И если $\{v_{i}f_{ij}\}_{i\in {\mathcal {I}},j\in J_{i}}$ представляет собой рамку ${\mathcal {H}}$ с нижней и верхней границей $E$ и $F$, затем $\{\left(W_{i},v_{i},\{f_{ij}\}_{j\in J_{i}}\right)\}_{i\in {\mathcal {I}}}$ представляет собой систему рамок Fusion для ${\mathcal {H}}$ с нижней и верхней границей $E/D$ и $F/C$.

Представление локального кадра

Позволять $W\subset {\mathcal {H}}$ — замкнутое подпространство, и пусть $\{x_{n}\}$ быть ортонормированным базисом $W$. Тогда ортогональная проекция $f\in {\mathcal {H}}$ на $W$ дается

$P_{W}f=\sum \langle f,x_{n}\rangle x_{n}.$

Мы также можем выразить ортогональную проекцию $f$ на $W$ в терминах заданного локального фрейма $\{f_{k}\}$ из $W$

$P_{W}f=\sum \langle f,f_{k}\rangle {\tilde {f}}_{k},$

где $\{{\tilde {f}}_{k}\}$ является двойным кадром локального кадра $\{f_{k}\}$.

Оператор Fusion Frame

Определение

Позволять $\{W_{i},v_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}$ быть сплавленной рамкой для ${\mathcal {H}}$. Позволять $\{\sum \bigoplus W_{i}\}_{l_{2}}$ быть пространством представления для проекции. Оператор анализа $T_{W}:{\mathcal {H}}\rightarrow \{\sum \bigoplus W_{i}\}_{l_{2}}$ определяется

$T_{W}\left(f\right)=\{v_{i}P_{W_{i}}\left(f\right)\}_{i\in {\mathcal {I}}}.$

Сопряженный оператор называется оператором синтеза. $T_{W}^{\ast }:\{\sum \bigoplus W_{i}\}_{l_{2}}\rightarrow {\mathcal {H}}$, определяемый как

$T_{W}^{\ast }\left(g\right)=\sum v_{i}f_{i},$

где $g=\{f_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}\in \{\sum \bigoplus W_{i}\}_{l_{2}}$.

Оператор слияния фреймов $S_{W}:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}$ определяется

$S_{W}\left(f\right)=T_{W}^{\ast }T_{W}\left(f\right)=\sum v_{i}^{2}P_{W_{i}}\left(f\right).$

Характеристики

Учитывая нижнюю и верхнюю границы системы слияния $\{W_{i},v_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}$, $A$ и $B$, оператор слияния фреймов $S_{W}$ может быть ограничено

$AI\leq S_{W}\leq BI,$

где $I$ является идентификационным оператором. Следовательно, оператор слияния фреймов $S_{W}$ положителен и обратим.

Представительство

Учитывая систему слитых рамок $\{\left(W_{i},v_{i},{\mathcal {F}}_{i}\right)\}_{i\in {\mathcal {I}}}$ для ${\mathcal {H}}$, где ${\mathcal {F}}_{i}=\{f_{ij}\}_{j\in J_{i}}$, и ${\tilde {\mathcal {F}}}_{i}=\{{\tilde {f}}_{ij}\}_{j\in J_{i}}$, который представляет собой двойной кадр для ${\mathcal {F}}_{i}$, оператор слияния фреймов $S_{W}$ может быть выражено как

$S_{W}=\sum v_{i}^{2}T_{{\tilde {\mathcal {F}}}_{i}}^{\ast }T_{{\mathcal {F}}_{i}}=\sum v_{i}^{2}T_{{\mathcal {F}}_{i}}^{\ast }T_{{\tilde {\mathcal {F}}}_{i}}$,

где $T_{{\mathcal {F}}_{i}}$, $T_{{\tilde {\mathcal {F}}}_{i}}$ являются операторами анализа для ${\mathcal {F}}_{i}$ и ${\tilde {\mathcal {F}}}_{i}$ соответственно, и $T_{{\mathcal {F}}_{i}}^{\ast }$, $T_{{\tilde {\mathcal {F}}}_{i}}^{\ast }$ являются операторами синтеза для ${\mathcal {F}}_{i}$ и ${\tilde {\mathcal {F}}}_{i}$ соответственно.

Для конечных фреймов (т.е. $\dim {\mathcal {H}}=:N<\infty$ и $|{\mathcal {I}}|<\infty$), оператор слияния фреймов может быть построен с помощью матрицы. Позволять $\{W_{i},v_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}$ быть сплавленной рамкой для ${\mathcal {H}}_{N}$, и пусть $\{f_{ij}\}_{j\in {\mathcal {J}}_{i}}$ быть рамкой для подпространства $W_{i}$ и $J_{i}$ индекс, установленный для каждого $i\in {\mathcal {I}}$. Тогда оператор слияния фреймов $S:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}$ сводится к $N\times N$ матрица, заданная формулой

$S=\sum _{i\in {\mathcal {I}}}v_{i}^{2}F_{i}{\tilde {F}}_{i}^{T},$

с

$F_{i}={\begin{bmatrix}\vdots &\vdots &&\vdots \\f_{i1}&f_{i2}&\cdots &f_{i|J_{i}|}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\end{bmatrix}}_{N\times |J_{i}|},$

и

${\tilde {F}}_{i}={\begin{bmatrix}\vdots &\vdots &&\vdots \\{\tilde {f}}_{i1}&{\tilde {f}}_{i2}&\cdots &{\tilde {f}}_{i|J_{i}|}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\end{bmatrix}}_{N\times |J_{i}|},$

где ${\tilde {f}}_{ij}$ является каноническим дуальным фреймом $f_{ij}$.

См. также

• Гильбертово пространство
• Фрейм (линейная алгебра)

Внешние ссылки

• Фьюжн-рамки