Фокское государство

В квантовой механике состояние Фока или числовое состояние — это квантовое состояние , которое является элементом пространства Фока с четко определенным числом частиц (или квантов ). Эти состояния названы в честь советского физика Владимира Фока . Состояния Фока играют важную роль в второго квантования формулировке квантовой механики .

Представление частиц было впервые подробно рассмотрено Полем Дираком для бозонов и Паскуалем Джорданом и Юджином Вигнером для фермионов . Фоковские состояния бозонов и фермионов подчиняются полезным соотношениям относительно операторов рождения и уничтожения фоковского пространства .

Определение

Многочастичное состояние N невзаимодействующих идентичных частиц задается путем записи состояния как суммы тензорных произведений N одночастичных состояний. частицы Кроме того, в зависимости от целостности спина тензорные произведения должны быть чередующимися (антисимметричными) или симметричными произведениями основного одночастичного гильбертова пространства . Конкретно:

• Фермионы , имеющие полуцелый спин и подчиняющиеся принципу Паули , соответствуют антисимметричным тензорным произведениям.
• Бозоны , обладающие целым спином (и не подчиняющиеся принципу исключения), соответствуют симметричным тензорным произведениям.

Если число частиц является переменным, пространство Фока строится как прямая сумма гильбертовых пространств тензорного произведения для каждого числа частиц . В пространстве Фока можно указать одно и то же состояние в новой записи, обозначении числа занятости, указав количество частиц в каждом возможном одночастичном состоянии.

Позволять ${\textstyle \left\{\mathbf {k} _{i}\right\}_{i\in I}}$ быть ортонормированным базисом состояний в лежащем в основе одночастичном гильбертовом пространстве. Это порождает соответствующий базис пространства Фока, называемый «базисом числа заполненности». Квантовое состояние в пространстве Фока называется состоянием Фока, если оно является элементом базиса числа заполненности.

Состояние Фока удовлетворяет важному критерию: для каждого i состояние является собственным состоянием оператора числа частиц. ${\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}}$ соответствующий i -му элементарному состоянию k _i . Соответствующее собственное значение дает количество частиц в состоянии. Этот критерий практически определяет фоковские состояния (необходимо дополнительно выбрать фазовый множитель).

Данное состояние Фока обозначается $|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},..n_{{\mathbf {k} }_{i}}...\rangle$. В этом выражении $n_{{\mathbf {k} }_{i}}$ обозначает количество частиц в i-м состоянии k _i и оператор числа частиц для i-го состояния, ${\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}}$, действует на состояние Фока следующим образом:

${\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},..n_{{\mathbf {k} }_{i}}...\rangle =n_{{\mathbf {k} }_{i}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},..n_{{\mathbf {k} }_{i}}...\rangle$

Следовательно, состояние Фока является собственным состоянием числового оператора с собственным значением $n_{{\mathbf {k} }_{i}}$.

Состояния Фока часто образуют наиболее удобную основу пространства Фока. Элементы пространства Фока, которые являются суперпозицией состояний с разным числом частиц (и, следовательно, не являются собственными состояниями числового оператора), не являются состояниями Фока. По этой причине не все элементы пространства Фока называются «состояниями Фока».

Если мы определим оператор совокупного числа частиц ${\textstyle {\widehat {N}}}$ как

${\widehat {N}}=\sum _{i}{\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}},$

определение состояния Фока гарантирует, что дисперсия измерения $\operatorname {Var} \left({\widehat {N}}\right)=0$, т. е. измерение числа частиц в состоянии Фока всегда дает определенное значение без флуктуаций.

Пример использования двух частиц

Для любого конечного состояния $|f\rangle$, любое фоковское состояние двух одинаковых частиц, определяемое формулой $|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\rangle$и любой оператор ${\widehat {\mathbb {O} }}$, имеем следующее условие неотличимости :

$\left|\left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle \right|^{2}=\left|\left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle \right|^{2}$.

Итак, мы должны иметь $\left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle =e^{i\delta }\left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle$

где $e^{i\delta }=+1$ для бозонов и $-1$ для фермионов . С $\langle f|$ и ${\widehat {\mathbb {O} }}$ произвольны, можно сказать,

$\left|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle =+\left|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle$ для бозонов и

$\left|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle =-\left|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle$ для фермионов.

Обратите внимание, что числовой оператор не отличает бозоны от фермионов; на самом деле он просто подсчитывает частицы, не обращая внимания на их тип симметрии. Чтобы уловить какую-либо разницу между ними, нам нужны другие операторы, а именно операторы создания и уничтожения .

Бозонное состояние Фока

Бозоны , являющиеся частицами с целым спином, подчиняются простому правилу: их составное собственное состояние симметрично. в эксплуатации у оператора обмена . Например, в системе двух частиц в представлении тензорного произведения мы имеем ${\hat {P}}\left|x_{1},x_{2}\right\rangle =\left|x_{2},x_{1}\right\rangle$ .

Операторы рождения и уничтожения бозонов

Мы должны быть в состоянии выразить то же самое свойство симметрии в этом новом представлении пространства Фока. Для этого введем неэрмитовые бозонные операторы рождения и уничтожения : обозначается $b^{\dagger }$ и $b$ соответственно. Действие этих операторов на состояние Фока задается следующими двумя уравнениями:

• Оператор создания ${\textstyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }}$:

  $b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1,...\rangle$

• Оператор уничтожения ${\textstyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}}$:

  $b_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1,...\rangle$

The Operation of creation and annihilation operators on Bosonic Fock states.

Неэрмитичность операторов рождения и уничтожения

Операторы создания и уничтожения бозонного состояния Фока не являются эрмитовыми операторами .

Доказательство того, что операторы рождения и уничтожения не являются эрмитовыми.

Для состояния Фока $|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}},\dots \rangle$, $${\begin{aligned}\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1,\dots \left|b_{\mathbf {k} _{l}}\right|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}},\dots \right\rangle &={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}}}\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1,\dots |n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1,\dots \right\rangle \\[6pt]\left(\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}},\dots \left|b_{\mathbf {k} _{l}}\right|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1,\dots \right\rangle \right)^{*}&=\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1\dots \left|b_{\mathbf {k} _{l}}^{\dagger }\right|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}},\dots \right\rangle \\&={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}+1}}\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1\dots |n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}+1\dots \right\rangle \end{aligned}}$$

Поэтому ясно, что сопряженный оператору создания (уничтожения) в себя не уходит. Следовательно, они не являются эрмитовыми операторами.

Но сопряженным с оператором создания (уничтожения) является оператор уничтожения (создания).

Личности операторов

Коммутационные соотношения операторов рождения и уничтожения в бозонной системе имеют вид

$\left[b_{i}^{\,},b_{j}^{\dagger }\right]\equiv b_{i}^{\,}b_{j}^{\dagger }-b_{j}^{\dagger }b_{i}^{\,}=\delta _{ij},$

$\left[b_{i}^{\dagger },b_{j}^{\dagger }\right]=\left[b_{i}^{\,},b_{j}^{\,}\right]=0,$

где $[\ \ ,\ \ ]$ является коммутатором и $\delta _{ij}$ это дельта Кронекера .

N бозонных базисных состояний

Количество частиц (N)	Бозонные базисные состояния
0	$|0,0,0...\rangle$
1	$|1,0,0...\rangle$, $|0,1,0...\rangle$, $|0,0,1...\rangle$,...
2	$|2,0,0...\rangle$, $|1,1,0...\rangle$, $|0,2,0...\rangle$,...
$n$	$|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle$

Действия в отношении некоторых конкретных состояний Фока

• Для состояния вакуума (ни одна частица не находится ни в каком состоянии) выражается как $|0_{{\mathbf {k} }_{1}},0_{{\mathbf {k} }_{2}},0_{{\mathbf {k} }_{3}}...0_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle$, у нас есть:

  $b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }|0_{{\mathbf {k} }_{1}},0_{{\mathbf {k} }_{2}},0_{{\mathbf {k} }_{3}}...0_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle =|0_{{\mathbf {k} }_{1}},0_{{\mathbf {k} }_{2}},0_{{\mathbf {k} }_{3}}...1_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle$

  и, $b_{\mathbf {k} _{l}}|0_{\mathbf {k} _{1}},0_{\mathbf {k} _{2}},0_{\mathbf {k} _{3}}...0_{\mathbf {k} _{l}},...\rangle =0$. То есть l -й оператор создания создает частицу в l -м состоянии k _l , а состояние вакуума является фиксированной точкой операторов уничтожения, поскольку частиц, подлежащих аннигиляции, нет.
• Мы можем сгенерировать любое состояние Фока, оперируя вакуумным состоянием с соответствующим количеством операторов создания :

  $|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}}...\rangle ={\frac {\left(b_{\mathbf {k} _{1}}^{\dagger }\right)^{n_{\mathbf {k} _{1}}}}{\sqrt {n_{\mathbf {k} _{1}}!}}}{\frac {\left(b_{\mathbf {k} _{2}}^{\dagger }\right)^{n_{\mathbf {k} _{2}}}}{\sqrt {n_{\mathbf {k} _{2}}!}}}...|0_{\mathbf {k} _{1}},0_{\mathbf {k} _{2}},...\rangle$

• Для одномодового состояния Фока, выраженного как: $|n_{\mathbf {k} }\rangle$,
  $b_{\mathbf {k} }^{\dagger }|n_{\mathbf {k} }\rangle ={\sqrt {n_{\mathbf {k} }+1}}|n_{\mathbf {k} }+1\rangle$ и,
  $b_{\mathbf {k} }|n_{\mathbf {k} }\rangle ={\sqrt {n_{\mathbf {k} }}}|n_{\mathbf {k} }-1\rangle$

Действие числовых операторов

Числовые операторы ${\textstyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}}$ для бозонной системы имеют вид ${\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}=b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }b_{{\mathbf {k} }_{l}}$, где ${\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle =n_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle$

Числовые операторы являются эрмитовыми операторами.

Симметричное поведение бозонных фоковских состояний

Коммутационные соотношения операторов рождения и уничтожения гарантируют, что бозонные состояния Фока имеют соответствующее симметричное поведение при обмене частицами. Здесь обмен частицами между двумя состояниями (скажем, l и m ) осуществляется путем уничтожения частицы в состоянии l и создания частицы в состоянии m . Если мы начнем с состояния Фока $|\psi \rangle =\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle$, и хотим перевести частицу из состояния $k_{l}$ заявить $k_{m}$, то мы оперируем состоянием Фока $b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }b_{\mathbf {k} _{l}}$ следующим образом:

Используя соотношение коммутации, которое мы имеем, $b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.b_{\mathbf {k} _{l}}=b_{\mathbf {k} _{l}}.b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }$

${\begin{aligned}b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.b_{\mathbf {k} _{l}}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle &=b_{\mathbf {k} _{l}}.b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle \\&={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{m}}+1}}{\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}}}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}+1...n_{\mathbf {k} _{l}}-1...\right\rangle \end{aligned}}$

Таким образом, бозонное фоковское состояние ведет себя симметрично под действием оператора Exchange.

• 
  Функция Вигнера $|0\rangle$
• 
  Функция Вигнера $|1\rangle$
• 
  Функция Вигнера $|2\rangle$
• 
  Функция Вигнера $|3\rangle$
• 
  Функция Вигнера $|4\rangle$

Фермионное состояние Фока

Операторы рождения и уничтожения фермионов

Чтобы сохранить антисимметричное поведение фермионов , для фермионных состояний Фока мы вводим неэрмитовые операторы рождения и уничтожения фермионов: определено для фермионного фоковского состояния $|\psi \rangle =|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle$ как:

• Оператор создания $c_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }$ действует как:

  $c_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1,...\rangle$

• Оператор уничтожения ${\textstyle c_{{\mathbf {k} }_{l}}}$ действует как:

  $c_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1,...\rangle$

Эти два действия выполняются антисимметрично, о чем мы поговорим позже.

Личности операторов

Антикоммутационные соотношения операторов рождения и уничтожения в фермионной системе таковы:

${\begin{aligned}\left\{c_{i}^{\,},c_{j}^{\dagger }\right\}\equiv c_{i}^{\,}c_{j}^{\dagger }+c_{j}^{\dagger }c_{i}^{\,}&=\delta _{ij},\\\left\{c_{i}^{\dagger },c_{j}^{\dagger }\right\}=\left\{c_{i}^{\,},c_{j}^{\,}\right\}&=0,\end{aligned}}$

где ${\{\ ,\ \}}$ является антикоммутатором и $\delta _{ij}$ это дельта Кронекера . Эти антикоммутационные соотношения можно использовать, чтобы показать антисимметричное поведение фермионных фоковских состояний .

Действие числовых операторов

Числовые операторы ${\textstyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}}$ для фермионов имеют вид ${\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}=c_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }.c_{{\mathbf {k} }_{l}}$.

${\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle =n_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle$

Максимальное количество занятий

Действие числового оператора, а также операторов рождения и уничтожения может показаться таким же, как и бозонное, но настоящий поворот заключается в максимальном числе заполнения каждого состояния в фермионном состоянии Фока. Расширяя приведенный выше пример двухчастичной фермионы, мы сначала должны убедить себя, что фермионное состояние Фока $|\psi \rangle =\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle$ получается путем применения определенной суммы операторов перестановки к тензорному произведению собственных цепей следующим образом:

$\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle =S_{-}\left|i_{1},i_{2},i_{3}...i_{l}...\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N!}}}{\begin{vmatrix}\left|i_{1}\right\rangle _{1}&\cdots &\left|i_{1}\right\rangle _{N}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\left|i_{N}\right\rangle _{1}&\cdots &\left|i_{N}\right\rangle _{N}\end{vmatrix}}$

Этот определитель называется определителем Слейтера . Если какое-либо из состояний одной частицы одинаково, две строки определителя Слейтера будут одинаковыми и, следовательно, определитель будет равен нулю. Следовательно, два одинаковых фермиона не должны находиться в одном и том же состоянии (утверждение принципа исключения Паули ). Следовательно, число заполнения любого отдельного состояния равно 0 или 1. Собственное значение, связанное с фермионным состоянием Фока. ${\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}$ должно быть либо 0, либо 1.

Состояния N-фермионного базиса $\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}},...\right\rangle$

Количество частиц (N)	Фермионные базисные состояния
0	$|0,0,0...\rangle$
1	$|1,0,0...\rangle$, $|0,1,0...\rangle$, $|0,0,1...\rangle$,...
2	$|1,1,0...\rangle$, $|0,1,1...\rangle$, $|0,1,0,1...\rangle$, $|1,0,1,0...\rangle$...
...	...

Действия в отношении некоторых конкретных состояний Фока

The operation of creation and annihilation operators on Fermionic Fock states.

• Для одномодового фермионного состояния Фока, выраженного как $\left|0_{\mathbf {k} }\right\rangle$,

  $c_{\mathbf {k} }^{\dagger }\left|0_{\mathbf {k} }\right\rangle =\left|1_{\mathbf {k} }\right\rangle$

  и $c_{\mathbf {k} }^{\dagger }\left|1_{\mathbf {k} }\right\rangle =0$, поскольку максимальное число заполнения любого состояния равно 1. Не более 1 фермиона может занимать одно и то же состояние, как указано в принципе исключения Паули .
• Для одномодового фермионного состояния Фока, выраженного как $\left|1_{\mathbf {k} }\right\rangle$,

  $c_{\mathbf {k} }\left|1_{\mathbf {k} }\right\rangle =\left|0_{\mathbf {k} }\right\rangle$

  и $c_{\mathbf {k} }\left|0_{\mathbf {k} }\right\rangle =0$, так как число частиц не может быть меньше нуля.
• Для многомодового фермионного состояния Фока, выражаемого как $\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},...n_{\mathbf {k} _{\beta }},n_{\mathbf {k} _{\alpha }},...\right\rangle$

  $c_{\mathbf {k} _{\alpha }}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},...n_{\mathbf {k} _{\beta }},n_{\mathbf {k} _{\alpha }},...\right\rangle =(-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},...,n_{\mathbf {k} _{\beta }},1-n_{\mathbf {k} _{\alpha }},...\right\rangle$,

  где $(-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}$ называется струной Джордана-Вигнера , которая зависит от порядка участвующих одночастичных состояний и сложения чисел заполнения фермионов всех предыдущих состояний.

Антисимметричное поведение фермионного состояния Фока

Антисимметричное поведение фермионных состояний под действием оператора Exchange учитывается антикоммутационными соотношениями. Здесь обмен частицами между двумя состояниями осуществляется путем уничтожения одной частицы в одном состоянии и создания другой в другом. Если мы начнем с состояния Фока $|\psi \rangle =\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},...n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle$ и хотим перевести частицу из состояния $k_{l}$ заявить $k_{m}$, то мы оперируем состоянием Фока $c_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.c_{\mathbf {k} _{l}}$ следующим образом:

Используя антикоммутационное соотношение, имеем

$c_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.c_{\mathbf {k} _{l}}=-c_{\mathbf {k} _{l}}.c_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }$

$c_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.c_{\mathbf {k} _{l}}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle ={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{m}}+1}}{\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}}}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}+1...n_{\mathbf {k} _{l}}-1...\right\rangle$

но, $${\begin{aligned}&c_{{\mathbf {k} }_{l}}.c_{{\mathbf {k} }_{m}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},....n_{{\mathbf {k} }_{m}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle \\={}-&c_{{\mathbf {k} }_{m}}^{\dagger }.c_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},....n_{{\mathbf {k} }_{m}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle \\={}-&{\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{m}}+1}}{\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},....n_{{\mathbf {k} }_{m}}+1...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1...\rangle \end{aligned}}$$

Таким образом, фермионные фоковские состояния антисимметричны под действием операторов обмена частиц.

Состояния Фока вообще не являются собственными энергетическими состояниями.

В вторичного квантования теории функция плотности гамильтониана определяется выражением

${\mathfrak {H}}={\frac {1}{2m}}\nabla _{i}\psi ^{*}(x)\,\nabla _{i}\psi (x)$

Полный гамильтониан определяется выражением

${\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\int d^{3}x\,{\mathfrak {H}}=\int d^{3}x\psi ^{*}(x)\left(-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\right)\psi (x)\\\therefore {\mathfrak {H}}&=-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\end{aligned}}$

В свободной теории Шрёдингера

${\mathfrak {H}}\psi _{n}^{(+)}(x)=-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\psi _{n}^{(+)}(x)=E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x)$

и

$\int d^{3}x\,\psi _{n}^{(+)^{*}}(x)\,\psi _{n'}^{(+)}(x)=\delta _{nn'}$

и

$\psi (x)=\sum _{n}a_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)$,

где $a_{n}$ является оператором уничтожения.

$\therefore {\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,a_{n'}^{\dagger }\psi _{n'}^{(+)^{*}}(x)\,{\mathfrak {H}}a_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)$

Только для невзаимодействующих частиц ${\mathfrak {H}}$ и $a_{n}$ добираться; вообще они не ездят на работу. Для невзаимодействующих частиц

${\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,a_{n'}^{\dagger }\psi _{n'}^{(+)^{*}}(x)\,E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x)a_{n}=\sum _{n,n'}E_{n}^{0}a_{n'}^{\dagger }a_{n}\delta _{nn'}=\sum _{n}E_{n}^{0}a_{n}^{\dagger }a_{n}=\sum _{n}E_{n}^{0}{\widehat {N}}$

Если они не коммутируют, гамильтониан не будет иметь приведенного выше выражения. Следовательно, в общем случае состояния Фока не являются собственными энергетическими состояниями системы.

Колебания вакуума

Состояние вакуума или $|0\rangle$ — это состояние с наименьшей энергией и ожидаемыми значениями $a$ и $a^{\dagger }$ исчезнуть в этом состоянии:

$a|0\rangle =0=\langle 0|a^{\dagger }$

Электрическое и магнитное поля, а также векторный потенциал имеют модовое разложение одного и того же общего вида:

$F\left({\vec {r}},t\right)=\varepsilon ae^{i{\vec {k}}x-\omega t}+h.c.$

Таким образом, легко видеть, что средние значения этих операторов поля исчезают в вакуумном состоянии:

$\langle 0|F|0\rangle =0$

Однако можно показать, что среднее значение квадрата этих операторов поля не равно нулю. Таким образом, возникают флуктуации поля около нулевого среднего по ансамблю. Эти вакуумные флуктуации ответственны за многие интересные явления, включая лэмбовский сдвиг в квантовой оптике.

Многорежимные состояния Фока

В многорежимном поле каждый оператор создания и уничтожения работает в своем собственном режиме. Так $a_{\mathbf {k} _{l}}$ и $a_{\mathbf {k} _{l}}^{\dagger }$ будет действовать только на $\left|n_{\mathbf {k} _{l}}\right\rangle$. Поскольку операторы, соответствующие разным режимам, действуют в разных подпространствах гильбертова пространства, все поле является прямым произведением $|n_{\mathbf {k} _{l}}\rangle$ по всем режимам:

$\left|n_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle \left|n_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle \left|n_{\mathbf {k} _{3}}\right\rangle \ldots \equiv \left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle \equiv \left|\{n_{\mathbf {k} }\}\right\rangle$

Операторы создания и уничтожения работают с многорежимным состоянием, только повышая или понижая числовое состояние своего собственного режима:

${\begin{aligned}a_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle &={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1,...\rangle \\a_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle &={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1,...\rangle \end{aligned}}$

Мы также определяем оператор общего числа для поля, который представляет собой сумму числовых операторов каждого режима:

${\hat {n}}_{\mathbf {k} }=\sum {\hat {n}}_{\mathbf {k} _{l}}$

Многомодовое состояние Фока представляет собой собственный вектор оператора полного числа, собственное значение которого представляет собой общее число заполнения всех мод.

${\hat {n}}_{\mathbf {k} }|\{n_{\mathbf {k} }\}\rangle =\left(\sum n_{\mathbf {k} _{l}}\right)|\{n_{\mathbf {k} }\}\rangle$

В случае невзаимодействующих частиц числовой оператор и гамильтониан коммутируют друг с другом, и, следовательно, многомодовые фоковские состояния становятся собственными состояниями многомодового гамильтониана.

${\hat {H}}\left|\{n_{\mathbf {k} }\}\right\rangle =\left(\sum \hbar \omega \left(n_{\mathbf {k} _{l}}+{\frac {1}{2}}\right)\right)\left|\{n_{\mathbf {k} }\}\right\rangle$

Источник однофотонного состояния

Одиночные фотоны обычно генерируются с использованием одиночных излучателей (атомов, ионов, молекул, азотно-вакансионного центра , Сколько вы даете? ). Однако эти источники не всегда очень эффективны, часто с низкой вероятностью фактически получить одиночный фотон по требованию; и часто сложны и непригодны вне лабораторных условий.

Обычно используются другие источники, которые решают эти проблемы за счет недетерминированного поведения. Объявленные источники одиночных фотонов — это вероятностные двухфотонные источники, от которых пара отделяется, и обнаружение одного фотона возвещает о присутствии оставшегося. Эти источники обычно полагаются на оптическую нелинейность некоторых материалов, таких как, например, периодически поляризованный ниобат лития ( спонтанное параметрическое преобразование с понижением частоты ) или кремний (спонтанное четырехволновое смешение ).

Неклассическое поведение

P-представление Глаубера -Сударшана фоковских состояний показывает, что эти состояния являются чисто квантовомеханическими и не имеют классического аналога. $\scriptstyle \varphi (\alpha )\,$ из этих состояний в представлении является $2n$'-я производная дельта-функции Дирака и, следовательно, не является классическим распределением вероятностей.

См. также

• Когерентные состояния
• Предел Гейзенберга
• Неклассический свет

Внешние ссылки

• Владан Вулетич из Массачусетского технологического института использовал ансамбль атомов для создания источника в состоянии Фока (также известного как одиночный фотон) (PDF)
• Создайте и измерьте состояние одиночного фотона (состояние Фока) с помощью интерактивного эксперимента QuantumLab.