Оператор обмена

В квантовой механике оператор обмена ${\hat {P}}$ , также известный как оператор перестановки , представляет собой квантово-механический оператор , который действует на состояния в пространстве Фока . Оператор обмена действует путем переключения меток на любых двух идентичных частицах, описываемых квантовым состоянием совместной позиции. $\left|x_{1},x_{2}\right\rangle$ . ^{[ 1 ]} Поскольку частицы идентичны, понятие обменной симметрии требует, чтобы оператор обмена был унитарным .

Строительство

Вращение против часовой стрелки

Вращение по часовой стрелке

Обмен двух частиц в пространстве-времени 2 + 1 путем вращения. Вращения неэквивалентны, поскольку одно не может быть деформировано в другое (без выхода мировых линий из плоскости, что невозможно в двумерном пространстве).

В трех и более измерениях оператор обмена может представлять собой буквальный обмен положениями пары частиц путем движения частиц в адиабатическом процессе , при этом все остальные частицы остаются неподвижными. На практике такое движение часто не осуществляется. Скорее, операция рассматривается как «что если», аналогичная операции инверсии четности или обращения времени . Рассмотрим две повторяющиеся операции такого обмена частицами:

{\hat {P}}^{2}\left|x_{1},x_{2}\right\rangle =\left|x_{1},x_{2}\right\rangle

Поэтому, ${\hat {P}}$ не только унитарен, но и является оператором квадратного корня из 1, что оставляет возможности

{\hat {P}}\left|x_{1},x_{2}\right\rangle =\pm \left|x_{2},x_{1}\right\rangle \,.

Оба знака реализованы в природе. Частицы, удовлетворяющие случаю +1, называются бозонами , а частицы, удовлетворяющие случаю -1, называются фермионами . Теорема о спин-статистике гласит, что все частицы с целым спином являются бозонами, тогда как все частицы с полуцелым спином являются фермионами.

Оператор обмена коммутирует с гамильтонианом и поэтому является сохраняющейся величиной . Поэтому всегда возможно и обычно наиболее удобно выбрать базис, в котором состояния являются собственными состояниями оператора обмена. Такое состояние либо полностью симметрично при обмене всех одинаковых бозонов, либо полностью антисимметрично при обмене всех одинаковых фермионов системы. Например, для того, чтобы сделать это для фермионов, антисимметризатор строит такое полностью антисимметричное состояние.

В двух измерениях адиабатический обмен частицами не обязательно возможен. Вместо этого собственные значения оператора обмена могут быть комплексными фазовыми коэффициентами (в этом случае ${\hat {P}}$ не является эрмитовым), см. любой случай. Оператор обмена не определен четко в строго одномерной системе, хотя существуют конструкции одномерных сетей, которые ведут себя как эффективные двумерные системы.

Квантовая химия

Модифицированный оператор обмена определен в Хартри-Фока методе квантовой химии для оценки обменной энергии, возникающей на основе статистики обмена, описанной выше. В этом методе оператор энергетического обмена часто определяется как:

{\hat {K}}_{j}(x_{1})f_{i}(x_{1})=\phi _{j}(x_{1})\int {{\frac {\phi _{j}^{*}(x_{2})f_{i}(x_{2})}{r_{12}}}\mathrm {d} x_{2}}

где ${\hat {K}}_{j}(x_{1})$ является оператором одноэлектронного обмена, а $f(x_{1})$ , $f(x_{2})$ – одноэлектронные волновые функции, на которые действует оператор обмена как функции положений электронов, и $\phi _{j}(x_{1})$ и $\phi _{j}(x_{2})$ представляют собой одноэлектронную волновую функцию $j$ -й электрон в зависимости от положения электронов. Их разделение обозначается $r_{12}$ . ^{[ 2 ]} Метки 1 и 2 предназначены только для удобства обозначений, поскольку физически невозможно отследить, «какой электрон какой».

См. также

Ссылки

^ Дж. С. Таунсенд (2000). Современный подход к квантовой механике . Международная серия по чистой и прикладной физике. Том. 69 (2-е изд.). Университетские научные книги. п. 342. ИСБН 978-1891389139 .
^ Левин, И.Н., Квантовая химия (4-е изд., Прентис Холл, 1991), стр.403. ISBN 0-205-12770-3

К. Китаура; К. Морокума (2004). «Новая схема энергетического разложения молекулярных взаимодействий в приближении Хартри-Фока». Международный журнал квантовой химии . 10 (2). Уайли: 325–340. дои : 10.1002/qua.560100211 .
Байландер, DM; Кляйнман, Леонард (1990). «Хорошая запрещенная зона полупроводников с модифицированным приближением локальной плотности». Физический обзор B . 41 (11): 7868–7871. Бибкод : 1990PhRvB..41.7868B . дои : 10.1103/PhysRevB.41.7868 . ПМИД 9993089 .
А. П. Полихронакос (1992). «Формализм обменных операторов для интегрируемых систем частиц». Физ. Преподобный Летт . 69 (5): 703–705. arXiv : hep-th/9202057 . Бибкод : 1992PhRvL..69..703P . doi : 10.1103/PhysRevLett.69.703 . ПМИД 10047011 . S2CID 14319416 .
Сепфалуси, П. (1957). «О новом обменном потенциале». Журнал физики Венгерской академии наук . 7 (3): 357–364. дои : 10.1007/BF03156345 . S2CID 124672448 .
Р. К. Несбет (1958). «Оператор обмена Гейзенберга для ферромагнитных и антиферромагнитных систем». Анналы физики . 4 (1). Линкольн, Массачусетс, США: Elsevier: 87–103. Бибкод : 1958АнФи...4...87Н . дои : 10.1016/0003-4916(58)90039-3 .
«Уравнение Хартри-Фока» .

Внешние ссылки

[1] Дж. С. Таунсенд (2000). Современный подход к квантовой механике . Международная серия по чистой и прикладной физике. Том. 69 (2-е изд.). Университетские научные книги. п. 342. ИСБН 978-1891389139 .

[2] Левин, И.Н., Квантовая химия (4-е изд., Прентис Холл, 1991), стр.403. ISBN 0-205-12770-3

[ 1 ]

[ 2 ]