антисимметризатор

В квантовой механике антисимметризатор ${\mathcal {A}}$ (также известный как антисимметризирующий оператор ) — линейный оператор, который делает волновую функцию N одинаковых фермионов антисимметричной при обмене координатами любой пары фермионов. После применения ${\mathcal {A}}$ волновая функция удовлетворяет принципу исключения Паули . С ${\mathcal {A}}$ является оператором проектирования , применение антисимметризатора к волновой функции, которая уже полностью антисимметрична, не дает никакого эффекта, действуя как тождественный оператор .

Математическое определение

Рассмотрим волновую функцию, зависящую от пространства и спиновых координат N фермионов:

$\Psi (1,2,\ldots ,N)\quad {\text{with}}\quad i\leftrightarrow (\mathbf {r} _{i},\sigma _{i}),$

где вектор положения r _i частицы i является вектором в $\mathbb {R} ^{3}$ и σ _i принимает 2 s +1 значений, где s — полуцелый собственный спин фермиона. Для электронов s = 1/2 и σ могут иметь два значения («спин вверх»: 1/2 и «спин вниз»: −1/2). Предполагается, что положения координат в обозначениях Ψ имеют вполне определенный смысл. Например, 2-фермионная функция Ψ(1,2) в общем случае не будет такой же, как Ψ(2,1). Это означает, что в целом $\Psi (1,2)-\Psi (2,1)\neq 0$ и поэтому мы можем осмысленно определить оператор транспонирования ${\hat {P}}_{ij}$ который меняет координаты частиц i и j . В общем случае этот оператор не будет равен тождественному оператору (хотя в особых случаях это может быть).

Транспозиция ​ имеет четность (также известная как подпись) -1. Принцип Паули постулирует, что волновая функция идентичных фермионов должна быть собственной функцией оператора транспонирования с его четностью в качестве собственного значения.

${\begin{aligned}{\hat {P}}_{ij}\Psi {\big (}1,2,\ldots ,i,\ldots ,j,\ldots ,N{\big )}&\equiv \Psi {\big (}\pi (1),\pi (2),\ldots ,\pi (i),\ldots ,\pi (j),\ldots ,\pi (N){\big )}\\&\equiv \Psi (1,2,\ldots ,j,\ldots ,i,\ldots ,N)\\&=-\Psi (1,2,\ldots ,i,\ldots ,j,\ldots ,N).\end{aligned}}$

Здесь мы связали оператор транспонирования ${\hat {P}}_{ij}$ с перестановкой координат π , действующей на множестве N координат. В этом случае π = ( ij ), где ( ij ) — обозначение цикла для транспонирования координат частиц i и j .

Транспозиции могут быть составлены (применяются последовательно). Это определяет продукт между транспозициями, который является ассоциативным . Можно показать, что произвольная перестановка N объектов может быть записана как произведение транспозиций и что число транспозиций в этом разложении имеет фиксированную четность. То есть либо перестановка всегда раскладывается на четное число транспозиций (перестановка называется четной и имеет четность +1), либо перестановка всегда раскладывается на нечетное количество транспозиций и тогда это нечетная перестановка с четностью. −1. Обозначая четность произвольной перестановки π через (−1) ^п , отсюда следует, что антисимметричная волновая функция удовлетворяет условию

${\hat {P}}\Psi {\big (}1,2,\ldots ,N{\big )}\equiv \Psi {\big (}\pi (1),\pi (2),\ldots ,\pi (N){\big )}=(-1)^{\pi }\Psi (1,2,\ldots ,N),$

где мы связали линейный оператор ${\hat {P}}$ с перестановкой π.

Набор всех N ! перестановки с ассоциативным произведением: «применять одну перестановку за другой» — это группа, известная как группа перестановок или группа , обозначаемая SN _{симметричная} . Определим антисимметризатор как

${\mathcal {A}}\equiv {\frac {1}{N!}}\sum _{P\in S_{N}}(-1)^{\pi }{\hat {P}}.$

Свойства антисимметризатора

В теории представлений конечных групп антисимметризатор — хорошо известный объект, поскольку множество четностей $\{(-1)^{\pi }\}$ образует одномерное (и, следовательно, неприводимое) представление группы перестановок, известное как антисимметричное представление . Поскольку представление является одномерным, набор четностей формирует характер антисимметричного представления. Антисимметризатор на самом деле является оператором проектирования символов и является квазиидемпотентным .

Это приводит к тому, что для любой N -частичной волновой функции Ψ(1,..., N ) имеем

${\mathcal {A}}\Psi (1,\ldots ,N)={\begin{cases}&0\\&\Psi '(1,\dots ,N)\neq 0.\end{cases}}$

Либо у Ψ нет антисимметричной компоненты, и тогда антисимметризатор проецируется на ноль, либо она есть, и тогда антисимметризатор проецирует эту антисимметричную компоненту Ψ'.Антисимметризатор несет левое и правое представление группы:

${\hat {P}}{\mathcal {A}}={\mathcal {A}}{\hat {P}}=(-1)^{\pi }{\mathcal {A}},\qquad \forall \pi \in S_{N},$

с оператором ${\hat {P}}$ представляющий перестановку координат π. верно Теперь для любой N -частичной волновой функции Ψ(1, ..., N ) с ненулевой антисимметричной составляющей , что

${\hat {P}}{\mathcal {A}}\Psi (1,\ldots ,N)\equiv {\hat {P}}\Psi '(1,\ldots ,N)=(-1)^{\pi }\Psi '(1,\ldots ,N),$

показывая, что неисчезающая компонента действительно антисимметрична.

Если волновая функция симметрична при любой перестановке нечетной четности, она не имеет антисимметричного компонента. Действительно, предположим, что перестановка π, представленная оператором ${\hat {P}}$, имеет нечетную четность и Ψ симметричен, то

${\hat {P}}\Psi =\Psi \Longrightarrow {\mathcal {A}}{\hat {P}}\Psi ={\mathcal {A}}\Psi \Longrightarrow -{\mathcal {A}}\Psi ={\mathcal {A}}\Psi \Longrightarrow {\mathcal {A}}\Psi =0.$

В качестве примера применения этого результата мы предполагаем, что Ψ является спин-орбитальным произведением. Предположим далее, что спин-орбиталь встречается дважды («дважды занята») в этом произведении: один раз с координатой k и один раз с координатой q . Тогда произведение симметрично относительно транспонирования ( k , q ) и, следовательно, обращается в нуль. Обратите внимание, что этот результат дает оригинальную формулировку принципа Паули : никакие два электрона не могут иметь одинаковый набор квантовых чисел (находиться на одной и той же спин-орбитали).

Перестановки одинаковых частиц унитарные (эрмитово сопряженное равно обратному оператору), а так как π и π ⁻¹ имеют одинаковую четность, то антисимметризатор эрмитов,

${\mathcal {A}}^{\dagger }={\mathcal {A}}.$

Антисимметризатор коммутирует с любой наблюдаемой ${\hat {H}}\,$ (Эрмитов оператор, соответствующий физической наблюдаемой величине)

$[{\mathcal {A}},{\hat {H}}]=0.$

Если бы было иначе, измерение ${\hat {H}}\,$ мог различать частицы, что противоречит предположению, что антисимметризатор влияет только на координаты неразличимых частиц.

Связь с определителем Слейтера

В частном случае, когда волновая функция, подлежащая антисимметризации, является произведением спин-орбиталей

$\Psi (1,2,\ldots ,N)=\psi _{n_{1}}(1)\psi _{n_{2}}(2)\cdots \psi _{n_{N}}(N)$

Определитель Слейтера создается антисимметризатором, работающим с произведением спин-орбиталей, как показано ниже:

${\sqrt {N!}}\ {\mathcal {A}}\Psi (1,2,\ldots ,N)={\frac {1}{\sqrt {N!}}}{\begin{vmatrix}\psi _{n_{1}}(1)&\psi _{n_{1}}(2)&\cdots &\psi _{n_{1}}(N)\\\psi _{n_{2}}(1)&\psi _{n_{2}}(2)&\cdots &\psi _{n_{2}}(N)\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\psi _{n_{N}}(1)&\psi _{n_{N}}(2)&\cdots &\psi _{n_{N}}(N)\\\end{vmatrix}}$

Соответствие немедленно следует из формулы Лейбница для определителей , которая имеет вид

$\det(\mathbf {B} )=\sum _{\pi \in S_{N}}(-1)^{\pi }B_{1,\pi (1)}\cdot B_{2,\pi (2)}\cdot B_{3,\pi (3)}\cdot \,\cdots \,\cdot B_{N,\pi (N)},$

где B — матрица

$\mathbf {B} ={\begin{pmatrix}B_{1,1}&B_{1,2}&\cdots &B_{1,N}\\B_{2,1}&B_{2,2}&\cdots &B_{2,N}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\B_{N,1}&B_{N,2}&\cdots &B_{N,N}\\\end{pmatrix}}.$

Чтобы увидеть соответствие, мы замечаем, что метки фермионов, переставленные членами антисимметризатора, обозначают разные столбцы (являются вторыми индексами). Первые индексы являются орбитальными индексами n ₁ , ..., n _N, обозначающими строки.

Пример

По определению антисимметризатора

${\begin{aligned}{\mathcal {A}}\psi _{a}(1)\psi _{b}(2)\psi _{c}(3)=&{\frac {1}{6}}{\Big (}\psi _{a}(1)\psi _{b}(2)\psi _{c}(3)+\psi _{a}(3)\psi _{b}(1)\psi _{c}(2)+\psi _{a}(2)\psi _{b}(3)\psi _{c}(1)\\&{}-\psi _{a}(2)\psi _{b}(1)\psi _{c}(3)-\psi _{a}(3)\psi _{b}(2)\psi _{c}(1)-\psi _{a}(1)\psi _{b}(3)\psi _{c}(2){\Big )}.\end{aligned}}$

Рассмотрим определитель Слейтера

$D\equiv {\frac {1}{\sqrt {6}}}{\begin{vmatrix}\psi _{a}(1)&\psi _{a}(2)&\psi _{a}(3)\\\psi _{b}(1)&\psi _{b}(2)&\psi _{b}(3)\\\psi _{c}(1)&\psi _{c}(2)&\psi _{c}(3)\end{vmatrix}}.$

Разложением Лапласа по первой строке D

$D={\frac {1}{\sqrt {6}}}\psi _{a}(1){\begin{vmatrix}\psi _{b}(2)&\psi _{b}(3)\\\psi _{c}(2)&\psi _{c}(3)\end{vmatrix}}-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\psi _{a}(2){\begin{vmatrix}\psi _{b}(1)&\psi _{b}(3)\\\psi _{c}(1)&\psi _{c}(3)\end{vmatrix}}+{\frac {1}{\sqrt {6}}}\psi _{a}(3){\begin{vmatrix}\psi _{b}(1)&\psi _{b}(2)\\\psi _{c}(1)&\psi _{c}(2)\end{vmatrix}},$

так что

${\begin{aligned}D=&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\psi _{a}(1){\Big (}\psi _{b}(2)\psi _{c}(3)-\psi _{b}(3)\psi _{c}(2){\Big )}-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\psi _{a}(2){\Big (}\psi _{b}(1)\psi _{c}(3)-\psi _{b}(3)\psi _{c}(1){\Big )}\\&{}+{\frac {1}{\sqrt {6}}}\psi _{a}(3){\Big (}\psi _{b}(1)\psi _{c}(2)-\psi _{b}(2)\psi _{c}(1){\Big )}.\end{aligned}}$

Сравнивая термины, мы видим, что

$D={\sqrt {6}}\ {\mathcal {A}}\psi _{a}(1)\psi _{b}(2)\psi _{c}(3).$

Межмолекулярный антисимметризатор

Часто встречается волновая функция формы произведения $\Psi _{A}(1,2,\dots ,N_{A})\Psi _{B}(N_{A}+1,N_{A}+2,\dots ,N_{A}+N_{B})$ где полная волновая функция не антисимметрична, но факторы антисимметричны,

${\mathcal {A}}^{A}\Psi _{A}(1,2,\dots ,N_{A})=\Psi _{A}(1,2,\dots ,N_{A})$

и

${\mathcal {A}}^{B}\Psi _{B}(N_{A}+1,N_{A}+2,\dots ,N_{A}+N_{B})=\Psi _{B}(N_{A}+1,N_{A}+2,\dots ,N_{A}+N_{B}).$

Здесь ${\mathcal {A}}^{A}$ антисимметризирует первые частицы N _A и ${\mathcal {A}}^{B}$ антисимметризирует второй набор N _B частиц. представляют элементы подгрупп SN A _{эти два антисимметризатора , и} SN B _{Операторы , соответственно} группы SN _{A входящие в + N B} .

Обычно такие частично антисимметричные волновые функции встречаются в теории межмолекулярных сил , где $\Psi _{A}(1,2,\dots ,N_{A})$ – электронная волновая функция молекулы А и $\Psi _{B}(N_{A}+1,N_{A}+2,\dots ,N_{A}+N_{B})$ волновая функция молекулы B. — Когда A и B взаимодействуют, принцип Паули требует антисимметрии полной волновой функции, в том числе при межмолекулярных перестановках.

Полная система может быть антисимметризирована с помощью полного антисимметризатора. ${\mathcal {A}}^{AB}$ ( NA ₊ ! NB _{который состоит из} ) члены группы S _{N A + N B} . Однако таким образом нельзя воспользоваться уже имеющейся частичной антисимметрией. что произведение двух подгрупп также является подгруппой, и рассмотреть левые этой группы произведений в SNA _{смежные NB + Более экономично использовать тот факт , классы} :

$S_{N_{A}}\otimes S_{N_{B}}\subset S_{N_{A}+N_{B}}\Longrightarrow \forall \pi \in S_{N_{A}+N_{B}}:\quad \pi =\tau \pi _{A}\pi _{B},\quad \pi _{A}\in S_{N_{A}},\;\;\pi _{B}\in S_{N_{B}},$

где τ — представитель левого смежного класса. С

$(-1)^{\pi }=(-1)^{\tau }(-1)^{\pi _{A}}(-1)^{\pi _{B}},$

мы можем написать

${\mathcal {A}}^{AB}={\tilde {\mathcal {A}}}^{AB}{\mathcal {A}}^{A}{\mathcal {A}}^{B}\quad {\hbox{with}}\quad {\tilde {\mathcal {A}}}^{AB}=\sum _{T=1}^{C_{AB}}(-1)^{\tau }{\hat {T}},\quad C_{AB}={\binom {N_{A}+N_{B}}{N_{A}}}.$

Оператор ${\hat {T}}$ представляет собой представителя смежного класса τ (перестановку межмолекулярных координат). Очевидно, межмолекулярный антисимметризатор ${\tilde {\mathcal {A}}}^{AB}$ имеет фактор N _A ! НБ _​ ! меньше членов, чем общий антисимметризатор.Окончательно,

${\begin{aligned}{\mathcal {A}}^{AB}\Psi _{A}(1,2,\dots ,N_{A})&\Psi _{B}(N_{A}+1,N_{A}+2,\dots ,N_{A}+N_{B})\\&={\tilde {\mathcal {A}}}^{AB}\Psi _{A}(1,2,\dots ,N_{A})\Psi _{B}(N_{A}+1,N_{A}+2,\dots ,N_{A}+N_{B}),\end{aligned}}$

так что мы видим, что достаточно действовать с ${\tilde {\mathcal {A}}}^{AB}$ если волновые функции подсистем уже антисимметричны.

См. также

• Определитель Слейтера
• Идентичные частицы