Принцип исключения Паули

Вольфганг Паули во время лекции в Копенгагене (1929 г.). Вольфганг Паули сформулировал принцип исключения Паули.

В квантовой механике принцип исключения Паули гласит, что две или более идентичные частицы с полуцелыми спинами (то есть фермионы ) не могут одновременно занимать одно и то же квантовое состояние внутри системы, подчиняющейся законам квантовой механики . Этот принцип был сформулирован австрийским физиком Вольфгангом Паули в 1925 году для электронов , а затем распространен на все фермионы с помощью его теоремы о спин-статистике 1940 года.

В случае электронов в атомах принцип исключения можно сформулировать следующим образом: в многоэлектронном атоме невозможно, чтобы любые два электрона имели одинаковые два значения всех четырех их квантовых чисел , а именно: n , главное квантовое число ; ℓ — азимутальное квантовое число ; м _ℓ , магнитное квантовое число ; и m _s — спиновое квантовое число . Например, если два электрона находятся на одной и той же орбитали , то их значения n , ℓ и m _ℓ равны. В этом случае два значения пары m _s (спин) должны быть разными. Поскольку единственными двумя возможными значениями проекции спина m _s являются +1/2 и -1/2, отсюда следует, что один электрон должен иметь m _s = +1/2 и один m _s = -1/2.

На частицы с целым спином ( бозоны ) не распространяется принцип Паули. Любое количество идентичных бозонов может занимать одно и то же квантовое состояние, например фотоны, создаваемые лазером , или атомы, обнаруженные в конденсате Бозе-Эйнштейна .

полная (многочастичная) волновая функция антисимметрична Более строгое утверждение таково: при обмене двумя одинаковыми частицами для фермионов и симметрична для бозонов. Это означает, что если поменять местами пространственную и спиновую координаты двух одинаковых частиц, то полная волновая функция меняет знак для фермионов, но не меняет знак для бозонов.

Итак, если бы гипотетически два фермиона находились в одном и том же состоянии — например, в одном и том же атоме на одной и той же орбитали с одинаковым спином — то их замена ничего бы не изменила и общая волновая функция не изменилась бы. Однако единственный способ, которым полная волновая функция может одновременно менять знак (требуемый для фермионов), а также оставаться неизменной, заключается в том, что такая функция должна быть равна нулю всюду, а значит, такое состояние не может существовать. Это рассуждение неприменимо к бозонам, поскольку знак не меняется.

Обзор

Принцип исключения Паули описывает поведение всех фермионов (частиц с полуцелым спином ), тогда как на бозонов (частиц с целым спином) распространяются другие принципы. Фермионы включают элементарные частицы , такие как кварки , электроны и нейтрино . Кроме того, барионы, такие как протоны и нейтроны ( субатомные частицы, состоящие из трех кварков) и некоторые атомы (например, гелий-3 ), являются фермионами и поэтому также описываются принципом исключения Паули. Атомы могут иметь разный общий спин, который определяет, являются ли они фермионами или бозонами: например, гелий-3 имеет спин 1/2 и, следовательно, является фермионом, тогда как гелий-4 имеет спин 0 и является бозоном. Принцип Паули лежит в основе многих свойств повседневной материи, от ее крупномасштабной стабильности до химического поведения атомов .

Полуцелый спин означает, что значение собственного углового момента фермионов равно $\hbar =h/2\pi$ (приведенную постоянную Планка ) раз на полуцелое число (1/2, 3/2, 5/2 и т. д.). В теории квантовой механики фермионы описываются антисимметричными состояниями . Напротив, частицы с целым спином (бозоны) имеют симметричные волновые функции и могут иметь одни и те же квантовые состояния. К бозонам относятся фотон , куперовские пары , отвечающие за сверхпроводимость , а также W- и Z-бозоны . Фермионы получили свое название от статистического распределения Ферми-Дирака , которому они подчиняются, а бозоны получили свое название от распределения Бозе-Эйнштейна .

История

В начале 20 века стало очевидно, что атомы и молекулы с четным числом электронов химически более стабильны, чем атомы с нечетным числом электронов. «Атом и молекула» 1916 года Например, в статье Гилберта Н. Льюиса третий из шести постулатов химического поведения гласит, что атом имеет тенденцию удерживать четное число электронов в любой данной оболочке, и особенно удерживать восемь электронов, которые, как он предполагал, обычно располагаются симметрично в восьми углах куба . В 1919 году химик Ирвинг Ленгмюр предположил, что таблицу Менделеева можно объяснить, если электроны в атоме каким-либо образом связаны или сгруппированы. Считалось, что группы электронов занимают набор электронных оболочек вокруг ядра. В 1922 году Нильс Бор обновил свою модель атома , предположив, что определенное количество электронов (например, 2, 8 и 18) соответствует стабильным «закрытым оболочкам».

Паули искал объяснение этим цифрам, которые поначалу были лишь эмпирическими . В то же время он пытался объяснить экспериментальные результаты эффекта Зеемана в атомной спектроскопии и ферромагнетизме . Он нашел важную подсказку в статье Эдмунда К. Стоунера 1924 года , в которой указывалось, что для данного значения главного квантового числа ( n ) число энергетических уровней одного электрона в спектрах щелочных металлов во внешнем Магнитное поле, в котором разделены все вырожденные энергетические уровни , равно числу электронов в замкнутой оболочке благородных газов при том же значении n . Это привело Паули к пониманию того, что сложное число электронов в закрытых оболочках можно свести к простому правилу: один электрон на состояние, если электронные состояния определяются с использованием четырех квантовых чисел. С этой целью он ввел новое двузначное квантовое число, идентифицированное Сэмюэлем Гаудсмитом и Джорджем Уленбеком как спин электрона .

Связь с симметрией квантового состояния

В своей Нобелевской лекции Паули разъяснил важность симметрии квантового состояния для принципа исключения:

Среди различных классов симметрии наиболее важными (причём для двух частиц являются единственными) являются симметричный класс , в котором волновая функция не меняет своего значения при перестановке пространственных и спиновых координат двух частиц, и антисимметричный класс , в котором при такой перестановке волновая функция меняет знак... [Антисимметричный класс — это] правильная и общая волновая механическая формулировка принципа исключения.

Принцип исключения Паули с однозначной многочастичной волновой функцией эквивалентен требованию, чтобы волновая функция была антисимметричной относительно обмена . Если $|x\rangle$ и $|y\rangle$ пробегают базисные векторы гильбертова пространства, описывающего одночастичную систему, то тензорное произведение дает базисные векторы $|x,y\rangle =|x\rangle \otimes |y\rangle$ гильбертова пространства, описывающего систему двух таких частиц. Любое двухчастичное состояние можно представить как суперпозицию (то есть сумму) этих базисных векторов:

$|\psi \rangle =\sum _{x,y}A(x,y)|x,y\rangle ,$

где каждый A ( x , y ) представляет собой (комплексный) скалярный коэффициент. Антисимметрия при обмене означает, что A ( x , y ) = − A ( y , x ) . Это подразумевает A ( x , y ) = 0 , когда x = y , что является исключением Паули. Это верно для любого базиса, поскольку локальные изменения базиса сохраняют антисимметричные матрицы.

И наоборот, если диагональные величины A ( x , x ) равны нулю в каждом базисе , то компонент волновой функции

$A(x,y)=\langle \psi |x,y\rangle =\langle \psi |{\Big (}|x\rangle \otimes |y\rangle {\Big )}$

обязательно антисимметричен. Для доказательства рассмотрим матричный элемент

$\langle \psi |{\Big (}(|x\rangle +|y\rangle )\otimes (|x\rangle +|y\rangle ){\Big )}.$

Это ноль, потому что две частицы имеют нулевую вероятность находиться в состоянии суперпозиции. $|x\rangle +|y\rangle$. Но это равно

$\langle \psi |x,x\rangle +\langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle +\langle \psi |y,y\rangle .$

Первое и последнее члены являются диагональными элементами и равны нулю, а вся сумма равна нулю. Таким образом, элементы матрицы волновой функции подчиняются:

$\langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle =0,$

или

$A(x,y)=-A(y,x).$

Для системы с n > 2 частиц многочастичные базисные состояния становятся n -кратными тензорными произведениями одночастичных базисных состояний, а коэффициенты волновой функции $A(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ идентифицируются n одночастичными состояниями. Условие антисимметрии гласит, что коэффициенты должны менять знак всякий раз, когда меняются местами любые два состояния: $A(\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{j},\ldots )=-A(\ldots ,x_{j},\ldots ,x_{i},\ldots )$ для любого $i\neq j$. Принцип исключения – это следствие того, что, если $x_{i}=x_{j}$ для любого $i\neq j,$ затем $A(\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{j},\ldots )=0.$ Это показывает, что ни одна из n частиц не может находиться в одном и том же состоянии.

Расширенная квантовая теория

Согласно теореме о спин-статистике , частицы с целым спином занимают симметричные квантовые состояния, а частицы с полуцелым спином - антисимметричные состояния; более того, принципы квантовой механики допускают только целые или полуцелые значения спина.В релятивистской квантовой теории поля принцип Паули следует из применения оператора вращения в мнимом времени к частицам с полуцелым спином.

В одном измерении бозоны, как и фермионы, могут подчиняться принципу исключения. Одномерный бозе-газ с отталкивающими взаимодействиями бесконечной силы с дельта-функцией эквивалентен газу свободных фермионов. Причина этого в том, что в одном измерении обмен частицами требует, чтобы они прошли друг через друга; при бесконечно сильном отталкивании этого не может быть. Эта модель описывается квантовым нелинейным уравнением Шрёдингера . В пространстве импульсов принцип исключения справедлив и для конечного отталкивания в бозе-газе с взаимодействиями с дельта-функцией: а также для взаимодействующих спинов и модели Хаббарда в одном измерении, а также для других моделей, решаемых анзацем Бете . Основным состоянием в моделях, решаемых анзацем Бете, является ферми-сфера .

Приложения

Атомы

Принцип Паули помогает объяснить широкий спектр физических явлений. Одним из особенно важных последствий этого принципа является сложная структура электронной оболочки атомов и способ обмена атомами электронов, что объясняет разнообразие химических элементов и их химических комбинаций. Электрически нейтральный атом содержит связанные электроны, число которых равно количеству протонов в ядре . Электроны, будучи фермионами, не могут занимать то же квантовое состояние, что и другие электроны, поэтому электроны должны «складываться» внутри атома, т.е. иметь разные спины, находясь на одной и той же электронной орбитали, как описано ниже.

Примером может служить нейтральный атом гелия (He), который имеет два связанных электрона, оба из которых могут занимать состояния с наименьшей энергией ( 1s ), приобретая противоположный спин; поскольку спин является частью квантового состояния электрона, два электрона находятся в разных квантовых состояниях и не нарушают принцип Паули. Однако спин может принимать только два разных значения ( собственные значения ). В атоме лития (Li) с тремя связанными электронами третий электрон не может находиться в состоянии 1s и вместо этого должен занимать состояние с более высокой энергией. Самое низкое доступное состояние — 2 с , так что основное состояние Li — 1 с. ² 2 с . Точно так же все более крупные элементы должны иметь оболочки с последовательно более высокой энергией. Химические свойства элемента во многом зависят от количества электронов во внешней оболочке; Атомы с разным числом занятых электронных оболочек, но с одинаковым количеством электронов во внешней оболочке, обладают сходными свойствами, что приводит к возникновению периодической таблицы элементов .

Чтобы проверить принцип исключения Паули для атома гелия, Гордон Дрейк провел очень точные расчеты для гипотетических состояний атома He, нарушающих его, которые называются паронными состояниями . Позже К. Дейламян с соавт. использовал атомно-лучевой спектрометр для поиска паронного состояния 1s2s ¹ S ₀ рассчитано Дрейком. Поиск не увенчался успехом и показал, что статистический вес этого паронического состояния имеет верхний предел 5 × 10. ⁻⁶ . (Принцип исключения подразумевает нулевой вес.)

Свойства твердого тела

В проводниках и полупроводниках имеется очень большое количество молекулярных орбиталей , которые эффективно образуют непрерывную зонную структуру энергетических уровней . В сильных проводниках ( металлах ) электроны настолько вырождены , что не могут даже внести большой вклад в теплоемкость металла. Многие механические, электрические, магнитные, оптические и химические свойства твердых тел являются прямым следствием исключения Паули.

Стабильность материи

Дополнительная информация: Стабильность материи.

Стабильность каждого электронного состояния в атоме описывается квантовой теорией атома, которая показывает, что близкое приближение электрона к ядру обязательно увеличивает кинетическую энергию электрона, что является применением принципа неопределенности Гейзенберга. Однако стабильность больших систем со многими электронами и многими нуклонами — это другой вопрос, и здесь требуется принцип исключения Паули.

Было показано, что принцип запрета Паули отвечает за то, что обычное объемное вещество стабильно и занимает объем. Это предположение было впервые сделано в 1931 году Полом Эренфестом , который указал, что электроны каждого атома не могут все попасть на орбиталь с самой низкой энергией и должны занимать все более крупные оболочки. Таким образом, атомы занимают объем и не могут быть сжаты слишком близко друг к другу.

Первое строгое доказательство было предоставлено в 1967 году Фрименом Дайсоном и Эндрю Ленардом ( де ), которые рассмотрели баланс сил притяжения (электрон-ядерных) и отталкивания (электрон-электронные и ядерно-ядерные) и показали, что обычная материя коллапсирует и занимает гораздо меньший объем без принципа Паули. Гораздо более простое доказательство было найдено позже Эллиотом Х. Либом и Уолтером Тиррингом в 1975 году. Они предоставили нижнюю границу квантовой энергии в терминах модели Томаса-Ферми , которая устойчива благодаря теореме Теллера . В доказательстве использовалась нижняя граница кинетической энергии, которая теперь называется неравенством Либа-Тирринга .

Следствием принципа Паули здесь является то, что электроны одного и того же спина удерживаются друг от друга за счет отталкивающего обменного взаимодействия , которое представляет собой короткодействующий эффект, действующий одновременно с дальнодействующей электростатической или кулоновской силой . Этот эффект частично ответственен за повседневное наблюдение в макроскопическом мире, согласно которому два твердых объекта не могут находиться в одном и том же месте в одно и то же время.

Астрофизика

Дайсон и Ленард не учли экстремальные магнитные или гравитационные силы, возникающие в некоторых астрономических объектах. В 1995 году Эллиот Либ и его коллеги показали, что принцип Паули по-прежнему приводит к стабильности в интенсивных магнитных полях, таких как нейтронные звезды , хотя и при гораздо более высокой плотности, чем в обычной материи. Следствием общей теории относительности является то, что в достаточно интенсивных гравитационных полях материя коллапсирует, образуя черную дыру .

Астрономия представляет собой впечатляющую демонстрацию эффекта принципа Паули в виде белых карликов и нейтронных звезд . В обоих телах атомная структура нарушается под действием экстремального давления, но звезды удерживаются в гидростатическом равновесии за счет давления вырождения , также известного как давление Ферми. Эта экзотическая форма материи известна как вырожденная материя . Огромная гравитационная сила массы звезды обычно удерживается в равновесии за счет теплового давления , вызванного теплом, выделяемым при термоядерном синтезе в ядре звезды. У белых карликов, которые не подвергаются ядерному синтезу, сила, противодействующая гравитации, обеспечивается давлением электронного вырождения . В нейтронных звездах , подверженных еще более сильным гравитационным силам, электроны сливаются с протонами, образуя нейтроны. Нейтроны способны создавать еще более высокое давление вырождения, давление вырождения нейтронов , хотя и в более коротком диапазоне. Это может стабилизировать нейтронные звезды от дальнейшего коллапса, но при меньшем размере и более высокой плотности. чем белый карлик. Нейтронные звезды — самые «твердые» из известных объектов; их модуль Юнга (точнее, модуль объемного сжатия ) на 20 порядков больше, чем у алмаза . Однако даже эту огромную жесткость можно преодолеть гравитационным полем нейтронной звезды, масса которого превышает предел Толмана-Оппенгеймера-Волкова , что приводит к образованию черной дыры .

См. также

• Теорема о спиновой статистике
• Биржевое взаимодействие
• Обменная симметрия
• Статистика Ферми – Дирака
• ферми-дырка
• Правило собаки
• эффект Паули

Ссылки

Общий

• Дилл, Дэн (2006). «Глава 3.5, Многоэлектронные атомы: ферми-дырки и ферми-кучи». Заметки по общей химии (2-е изд.) . У. Х. Фриман. ISBN  1-4292-0068-5 .
• Либофф, Ричард Л. (2002). Введение в квантовую механику . Аддисон-Уэсли. ISBN  0-8053-8714-5 .
• Массими, Микела (2005). Принцип исключения Паули . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-83911-4 .
• Типлер, Пол; Ллевелин, Ральф (2002). Современная физика (4-е изд.). У. Х. Фриман. ISBN  0-7167-4345-0 .
• Шерри, Эрик (2007). Таблица Менделеева: ее история и значение . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-530573-9 .

Внешние ссылки

• Нобелевская лекция: Принцип исключения и квантовая механика. Отчет Паули о развитии принципа исключения.