Квантовый деполяризующий канал

Квантовый деполяризующий канал — это модель квантового шума в квантовых системах. $d$ -мерный деполяризующий канал можно рассматривать как полностью положительную карту, сохраняющую следы. $\Delta _{\lambda }$ , в зависимости от одного параметра $\lambda$ , который отображает состояние $\rho$ на линейную комбинацию самого себя и максимально смешанного состояния ,

\Delta _{\lambda }(\rho )=(1-\lambda )\rho +{\frac {\lambda }{d}}I

.

Условие полной положительности требует $\lambda$ чтобы удовлетворить границы

0\leq \lambda \leq 1+{\frac {1}{d^{2}-1}}

.

Кубитовый канал

Канал деполяризации одного кубита имеет представление в виде суммы операторов. ^[1] на матрице плотности $\rho$ данный

\Delta _{\lambda }(\rho )=\sum _{i=0}^{3}K_{i}\rho K_{i}^{\dagger },

где $K_{i}$ являются операторами Крауса, заданными формулами

K_{0}={\sqrt {1-{\frac {3\lambda }{4}}}}I,K_{1}={\sqrt {\frac {\lambda }{4}}}X,K_{2}={\sqrt {\frac {\lambda }{4}}}Y,K_{3}={\sqrt {\frac {\lambda }{4}}}Z

и $\{I,X,Y,Z\}$ — матрицы Паули . Условие сохранения следа удовлетворяется тем, что $\sum _{i}K_{i}^{\dagger }K_{i}=I.$

Геометрически деполяризующий канал $\Delta _{\lambda }$ можно интерпретировать как равномерное сжатие сферы Блоха , параметризованное $\lambda$ . В случае, когда $\lambda =1$ канал возвращает максимально смешанное состояние для любого входного состояния $\rho$ , что соответствует полному сжатию сферы Блоха до одноточечной ${\frac {I}{2}}$ задано происхождением.

Классическая емкость

Теорема HSW утверждает, что классическая пропускная способность квантового канала $\Psi$ можно охарактеризовать как регуляризованную информацию Холево :

\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\chi \left(\Psi ^{\otimes n}\right)

Эту величину трудно вычислить, и это отражает наше незнание квантовых каналов. Однако если информация Холево является аддитивной для канала $\Psi$ , то есть,

\chi \left(\Psi \otimes \Psi \right)=\chi \left(\Psi \right)+\chi \left(\Psi \right)

Тогда мы сможем получить его классическую пропускную способность, вычислив информацию Холево канала.

Аддитивность информации Холево для всех каналов была известной открытой гипотезой в квантовой теории информации, но теперь известно, что эта гипотеза в целом неверна. Это было доказано, показав, что аддитивность минимальной выходной энтропии для всех каналов не выполняется. ^[2] что является эквивалентной гипотезой.

Тем не менее показано, что аддитивность информации Холево сохраняется для квантового деполяризующего канала: ^[3] Схема доказательства приведена ниже. Как следствие, переплетение нескольких вариантов использования канала не может увеличить классическую пропускную способность. В этом смысле канал ведет себя как классический канал. Чтобы достичь оптимальной скорости связи, достаточно выбрать ортонормированный базис для кодирования сообщения и выполнить измерения, которые проецируются на тот же базис на принимающей стороне.

Схема доказательства аддитивности информации Холево

Аддитивность информации Холево для деполяризующего канала была доказана Кристофером Кингом. ^[3] Он показал, что максимальная выходная p-норма деполяризующего канала является мультипликативной, что подразумевало аддитивность минимальной выходной энтропии, что эквивалентно аддитивности информации Холево.

Более сильная версия аддитивности информации Холево показана для деполяризующего канала. $\Delta _{\lambda }$ . Для любого канала $\Psi$ :

\chi \left(\Delta _{\lambda }\otimes \Psi \right)=\chi \left(\Delta _{\lambda }\right)+\chi \left(\Psi \right)

Это подразумевается следующей мультипликативностью максимальной выходной p-нормы (обозначенной как $v_{p}$ ):

v_{p}\left(\Delta _{\lambda }\otimes \Psi \right)=v_{p}\left(\Delta _{\lambda }\right)v_{p}\left(\Psi \right)

Направление, большее или равное указанному выше, тривиально, достаточно взять тензорное произведение состояний, которые достигают максимальной p-нормы для $\Delta _{\lambda }$ и $\Psi$ соответственно, и введите состояние продукта в канал продукта, чтобы получить выходную p-норму $v_{p}(\Delta _{\lambda })v_{p}(\Psi )$ . Доказательство обратного направления более сложное.

Основная идея доказательства состоит в том, чтобы переписать деполяризующий канал как выпуклую комбинацию более простых каналов и использовать свойства этих более простых каналов, чтобы получить мультипликативность максимальной выходной p-нормы для деполяризующего канала.

Оказывается, мы можем записать деполяризующий канал следующим образом:

\Delta _{\lambda }(\rho )=\sum _{n=1}^{2d^{2}(d+1)}c_{n}U_{n}^{*}\Phi _{\lambda }^{(n)}(\rho )Un

где $c_{n}$ 's - положительные числа, $U_{n}$ - унитарные матрицы, $\Phi _{\lambda }^{(n)}$ это некоторые дефазирующие каналы и $\rho$ является произвольным входным состоянием.

Следовательно, канал продукта можно записать как:

\left(\Delta _{\lambda }\otimes \Psi \right)(\rho )=\sum _{n=1}^{2d^{2}(d+1)}c_{n}\left(U_{n}^{*}\otimes I\right)\left(\Phi _{\lambda }^{(n)}\otimes \Psi \right)(\rho )\left(U_{n}\otimes I\right)

Ввиду выпуклости и унитарной инвариантности p-нормы достаточно показать более простую оценку:

\|\left(\Phi _{\lambda }^{(n)}\otimes \Psi \right)(\rho )\|_{p}\leq v_{p}(\Delta _{\lambda })v_{p}(\Psi )

Одним из важных математических инструментов, используемых при доказательстве этой оценки, является неравенство Либа – Тирринга , которое дает оценку p-нормы произведения положительных матриц. Подробности и выкладки доказательства опускаются, заинтересованные читатели отсылаются к упомянутой выше статье К. Кинга.

Обсуждение

Основной метод, использованный в этом доказательстве, а именно переписывание интересующего канала как выпуклой комбинации других более простых каналов, является обобщением метода, использованного ранее для доказательства аналогичных результатов для каналов с единичными кубитами . ^[4]

Тот факт, что классическая пропускная способность деполяризующего канала равна информации Холево канала, означает, что мы не можем реально использовать квантовые эффекты, такие как запутанность, для улучшения скорости передачи классической информации. В этом смысле деполяризующий канал можно рассматривать как классический канал.

Однако тот факт, что аддитивность информации Холево в целом не соблюдается, предполагает некоторые направления будущей работы, а именно поиск каналов, которые нарушают аддитивность, другими словами, каналов, которые могут использовать квантовые эффекты для улучшения классической емкости за пределами информации Холево.

Примечания

^ Майкл А. Нильсен и Исаак Л. Чуанг (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация . Издательство Кембриджского университета.
^ Гастингс 2009 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Кинг 2003 .
^ К. Кинг, Аддитивность для каналов единичных кубитов

Ссылки

Кинг, К. (14 января 2003 г.), «Пропускная способность квантового деполяризующего канала», IEEE Transactions on Information Theory , 49 (1): 221–229, arXiv : quant-ph/0204172v2 , doi : 10.1109/TIT.2002.806153
Гастингс, МБ (15 марта 2009 г.), «Супераддитивность возможностей связи с использованием запутанных входов», Nature Physics , 5 (4): 255–257, arXiv : 0809.3972v4 , Bibcode : 2009NatPh...5..255H , doi : 10.1038 /nphys1224
Уайльд, Марк М. (2017), Квантовая теория информации , Cambridge University Press, arXiv : 1106.1445 , Bibcode : 2011arXiv1106.1445W , doi : 10.1017/9781316809976.001

[1] Майкл А. Нильсен и Исаак Л. Чуанг (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация . Издательство Кембриджского университета.

[FOOTNOTEHastings2009-2] Гастингс 2009 .

[FOOTNOTEKing2003-3] Перейти обратно: ^а ^б Кинг 2003 .

[4] К. Кинг, Аддитивность для каналов единичных кубитов

[1]

[2]

[3]

[4]