Канал демпфирования амплитуды

В теории квантовой связи — канал затухания амплитуды это квантовый канал , который моделирует физические процессы, такие как спонтанное излучение . Естественным процессом, посредством которого может возникнуть этот канал, является спиновая цепочка, посредством которой ряд спиновых состояний, связанных независимым от времени гамильтонианом , может использоваться для отправки квантового состояния из одного места в другое. Результирующий квантовый канал оказывается идентичен каналу затухания амплитуды, для которого можно оценить квантовую емкость , классическую емкость и классическую емкость квантового канала с помощью запутанности.

Кубитовый канал

Здесь мы рассматриваем канал затухания амплитуды в случае одного кубита.

Любой квантовый канал можно определить несколькими эквивалентными способами. Например, согласно теореме Стайнспринга о расширении , канал ${\mathcal {D}}$ можно представить через изометрию $V$ как ${\mathcal {D}}(\rho )=\operatorname {tr} _{2}[V\rho V^{\dagger }]$, и мы говорим в этом случае, что $V$ является представлением Стайнспринга ${\mathcal {D}}$. В частности, канал демпфирования амплитуды одного кубита имеет представление Стайнспринга. $V$ данный $$V|0\rangle =|0,0\rangle ,\qquad V|1\rangle ={\sqrt {1-p}}|0,1\rangle +{\sqrt {p}}|1,0\rangle .$$Альтернативное эквивалентное представление дается через операторы Крауса. Это значит представить действие канала в виде $${\mathcal {N}}(\rho )=\sum _{j}K_{j}\rho K_{j}^{\dagger }$$для некоторого набора операторов $K_{j}$ такой, что $\sum _{j}K_{j}^{\dagger }K_{j}=I$. Для канала демпфирования амплитуды один из вариантов такого представления гласит: $${\mathcal {N}}(\rho )=K_{0}\rho K_{0}^{\dagger }+K_{1}\rho K_{1}^{\dagger }$$с $$K_{0}={\begin{pmatrix}1&0\\0&{\sqrt {1-p}}\end{pmatrix}},\qquad K_{1}={\begin{pmatrix}0&{\sqrt {p}}\\0&0\end{pmatrix}}\;.$$Более явно, мы, таким образом, имеем

${\cal {N}}_{p}\left[{\begin{pmatrix}\rho _{00}&\rho _{01}\\\rho _{10}&\rho _{11}\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}\rho _{00}+p\rho _{11}&{\sqrt {1-p}}\rho _{01}\\{\sqrt {1-p}}\rho _{10}&(1-p)\rho _{11}\end{pmatrix}}\;.$

Модель квантового канала спиновой цепи.

Основная конструкция квантового канала, основанная на корреляциях спиновых цепочек, состоит в том, чтобы иметь набор N связанных спинов. По обе стороны квантового канала есть две группы спинов, и мы называем их квантовыми регистрами, A и B. Сообщение отправляется, когда отправитель сообщения кодирует некоторую информацию в регистре A, а затем, после того как оно распространяется в течение некоторого времени t, а получатель позже извлекает его из B. Состояние $\rho _{A}$ готовится на A путем предварительного отделения спинов на A от спинов на остальной части цепочки. После подготовки, $\rho _{A}$ разрешено взаимодействовать с состоянием на оставшейся части цепочки, которая изначально имеет состояние $\sigma _{0}$. Состояние спиновой цепочки с течением времени можно описать формулой $R(t)=U(t)(\rho _{A}\otimes \sigma _{0})U^{\dagger }(t)$. Из этого соотношения мы можем получить состояние спинов, принадлежащих регистру B, отслеживая все остальные состояния цепочки.

$\rho _{B}(t)={\mbox{Tr}}^{(B)}[U(t)(\rho _{A}\otimes \sigma _{0})U^{\dagger }(t)]$

Это дает приведенное ниже отображение, которое описывает, как состояние A преобразуется как функция времени при передаче по квантовому каналу в B. U(t) — это просто некоторая унитарная матрица , которая описывает эволюцию системы как функцию времени.

$\rho _{A}\rightarrow {\mathcal {M}}(\rho _{A})\equiv \rho _{B}(t)={\mbox{Tr}}^{(B)}[U(t)(\rho _{A}\otimes \sigma _{0})U^{\dagger }(t)]$

Однако в этом описании квантового канала есть несколько проблем. Одно из предположений, связанных с использованием такого канала, заключается в том, что мы ожидаем, что состояния цепочки не будут нарушены. Хотя состояние может быть закодировано в A, не нарушая цепочку, чтение состояния из B повлияет на состояния остальной части спиновой цепочки. Таким образом, любые повторные манипуляции с регистрами A и B окажут неизвестное влияние на квантовый канал. Учитывая этот факт, определение пропускной способности этого отображения в целом не будет полезным, поскольку оно применимо только тогда, когда несколько копий цепочки работают параллельно. Чтобы вычислить значимые значения для этих мощностей, простая модель, приведенная ниже, позволяет точно определить емкости.

Решаемая модель

Используется спиновая цепочка, которая состоит из цепочки частиц со спином 1/2, связанных посредством ферромагнитного взаимодействия Гейзенберга , и описывается гамильтонианом : $H=-\sum _{\langle i,j\rangle }\hbar J_{ij}\left({\sigma }_{x}^{i}{\sigma }_{x}^{j}+{\sigma }_{y}^{i}{\sigma }_{y}^{j}+\gamma {\sigma }_{z}^{i}{\sigma }_{z}^{j}\right)-\sum _{i=1}^{N}\hbar B_{i}\sigma _{z}^{i}$

Предполагается, что входной регистр A и выходной регистр B занимают первые k и последние k спинов в цепочке, и что все спины в цепочке готовы находиться в состоянии со спином вниз в направлении z. Затем стороны используют все k своих состояний вращения для кодирования/декодирования одного кубита . Мотивацией для этого метода является то, что если бы было разрешено использовать все k спинов, у нас был бы канал k-кубитов, который был бы слишком сложным для полного анализа. Очевидно, что более эффективный канал будет использовать все k вращений, но, используя этот неэффективный метод, можно просмотреть полученные карты аналитически.

Чтобы выполнить кодирование одного бита с использованием k доступных битов , определяется вектор с одним спином вверх. $|j\rangle$, в котором все спины находятся в состоянии со спином вниз, кроме j-го, который находится в состоянии со спином вверх.

$|{j}\rangle \equiv \left|\downarrow \downarrow \cdots \downarrow \uparrow \downarrow \cdots \downarrow \right\rangle$

Отправитель готовит свой набор из k входных вращений следующим образом:

$|\Psi \rangle _{A}\equiv \alpha \left|\Downarrow \right\rangle _{A}+\beta |\phi _{1}\rangle _{A}$

где $\left|\Downarrow \right\rangle$ это состояние, в котором все позиции имеют замедленное вращение, и $|\phi _{1}\rangle$ представляет собой суперпозицию всех возможных состояний с одним спином вверх. Используя эти входные данные, можно найти состояние, которое описывает всю цепочку в данный момент времени t. Из такого состояния отслеживание спинов Nk, не принадлежащих приемнику, как мы бы это сделали в предыдущей модели, оставляет состояние B:

$\rho _{B}(t)=(|\alpha |^{2}+(1-\eta )|\beta |^{2})\left|\Downarrow \right\rangle _{B}\left\langle \Downarrow \right|+\eta |\beta |^{2}|\phi _{1}^{\prime }\rangle _{B}\langle \phi _{1}^{\prime }|+{\sqrt {\eta }}\alpha \beta ^{*}\left|\Downarrow \right\rangle _{B}\langle \phi _{1}^{\prime }|+{\sqrt {\eta }}\alpha ^{*}\beta |\phi _{1}^{\prime }\rangle _{B}\left\langle \Downarrow \right|$

где $\eta$ – константа, определяющая эффективность канала. Если мы представим состояния, в которых должен быть один спин $|1\rangle$ и те, где все вращения невозможны $|0\rangle$, это становится заметным в результате применения канала амплитудного демпфирования ${\mathcal {D}}_{n}$, характеризующийся следующими операторами Крауса :

$A_{0}=|0\rangle \langle 0|+{\sqrt {\eta }}|1\rangle \langle 1|$; $A_{1}={\sqrt {1-\eta }}|0\rangle \langle 1|$

Очевидно, тот факт, что канал затухания амплитуды описывает передачу квантовых состояний поперек спиновой цепочки, обусловлен тем, что гамильтониан системы сохраняет энергию . Хотя энергия может распределяться по мере того, как состояние с одним спином вверх передается по цепочке, спины в нижнем состоянии не могут внезапно набрать энергию и перейти в состояния со спином вверх.

Возможности канала амплитудного демпфирования

Описывая спин-цепь как канал демпфирования амплитуды, можно рассчитать различные мощности, связанные с каналом. Одним из полезных свойств этого канала, которое используется для определения этих мощностей, является тот факт, что два канала демпфирования амплитуды с эффективностью $\eta$ и $\eta '$ могут быть объединены. Такое объединение дает новый канал эффективности. $\eta$$\eta '$.

Квантовая емкость

Для расчета квантовой емкости используется карта ${\mathcal {D}}_{\eta }$ представлено следующим образом:

${\mathcal {D}}_{\eta }(\rho )\equiv {\mbox{Tr}}_{C}[V\left(\rho \otimes |0\rangle _{C}\langle 0|\right)V^{\dagger }]\;.$

Такое представление отображения получается добавлением вспомогательного гильбертова пространства ${\mathcal {H}}_{C}$ к тому из ${\mathcal {H}}_{A}$. и введение оператора V, который работает с A и C. Дополнительный канал, ${\tilde {\mathcal {D}}}_{\eta }$ также определена, где вместо трассировки C мы отслеживаем A. Определена операция замены S, которая преобразует A в C. С помощью этой операции, а также правила объединения каналов амплитудного затухания показано, что для $\eta \geqslant 0.5$:

${\tilde {\mathcal {D}}}_{\eta }(\rho )=S{\mathcal {D}}_{(1-\eta )/\eta }\left({\mathcal {D}}_{\eta }(\rho )\right)\;.$

Это соотношение демонстрирует, что канал является деградируемым, что гарантирует, что когерентная информация канала является аддитивной. Это означает, что квантовая емкость достигается при использовании одного канала.

Отображение затухания амплитуды применяется к общему входному состоянию, и на основе этого отображения энтропия фон Неймана на выходе находится как:

$S({\mathcal {D}}_{\eta }(\rho ))=H_{2}(\left(1+{\sqrt {(1-2\,\eta \,p)^{2}+4\,\eta \,|\gamma |^{2}}}\right)/2)\;,$

где $p\in [0,1]$ с государством $|1\rangle$ и $|\gamma |\leqslant {\sqrt {(1-p)p}}$ является термином согласованности. Глядя на очищение государства, обнаруживается, что:

$S(({\mathcal {D}}_{\eta }\otimes 1_{anc})(\Phi ))=H_{2}(\left(1+{\sqrt {(1-2\,(1-\eta )\,p)^{2}+4\,(1-\eta )\,|\gamma |^{2}}}\right)/2)$

Чтобы максимизировать квантовую емкость, мы выбираем такое $\gamma =0$ (из-за вогнутости энтропии : , что дает в качестве квантовой емкости следующее

$Q\equiv \max _{p\in [0,1]}\;{\Big \{}\;H_{2}(\eta \,p)-H_{2}((1-\eta )\,p)\;{\Big \}}\;$

Нахождение квантовой емкости $\eta <0.5$ это просто, поскольку квантовая емкость исчезает как прямой результат теоремы о запрете клонирования . Тот факт, что каналы могут быть составлены таким образом, означает, что квантовая емкость канала должна увеличиваться в зависимости от $\eta$.

Классическая способность с помощью запутывания

Чтобы вычислить пропускную способность, связанную с запутыванием, мы должны максимизировать квантовую взаимную информацию . Это можно найти путем добавления входной энтропии сообщения к полученной связной информации из предыдущего раздела. Оно снова максимизируется для $\gamma =0$. Таким образом, классическая способность с помощью запутанности оказывается

$C_{E}\equiv \max _{p\in [0,1]}\;{\Big \{}\;H_{2}(p)+H_{2}(\eta \,p)-H_{2}((1-\eta )\,p)\;{\Big \}}\;$

Классическая емкость

Теперь мы вычисляем C1, который представляет собой максимальный объем классической информации, который может быть передан с помощью незапутанного кодирования по параллельным каналам. Эта величина действует как нижняя граница классической пропускной способности C. Чтобы найти C1, классическая пропускная способность максимизируется при n=1. Мы рассматриваем ансамбль сообщений, каждое с вероятностью $\xi _{k}$. Информация Холево оказалась следующей:

$\chi \equiv H_{2}\left({\frac {1+{\sqrt {(1-2\,\eta \,p)^{2}+4\,\eta \,|\gamma |^{2}}}}{2}}\right)-\sum _{k}\xi _{k}H_{2}\left({\frac {1+{\sqrt {(1-2\,\eta \,p_{k})^{2}+4\,\eta \,|\gamma _{k}|^{2}}}}{2}}\right)\;$

В этом выражении $p_{k}$ и $\gamma _{k}$ являются совокупностью и термином согласованности, как определено ранее, и $p$ и $\gamma$ являются их средними значениями.

Чтобы найти C1, сначала находится верхняя граница C1, а затем набор $p_{k},\gamma _{k},\xi _{k}$ найдены удовлетворяющие этой границе. Как и прежде, $\gamma$ устанавливается равным 0, чтобы максимизировать первый член информации Холево . Отсюда мы используем тот факт, что двоичная энтропия $H_{2}(z)$ уменьшается по отношению к $|1/2+z|$ а также тот факт, что $H_{2}(1+{\sqrt {1-z^{2}}}/2)$ выпукло : относительно z, чтобы найти следующее неравенство

$\sum _{k}\xi _{k}H_{2}\left({\frac {1+{\sqrt {(1-2\,\eta \,p_{k})^{2}+4\,\eta \,|\gamma _{k}|^{2}}}}{2}}\right)\geqslant H_{2}\left({\frac {1+{\sqrt {1-4\,\eta \,(1-\eta )(\sum _{k}\xi _{k}p_{k})^{2}}}}{2}}\right)$

Путем максимизации всех вариантов p находится следующая верхняя граница для C1:

$C_{1}\leqslant \max _{p\in [0,1]}{\Big \{}H_{2}\left(\eta \,p\right)-H_{2}\left({\frac {1+{\sqrt {1-4\,\eta \,(1-\eta )\,p^{2}}}}{2}}\right){\Big \}}\;$

Эта верхняя граница оказывается значением для C1, а параметры, реализующие эту границу: $\xi _{k}=1/d\,\!$, $p_{k}=p\,\!$, и $\gamma _{k}=e^{2\pi ik/d}{\sqrt {(1-p)p}}$.

Численный анализ мощностей

Из выражений для различных мощностей можно провести их численный анализ. Для $\eta$ При значении 1 три емкости максимальны, что приводит к тому, что квантовая и классическая емкости равны 1, а классическая емкость с помощью запутанности равна 2. Как упоминалось ранее, квантовая емкость равна 0 для любой $\eta$ менее 0,5, в то время как классическая емкость и классическая емкость с помощью запутывания достигают 0 для $\eta$ из 0. Когда $\eta$ меньше 0,5, в окружающую среду теряется слишком много информации, чтобы квантовая информация могла быть отправлена ​​принимающей стороне.

Эффективность спин-цепей как канала квантовой связи

Рассчитав пропускную способность канала амплитудного демпфирования в зависимости от эффективности канала, можно проанализировать эффективность такого канала в зависимости от расстояния между местом кодирования и местом декодирования. Бозе продемонстрировал, что эффективность падает в зависимости от $|r-s|^{-2/3}$, где r — позиция декодирования, а s — позиция кодирования. Ввиду того, что квантовая емкость исчезает при $\eta$ меньше 0,5, это означает, что расстояние между отправителем и получателем должно быть очень коротким, чтобы можно любую квантовую информацию было передать . Следовательно, длинные спиновые цепочки непригодны для передачи квантовой информации.

Внешние ссылки

• Джованнетти, В.; Фасио, Р. (2005). «Информационное описание спин-цепных корреляций». Физический обзор А. 71 (3): 032314. arXiv : quant-ph/0405110 . Бибкод : 2005PhRvA..71c2314G . дои : 10.1103/PhysRevA.71.032314 . S2CID   118903641 .
• Бозе, С. (2003). «Квантовая связь через немодулированную спиновую цепь». Письма о физических отзывах . 91 (20): 207901. arXiv : quant-ph/0212041 . Бибкод : 2003PhRvL..91t7901B . doi : 10.1103/PhysRevLett.91.207901 . ПМИД   14683398 . S2CID   31739795 .
• Майкл А. Нильсен, Исаак Л. Чуанг, «Квантовые вычисления и квантовая информация»
• Уайлд, Марк М. (2017), Квантовая теория информации , Издательство Кембриджского университета, arXiv : 1106.1445 , Bibcode : 2011arXiv1106.1445W , doi : 10.1017/9781316809976.001 , S2CID   2515538