Математическая формулировка квантовой механики

Математические формулировки квантовой механики — это те математические формализмы , которые позволяют строго описать квантовую механику . Этот математический формализм использует главным образом часть функционального анализа , особенно гильбертовы пространства , которые являются разновидностью линейного пространства . Они отличаются от математических формализмов физических теорий, разработанных до начала 1900-х годов, использованием абстрактных математических структур, таких как бесконечномерные гильбертовы пространства ( L ² в основном пространство ) и операторы в этих пространствах. Короче говоря, значения физических наблюдаемых , таких как энергия и импульс, больше не рассматривались как значения функций в фазовом пространстве , а как собственные значения ; точнее, как спектральные значения линейных операторов в гильбертовом пространстве.

Эти формулировки квантовой механики продолжают использоваться и сегодня. В основе описания лежат идеи квантового состояния и квантовых наблюдаемых , которые радикально отличаются от тех, которые использовались в предыдущих моделях физической реальности. Хотя математика позволяет вычислить многие величины, которые можно измерить экспериментально, существует определенный теоретический предел величин, которые можно измерить одновременно. Это ограничение было впервые объяснено Гейзенбергом посредством мысленного эксперимента и математически представлено в новом формализме некоммутативностью операторов, представляющих квантовые наблюдаемые.

До развития квантовой механики как отдельной теории математика, используемая в физике, состояла главным образом из формального математического анализа , начиная с исчисления и увеличивая сложность до дифференциальной геометрии и уравнений в частных производных . Теория вероятностей использовалась в статистической механике . В первых двух большую роль играла геометрическая интуиция, и, соответственно, теории относительности были сформулированы целиком в терминах дифференциально-геометрических понятий. Феноменология квантовой физики возникла примерно между 1895 и 1915 годами, и в течение 10–15 лет до развития квантовой механики (около 1925 года) физики продолжали думать о квантовой теории в рамках того, что сейчас называется классической физикой , и в частности внутри одних и тех же математических структур. Наиболее сложным примером этого является правило квантования Зоммерфельда-Вильсона-Ишивары , которое было полностью сформулировано на основе классического фазового пространства .

История формализма

и необходимость

Основная статья: Старая квантовая теория

В 1890-х годах Планк смог получить спектр черного тела , который позже был использован, чтобы избежать классической ультрафиолетовой катастрофы , сделав неортодоксальное предположение, что при взаимодействии электромагнитного излучения с веществом энергия может обмениваться только в дискретных единицах, которые он назвал кванты . Планк постулировал прямую пропорциональность между частотой излучения и квантом энергии на этой частоте. Константа пропорциональности h называется постоянной Планка теперь в его честь .

В 1905 году Эйнштейн объяснил некоторые особенности фотоэлектрического эффекта , предположив, что кванты энергии Планка были реальными частицами, которые позже были названы фотонами .

light at the right frequency

Все эти разработки были феноменологическими и бросали вызов теоретической физике того времени. Бор и Зоммерфельд модифицировали классическую механику , пытаясь вывести модель Бора из основных принципов. Они предположили, что из всех замкнутых классических орбит, прослеживаемых механической системой в ее фазовом пространстве, фактически разрешены только те, которые охватывают площадь, кратную постоянной Планка. Наиболее сложной версией этого формализма было так называемое квантование Зоммерфельда-Вильсона-Ишивары . Хотя модель атома водорода Бора можно было объяснить таким образом, спектр атома гелия (классически неразрешимая задача трех тел ) предсказать невозможно. Математический статус квантовой теории некоторое время оставался неопределенным.

В 1923 году де Бройль предположил, что корпускулярно-волновой дуализм применим не только к фотонам, но и к электронам и любой другой физической системе.

Ситуация быстро изменилась в 1925–1930 годах, когда рабочие математические основы были найдены благодаря новаторским работам Эрвина Шрёдингера , Вернера Гейзенберга , Макса Борна , Паскуаля Йордана , а также основополагающим работам Джона фон Неймана , Германа Вейля и Поля Дирака . стало возможным объединить несколько разных подходов с точки зрения свежего набора идей. Физическая интерпретация теории также прояснилась в эти годы после того, как Вернер Гейзенберг открыл соотношения неопределенностей и Нильс Бор ввел идею дополнительности .

«Новая квантовая теория»

Вернера Гейзенберга Матричная механика была первой успешной попыткой воспроизвести наблюдаемое квантование атомных спектров . Позже в том же году Шрёдингер создал свою волновую механику . Формализм Шрёдингера считался более простым для понимания, визуализации и вычислений, поскольку он приводил к дифференциальным уравнениям , с решением которых физики уже были знакомы. В течение года было показано, что обе теории эквивалентны.

Сам Шредингер изначально не понимал фундаментальной вероятностной природы квантовой механики, поскольку считал, что абсолютный квадрат волновой функции электрона следует интерпретировать как плотность заряда объекта, размазанного по протяженному, возможно, бесконечному объему пространства. . Именно Макс Борн ввёл интерпретацию абсолютного квадрата волновой функции как распределения вероятностей положения точечного объекта . Идею Борна вскоре подхватил Нильс Бор в Копенгагене, который затем стал «отцом» копенгагенской интерпретации квантовой механики. Шредингера волновая функция Можно увидеть, что тесно связана с классическим уравнением Гамильтона – Якоби . Еще более явное, хотя и несколько более формальное, соответствие классической механике было в матричной механике Гейзенберга. В своей докторской диссертации Поль Дирак обнаружил, что уравнение для операторов в представлении Гейзенберга , как его теперь называют, близко переводится в классические уравнения динамики некоторых величин в гамильтоновом формализме классической механики, когда их выражают через скобки Пуассона , процедура, теперь известная как каноническое квантование .

Точнее, еще до Шредингера молодой постдокторант Вернер Гейзенберг изобрел свою матричную механику , которая была первой правильной квантовой механикой – существенным прорывом. Формулировка матричной механики Гейзенберга была основана на алгебрах бесконечных матриц, что является очень радикальной формулировкой в ​​свете математики классической физики, хотя он исходил из индексной терминологии экспериментаторов того времени, даже не подозревая, что его «индексные схемы» были матрицами, как вскоре указал ему Борн. Фактически, в те первые годы линейная алгебра в ее нынешнем виде не пользовалась большой популярностью среди физиков.

Хотя сам Шредингер через год доказал эквивалентность своей волновой механики и матричной механики Гейзенберга, примирение этих двух подходов и их современная абстракция как движения в гильбертовом пространстве обычно приписывают Полю Дираку, который написал ясный отчет в своей классической книге 1930 года. Принципы квантовой механики . Он является третьим и, возможно, самым важным столпом этой области (вскоре он стал единственным, кто открыл релятивистское обобщение теории). В своем вышеупомянутом отчете он ввел обозначение скобки вместе с абстрактной формулировкой в ​​терминах гильбертова пространства, используемого в функциональном анализе; он показал, что подходы Шредингера и Гейзенберга представляют собой два разных представления одной и той же теории, и нашел третье, наиболее общее, которое отражает динамику системы. Его работа была особенно плодотворной во многих типах обобщений в этой области.

Первую полную математическую формулировку этого подхода, известную как аксиомы Дирака-фон Неймана , обычно приписывают книге Джона фон Неймана 1932 года «Математические основы квантовой механики» , хотя Герман Вейль уже упоминал о гильбертовых пространствах (которые он называл унитарными пространствами). ) в своей классической статье и книге 1927 года. Он разрабатывался параллельно с новым подходом к математической спектральной теории , основанным на линейных операторах, а не на квадратичных формах , которые были подходом Дэвида Гильберта поколением ранее. Хотя теории квантовой механики продолжают развиваться и по сей день, существует базовая основа для математической формулировки квантовой механики, которая лежит в основе большинства подходов и восходит к математическим работам Джона фон Неймана. Другими словами, дискуссии об интерпретации теории и ее расширениях сейчас в основном проводятся на основе общих предположений о математических основах.

Дальнейшие события

Применение новой квантовой теории к электромагнетизму привело к созданию квантовой теории поля , которая разрабатывалась примерно с 1930 года. Квантовая теория поля привела к развитию более сложных формулировок квантовой механики, из которых представленные здесь представляют собой простые частные случаи.

• Формулировка интеграла по траектории
• в фазовом пространстве Формулировка квантовой механики и геометрического квантования
• квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени
• аксиоматическая , алгебраическая и конструктивная квантовая теория поля
• C*-алгебры Формализм
• Обобщенная статистическая модель квантовой механики

Сопутствующая тема - отношение к классической механике. Предполагается, что любая новая физическая теория в некотором приближении сводится к успешным старым теориям. Для квантовой механики это означает необходимость изучения так называемого классического предела квантовой механики . Кроме того, как подчеркивал Бор, человеческие когнитивные способности и язык неразрывно связаны с классической сферой, и поэтому классические описания интуитивно более доступны, чем квантовые. В частности, квантование , а именно построение квантовой теории, классическим пределом которой является заданная и известная классическая теория, само по себе становится важной областью квантовой физики.

Наконец, некоторые из создателей квантовой теории (особенно Эйнштейн и Шрёдингер) были недовольны тем, что они считали философскими последствиями квантовой механики. В частности, Эйнштейн занял позицию, согласно которой квантовая механика должна быть неполной, что мотивировало исследования так называемых теорий скрытых переменных . Проблема скрытых переменных стала частично экспериментальной проблемой с помощью квантовой оптики .

Постулаты квантовой механики

Физическая система обычно описывается тремя основными ингредиентами: состояниями ; наблюдаемые ; и динамика (или закон эволюции во времени ) или, в более общем смысле, группа физических симметрий . Классическое описание может быть дано довольно прямым образом с помощью модели механики в фазовом пространстве: состояния — это точки в фазовом пространстве, сформулированном симплектическим многообразием , наблюдаемые — вещественные функции на нем, эволюция во времени задается однопараметрической группой. симплектических преобразований фазового пространства, а физические симметрии реализуются посредством симплектических преобразований. Квантовое описание обычно состоит из гильбертового пространства состояний, наблюдаемые являются самосопряженными операторами в пространстве состояний, временная эволюция задается однопараметрической группой унитарных преобразований в гильбертовом пространстве состояний, а физические симметрии реализуются формулой унитарные преобразования . (Можно обратимо отобразить эту картину в гильбертовом пространстве в формулировку фазового пространства . См. ниже.)

Следующее краткое изложение математической основы квантовой механики можно частично проследить до аксиом Дирака-фон Неймана .

Описание состояния системы

Каждой изолированной физической системе соответствует (топологически) сепарабельное комплексное гильбертово пространство H со скалярным произведением ⟨ φ | ψ ⟩ .

Постулат I

Состояние изолированной физической системы представлено в фиксированный момент времени. $t$вектором состояния $|\psi \rangle$ принадлежащий гильбертовому пространству ${\mathcal {H}}$ называется пространством состояний .

Сепарабельность — это математически удобная гипотеза, физическая интерпретация которой состоит в том, что состояние однозначно определяется счетным множеством наблюдений. Квантовые состояния можно отождествить с классами эквивалентности в H , где два вектора (длины 1) представляют одно и то же состояние, если они отличаются только фазовым коэффициентом . Таким образом, квантовые состояния образуют луч в проективном гильбертовом пространстве , а не вектор . Во многих учебниках не проводится это различие, что может быть частично результатом того факта, что само уравнение Шредингера неточного использования «вектора состояния», а не луча. включает в себя «векторы» гильбертова пространства, в результате чего очень трудно избежать .

Сопутствующим постулатом I является постулат составной системы:

Постулат составной системы

Гильбертово пространство составной системы — это тензорное произведение гильбертова пространства пространств состояний, связанных с компонентными системами. Для нерелятивистской системы, состоящей из конечного числа различимых частиц, компонентными системами являются отдельные частицы.

При наличии квантовой запутанности квантовое состояние сложной системы не может рассматриваться как тензорное произведение состояний ее локальных составляющих; Вместо этого оно выражается как сумма или суперпозиция тензорных произведений состояний составных подсистем. Подсистема в запутанной составной системе обычно не может быть описана вектором состояния (или лучом), а вместо этого описывается оператором плотности ; Такое квантовое состояние известно как смешанное состояние . Оператор плотности смешанного состояния — это ядерный неотрицательный ( положительно полуопределенный ) самосопряженный оператор ρ , нормированный на след 1. В свою очередь, любой оператор плотности смешанного состояния можно представить как подсистему более крупного оператора плотности смешанного состояния. сложная система в чистом состоянии (см. теорему очистки ).

В отсутствие квантовой запутанности квантовое состояние сложной системы называется сепарабельным состоянием . Матрицу плотности двудольной системы в сепарабельном состоянии можно выразить как $\rho =\sum _{k}p_{k}\rho _{1}^{k}\otimes \rho _{2}^{k}$, где $\;\sum _{k}p_{k}=1$. Если существует только один ненулевой $p_{k}$, то состояние можно выразить так же, как ${\textstyle \rho =\rho _{1}\otimes \rho _{2},}$ и называется просто сепарабельным или продуктивным состоянием.

Измерение в системе

Описание физических величин

Физические наблюдаемые представлены эрмитовыми матрицами на H . Поскольку эти операторы являются эрмитовыми, их собственные значения всегда действительны и представляют собой возможные результаты/результаты измерения соответствующей наблюдаемой. Если спектр наблюдаемой дискретен , то возможные результаты квантоваются .

Постулат II.а

Любая измеримая физическая величина ${\mathcal {A}}$ описывается эрмитовым оператором $A$ действуя в пространстве государства ${\mathcal {H}}$. Этот оператор является наблюдаемым, то есть его собственные векторы образуют основу для ${\mathcal {H}}$. Результат измерения физической величины ${\mathcal {A}}$ должно быть одним из собственных значений соответствующей наблюдаемой $A$.

Результаты измерений

С помощью спектральной теории мы можем связать вероятностную меру со значениями A в любом состоянии ψ . что возможные значения наблюдаемой A в любом состоянии должны принадлежать спектру A Мы также можем показать , . Среднее значение (в смысле теории вероятностей) наблюдаемой A для системы в состоянии, представленном единичным вектором ψ ∈ H , равно $\langle \psi |A|\psi \rangle$. Если мы представим состояние ψ в базисе, образованном собственными векторами A , то квадрат модуля компонента, присоединенного к данному собственному вектору, будет вероятностью наблюдения его соответствующего собственного значения.

Постулат II.б

Когда физическая величина ${\mathcal {A}}$ измеряется на системе в нормализованном состоянии $|\psi \rangle$, вероятность получения собственного значения (обозначается $a_{n}$ для дискретных спектров и $\alpha$ для непрерывных спектров) соответствующей наблюдаемой $A$ задается квадратом амплитуды соответствующей волновой функции (проекции на соответствующий собственный вектор).

${\begin{aligned}\mathbb {P} (a_{n})&=|\langle a_{n}|\psi \rangle |^{2}&{\text{(Discrete, nondegenerate spectrum)}}\\\mathbb {P} (a_{n})&=\sum _{i}^{g_{n}}|\langle a_{n}^{i}|\psi \rangle |^{2}&{\text{(Discrete, degenerate spectrum)}}\\d\mathbb {P} (\alpha )&=|\langle \alpha |\psi \rangle |^{2}d\alpha &{\text{(Continuous, nondegenerate spectrum)}}\end{aligned}}$

Для смешанного состояния ρ ожидаемое значение A в состоянии ρ равно $\operatorname {tr} (A\rho )$, а вероятность получения собственного значения $a_{n}$ в дискретном невырожденном спектре соответствующей наблюдаемой $A$ дан кем-то $\mathbb {P} (a_{n})=\operatorname {tr} (|a_{n}\rangle \langle a_{n}|\rho )=\langle a_{n}|\rho |a_{n}\rangle$.

Если собственное значение $a_{n}$ имеет вырожденные ортонормированные собственные векторы $\{|a_{n1}\rangle ,|a_{n2}\rangle ,\dots ,|a_{nm}\rangle \}$, то оператор проектирования на собственное подпространство можно определить как тождественный оператор в собственном подпространстве:

$$P_{n}=|a_{n1}\rangle \langle a_{n1}|+|a_{n2}\rangle \langle a_{n2}|+\dots +|a_{nm}\rangle \langle a_{nm}|,$$

а потом $\mathbb {P} (a_{n})=\operatorname {tr} (P_{n}\rho )$.

Постулаты II.a и II.b вместе известны как правило Борна квантовой механики.

Влияние измерения на состояние

При проведении измерения получается только один результат (согласно некоторым интерпретациям квантовой механики ). Математически это моделируется как обработка дополнительной информации, полученной в результате измерения, ограничивающая вероятность немедленного второго измерения той же самой наблюдаемой величины. В случае дискретного невырожденного спектра два последовательных измерения одной и той же наблюдаемой всегда будут давать одно и то же значение, при условии, что второе следует сразу за первым. Следовательно, вектор состояния должен измениться в результате измерения и схлопнуться на собственное подпространство, связанное с измеренным собственным значением.

Постулат II.c

Если измерение физической величины ${\mathcal {A}}$ о системе в штате $|\psi \rangle$ дает результат $a_{n}$, то состояние системы сразу после измерения является нормированной проекцией $|\psi \rangle$ на собственное подпространство, связанное с $a_{n}$

$|\psi \rangle \quad {\overset {a_{n}}{\Longrightarrow }}\quad {\frac {P_{n}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |P_{n}|\psi \rangle }}}$

Для смешанного состояния ρ после получения собственного значения $a_{n}$ в дискретном невырожденном спектре соответствующей наблюдаемой $A$, обновленное состояние определяется выражением ${\textstyle \rho '={\frac {P_{n}\rho P_{n}^{\dagger }}{\operatorname {tr} (P_{n}\rho P_{n}^{\dagger })}}}$. Если собственное значение $a_{n}$ имеет вырожденные ортонормированные собственные векторы $\{|a_{n1}\rangle ,|a_{n2}\rangle ,\dots ,|a_{nm}\rangle \}$, то оператор проектирования на собственное подпространство равен $P_{n}=|a_{n1}\rangle \langle a_{n1}|+|a_{n2}\rangle \langle a_{n2}|+\dots +|a_{nm}\rangle \langle a_{nm}|$.

Постулаты II.c иногда называют «правилом обновления состояния» или «правилом свертывания»; Вместе с правилом Борна (постулаты II.a и II.b) они образуют полное представление об измерениях и иногда вместе называются постулатом(ами) измерения.

Обратите внимание, что проекционные меры (PVM), описанные в постулате(ах) измерения, можно обобщить до положительных операторных мер (POVM), которые являются наиболее общим видом измерений в квантовой механике. POVM можно понимать как воздействие на компонентную подсистему, когда PVM выполняется на более крупной составной системе (см. теорему о расширении Наймарка ).

системы

Хотя можно вывести уравнение Шредингера, которое описывает, как вектор состояния развивается во времени, в большинстве текстов это уравнение утверждается как постулат. Общие выводы включают использование гипотезы де Бройля или интегралов по путям .

Постулат III

Временная эволюция вектора состояния $|\psi (t)\rangle$ определяется уравнением Шредингера, где $H(t)$ — наблюдаемая, связанная с полной энергией системы (называемая гамильтонианом )

$i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi (t)\rangle =H(t)|\psi (t)\rangle$

Аналогично, постулат эволюции во времени можно сформулировать так:

Постулат III

Временная эволюция замкнутой системы описывается унитарным преобразованием в начальном состоянии.

$|\psi (t)\rangle =U(t;t_{0})|\psi (t_{0})\rangle$

Для замкнутой системы в смешанном состоянии ρ временная эволюция равна $\rho (t)=U(t;t_{0})\rho (t_{0})U^{\dagger }(t;t_{0})$.

Эволюция открытой квантовой системы может быть описана с помощью квантовых операций (в формализме операторной суммы ) и квантовых инструментов и, как правило, не обязательно должна быть унитарной.

постулатов

• Физические симметрии действуют на гильбертовом пространстве квантовых состояний унитарно или антиунитарно в силу теоремы Вигнера ( суперсимметрия — это совсем другое дело).
• Операторы плотности — это операторы, находящиеся в замыкании выпуклой оболочки одномерных ортогональных проекторов. И наоборот, одномерные ортогональные проекторы являются крайними точками множества операторов плотности. Физики также называют одномерные ортогональные проекторы чистыми состояниями , а другие операторы плотности — смешанными состояниями .
• Гейзенберга В этом формализме можно сформулировать принцип неопределенности и доказать его как теорему, хотя точная историческая последовательность событий, касающаяся того, кто что получил и в каких рамках, является предметом исторических исследований, выходящих за рамки данной статьи.
• Недавние исследования показали что постулат сложной системы (постулат тензорного произведения) может быть выведен из постулата состояния (постулат I) и постулатов измерения (постулаты II); Более того, также было показано что постулаты измерения (Постулаты II) могут быть выведены из «унитарной квантовой механики», которая включает только постулат состояния (Постулат I), постулат сложной системы (постулат тензорного произведения) и постулат унитарной эволюции (Постулат III).

Кроме того, к постулатам квантовой механики следует добавить еще основные положения о свойствах спина Паули и принципе исключения , см. ниже.

Вращение

Помимо других свойств, все частицы обладают величиной, называемой спином , собственным угловым моментом . Несмотря на название, частицы не вращаются вокруг оси в буквальном смысле, а квантовомеханическое вращение не имеет соответствия в классической физике. В представлении положения бесспиновая волновая функция имеет положение r и время t как непрерывные переменные, ψ = ψ ( r , t ) . Для спиновых волновых функций спин является дополнительной дискретной переменной: ψ = ψ ( r , t , σ ) , где σ принимает значения;

$$\sigma =-S\hbar ,-(S-1)\hbar ,\dots ,0,\dots ,+(S-1)\hbar ,+S\hbar \,.$$

То есть состояние одиночной частицы со спином S представляется (2 S + 1) -компонентным спинором комплекснозначных волновых функций.

Два класса частиц с очень разным поведением — это бозоны с целым спином ( S = 0, 1, 2, ... ) и фермионы с полуцелым спином ( S = 1 ⁄ 2 , 3 ⁄ 2 , 5 ⁄ 2 , ... ).

Постулат симметризации

Основная статья: Идентичные частицы

В квантовой механике две частицы можно отличить друг от друга двумя способами. Выполняя измерение внутренних свойств каждой частицы, можно различить частицы разных типов. В противном случае, если частицы идентичны, их траектории можно отслеживать, что позволяет различать частицы в зависимости от местоположения каждой частицы. Хотя второй метод разрешен в классической механике (т.е. все классические частицы рассматриваются с различимостью), то же самое нельзя сказать о квантово-механических частицах, поскольку этот процесс неосуществим из-за фундаментальных принципов неопределенности, которые управляют малыми масштабами. Следовательно, требование неразличимости квантовых частиц представлено постулатом симметризации. Постулат применим к системе бозонов или фермионов, например, при предсказании спектров атома гелия . Постулат, объясненный в следующих разделах, можно сформулировать следующим образом:

Постулат симметризации

Волновая функция системы из N одинаковых частиц (в 3D) является либо полностью симметричной (бозоны), либо полностью антисимметричной (фермионы) при обмене любой парой частиц.

Исключения могут возникнуть, когда частицы ограничены двумя пространственными измерениями, где возможно существование частиц, известных как анионы, которые, как говорят, обладают континуумом статистических свойств, охватывающим диапазон между фермионами и бозонами. Связь между поведением тождественных частиц и их спином дает теорема о статистике спина .

Можно показать, что две частицы, локализованные в разных областях пространства, все еще можно представить с помощью симметризованной/антисимметризованной волновой функции и что независимая обработка этих волновых функций дает тот же результат. Следовательно, постулат симметризации применим в общем случае системы тождественных частиц.

Обменное

В системе идентичных частиц пусть P будет известен как оператор обмена, который действует на волновую функцию следующим образом:

$P{\bigg (}\cdots |\psi \rangle |\phi \rangle \cdots {\bigg )}\equiv \cdots |\phi \rangle |\psi \rangle \cdots$

Если дана физическая система идентичных частиц, волновая функция всех частиц может быть хорошо известна из наблюдений, но их нельзя приписать каждой частице. Таким образом, вышеупомянутая обмененная волновая функция представляет то же физическое состояние, что и исходное состояние, что означает, что волновая функция не уникальна. Это известно как обменное вырождение.

В более общем плане рассмотрим линейную комбинацию таких состояний: $|\Psi \rangle$. Для наилучшего представления физической системы мы ожидаем, что это будет собственный вектор P , поскольку не исключено, что оператор обмена дает совершенно разные векторы в проективном гильбертовом пространстве. С $P^{2}=1$возможные собственные значения P равны +1 и −1. $|\Psi \rangle$ состояния для одинаковой системы частиц представлены как симметричные для +1 собственного значения или антисимметричные для -1 собственного значения следующим образом:

$P|\cdots n_{i},n_{j}\cdots ;S\rangle =+|\cdots n_{i},n_{j}\cdots ;S\rangle$

$P|\cdots n_{i},n_{j}\cdots ;A\rangle =-|\cdots n_{i},n_{j}\cdots ;A\rangle$

Явная симметричная/антисимметричная форма $|\Psi \rangle$строится с использованием оператора симметризатора или антисимметризатора . Частицы, образующие симметричные состояния, называются бозонами , а частицы, образующие антисимметричные состояния, — фермионами. Связь спина с этой классификацией определяется теоремой спиновой статистики , которая показывает, что частицы с целым спином являются бозонами, а частицы с полуцелым спином - фермионами.

исключения

Свойство спина связано с другим основным свойством систем из N одинаковых частиц: принципом Паули , который является следствием следующего перестановочного поведения волновой функции N -частиц; снова в представлении положения нужно постулировать, что для перестановки любых двух из N частиц всегда должно быть

принцип Паули

$\psi (\dots ,\,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\,\dots ,\,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\,\dots )=(-1)^{2S}\cdot \psi (\dots ,\,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\,\dots ,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\,\dots )$

т. е. при перестановке аргументов любых двух частиц волновая функция должна воспроизводить , кроме префактора (−1) ^{2 С} что равно +1 для бозонов, но ( −1 ) для фермионов . Электроны — это фермионы с S = 1/2 ; кванты света — это бозоны с S = 1 .

Из-за формы антисимметричной волновой функции:

$\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}(x_{1},\ldots ,x_{N})={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\left|{\begin{matrix}\psi _{n_{1}}(x_{1})&\psi _{n_{1}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{1}}(x_{N})\\\psi _{n_{2}}(x_{1})&\psi _{n_{2}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{2}}(x_{N})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\psi _{n_{N}}(x_{1})&\psi _{n_{N}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{N}}(x_{N})\\\end{matrix}}\right|$

если волновая функция каждой частицы полностью определяется набором квантовых чисел, то два фермиона не могут иметь один и тот же набор квантовых чисел, поскольку результирующая функция не может быть антисимметризованной (т.е. приведенная выше формула дает ноль). Чего нельзя сказать о бозонах, поскольку их волновая функция равна:

$|x_{1}x_{2}\cdots x_{N};S\rangle ={\frac {\prod _{j}n_{j}!}{N!}}\sum _{p}\left|x_{p(1)}\right\rangle \left|x_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|x_{p(N)}\right\rangle$

где $n_{j}$ — количество частиц с одинаковой волновой функцией.

из

В нерелятивистской квантовой механике все частицы являются либо бозонами, либо фермионами ; в релятивистских квантовых теориях существуют также «суперсимметричные» теории, где частица представляет собой линейную комбинацию бозонной и фермионной частей. Только в размерности d = 2 можно построить сущности, где (−1) ^{2 С} заменяется произвольным комплексным числом с величиной 1, называемым анионами . В релятивистской квантовой механике теорема о спиновой статистике может доказать, что при определенном наборе предположений частицы с целым спином классифицируются как бозоны, а частицы с половинным спином классифицируются как фермионы . Говорят, что анионы, которые не образуют ни симметричных, ни антисимметричных состояний, имеют дробный спин.

Хотя спин и принцип Паули могут быть выведены только из релятивистских обобщений квантовой механики, свойства, упомянутые в последних двух абзацах, относятся к основным постулатам уже в нерелятивистском пределе. В частности, многие важные свойства в естествознании, например периодическая система химии, являются следствием этих двух свойств.

Математическая структура квантовой механики

Картинки динамики

Основная статья: Динамические картинки

• В так называемой картине квантовой механики Шрёдингера динамика описывается следующим образом:

  Временная эволюция состояния задается дифференцируемой функцией от действительных чисел R , представляющих моменты времени, в гильбертовом пространстве состояний системы. Это отображение характеризуется дифференциальным уравнением следующим образом: Если | ψ ( t )⟩ обозначает состояние системы в любой момент времени t , справедливо следующее уравнение Шредингера:

  Уравнение Шрёдингера (общее)

  $i\hbar {\frac {d}{dt}}\left|\psi (t)\right\rangle =H\left|\psi (t)\right\rangle$

  где H — плотно определенный самосопряженный оператор, называемый гамильтонианом системы , i — мнимая единица , а ħ — приведенная постоянная Планка . Как наблюдаемая величина H соответствует полной энергии системы.

  Альтернативно, по теореме Стоуна можно утверждать, что существует сильно непрерывное однопараметрическое унитарное отображение U ( t ) : H → H такое, что

  $$\left|\psi (t+s)\right\rangle =U(t)\left|\psi (s)\right\rangle$$
  на все времена с , т . Существование самосопряженного гамильтониана H такого, что
  $$U(t)=e^{-(i/\hbar )tH}$$
  является следствием теоремы Стоуна об однопараметрических унитарных группах. Предполагается, что H не зависит от времени и возмущение начинается в момент = _t0 0 ; в противном случае необходимо использовать ряд Дайсона , формально записанный как
  $$U(t)={\mathcal {T}}\left[\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt'\,H(t')\right)\right],$$
  где ${\mathcal {T}}$ Дайсона — это символ упорядочения времени .

  (Этот символ переставляет произведение некоммутирующих операторов вида

  $$B_{1}(t_{1})\cdot B_{2}(t_{2})\cdot \dots \cdot B_{n}(t_{n})$$
  в однозначно определенное переупорядоченное выражение
  $$B_{i_{1}}(t_{i_{1}})\cdot B_{i_{2}}(t_{i_{2}})\cdot \dots \cdot B_{i_{n}}(t_{i_{n}})$$
  с $t_{i_{1}}\geq t_{i_{2}}\geq \dots \geq t_{i_{n}}\,.$
  Результатом является причинно-следственная цепочка: первопричина в прошлом находится на крайнем правом, и, наконец, настоящее следствие на крайнем левом.)
• о Представление Гейзенберга квантовой механике фокусируется на наблюдаемых, и вместо того, чтобы рассматривать состояния как изменяющиеся во времени, оно рассматривает состояния как фиксированные, а наблюдаемые как изменяющиеся. Чтобы перейти от картины Шредингера к картине Гейзенберга, необходимо определить независимые от времени состояния и зависящие от времени операторы следующим образом:
  $$\left|\psi \right\rangle =\left|\psi (0)\right\rangle$$
  $$A(t)=U(-t)AU(t).$$
  Затем легко проверить, что ожидаемые значения всех наблюдаемых одинаковы на обоих изображениях.
  $$\langle \psi \mid A(t)\mid \psi \rangle =\langle \psi (t)\mid A\mid \psi (t)\rangle$$
  и что зависящие от времени операторы Гейзенберга удовлетворяют
  Изображение Гейзенберга (общее)

  ${\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,A(t)]+{\frac {\partial A(t)}{\partial t}},$

  что верно для зависящего от времени A = A ( t ) . Обратите внимание, что выражение коммутатора является чисто формальным, когда один из операторов неограничен . Можно было бы указать представление выражения, чтобы оно имело смысл.
• Так называемая картина Дирака или картина взаимодействия имеет зависящие от времени состояния и наблюдаемые, развивающиеся относительно различных гамильтонианов. Эта картина наиболее полезна, когда эволюцию наблюдаемых можно решить точно, ограничивая любые сложности эволюцией состояний. По этой причине гамильтониан наблюдаемых называется «свободным гамильтонианом», а гамильтониан состояний — «гамильтонианом взаимодействия». В символах:
  Картина Дирака

  $i\hbar {\frac {d}{dt}}\left|\psi (t)\right\rangle ={H}_{\rm {int}}(t)\left|\psi (t)\right\rangle$

  $i\hbar {\frac {d}{dt}}A(t)=[A(t),H_{0}].$

  Однако картина взаимодействия не всегда существует. Во взаимодействующих квантовых теориях поля теорема Хаага утверждает, что картины взаимодействия не существует. Это связано с тем, что гамильтониан не может быть разделен на свободную и взаимодействующую часть внутри сектора суперотбора . Более того, даже если в картине Шрёдингера гамильтониан не зависит от времени, например H = H ₀ + V , в картине взаимодействия он зависит, по крайней мере, если V не коммутирует с H ₀ , поскольку

  $$H_{\rm {int}}(t)\equiv e^{{(i/\hbar })tH_{0}}\,V\,e^{{(-i/\hbar })tH_{0}}.$$

  Так что вышеупомянутую серию Dyson придется использовать в любом случае.

  Картина Гейзенберга наиболее близка к классической гамильтоновой механике (например, коммутаторы, входящие в приведенные выше уравнения, непосредственно переводятся в классические скобки Пуассона ); но это уже довольно «высокоумно», и большинство людей считают картину Шрёдингера наиболее простой для визуализации и понимания, если судить по педагогическим описаниям квантовой механики. Картина Дирака используется в теории возмущений и особенно связана с квантовой теорией поля и физикой многих тел .

  Подобные уравнения можно записать для любой однопараметрической унитарной группы симметрий физической системы. Время будет заменено подходящей координатой, параметризующей унитарную группу (например, углом поворота или расстоянием перемещения), а гамильтониан будет заменен сохраняющейся величиной, связанной с симметрией (например, угловым или линейным моментом).

Краткое содержание :

Эволюция:	Картина ( )
	Шрёдингер (S)	Гейзенберг (H)	Взаимодействие (Я)
И государство	$|\psi _{\rm {S}}(t)\rangle =e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }|\psi _{\rm {S}}(0)\rangle$	постоянный	$|\psi _{\rm {I}}(t)\rangle =e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }|\psi _{\rm {S}}(t)\rangle$
наблюдаемый	постоянный	$A_{\rm {H}}(t)=e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }$	$A_{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }$
Матрица плотности	$\rho _{\rm {S}}(t)=e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(0)e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }$	постоянный	$\rho _{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(t)e^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }$

Представления

Гейзенберга Исходная форма уравнения Шредингера зависит от выбора конкретного представления канонических коммутационных соотношений . Теорема Стоуна -фон Неймана гласит, что все неприводимые представления конечномерных коммутационных соотношений Гейзенберга унитарно эквивалентны. Систематическое понимание его последствий привело к в фазовом пространстве формулировке квантовой механики , которая работает в полном фазовом пространстве вместо гильбертова пространства , то есть с более интуитивной связью с его классическим пределом . Эта картина также упрощает рассуждения квантования , расширения деформации от классической до квантовой механики.

Квантовый гармонический осциллятор — это точно решаемая система, различные представления которой легко сравнивать. Там, помимо представлений Гейзенберга или Шредингера (положение или импульс) или представлений в фазовом пространстве, можно также встретить представление Фока (число) и представление Сигала-Баргмана (пространство Фока или когерентное состояние) (названное в честь Ирвинга Сигала и Валентин Баргманн ). Все четыре унитарно эквивалентны.

Время как оператор

Представленная до сих пор структура выделяет время как параметр , от которого зависит все. Можно сформулировать механику так, что время само станет наблюдаемой, связанной с самосопряженным оператором. На классическом уровне можно произвольно параметризовать траектории частиц нефизическим параметром s , и в этом случае время t становится дополнительной обобщенной координатой физической системы. На квантовом уровне сдвиги в s будут генерироваться «гамильтонианом» H − E , где E — оператор энергии, а H — «обычный» гамильтониан. Однако, поскольку s является нефизическим параметром, физические состояния должны оставаться инвариантными в результате « s -эволюции», и поэтому пространство физических состояний является ядром H − E (это требует использования оснащенного гильбертова пространства и перенормировки норма).

Это связано с квантованием систем со связями и квантованием калибровочных теорий . Это Также возможно сформулировать квантовую теорию «событий», в которой время становится наблюдаемой.

Проблема измерения

Основная статья: Измерения в квантовой механике

Картины, приведенной в предыдущих параграфах, достаточно для описания полностью изолированной системы. Однако он не может объяснить одно из основных различий между квантовой механикой и классической механикой, а именно эффекты измерения . Описание фон Неймана квантового измерения наблюдаемой A , когда система подготовлена ​​в чистом состоянии ψ , следующее (обратите внимание, однако, что описание фон Неймана датируется 1930-ми годами и основано на экспериментах, выполненных в то время: более конкретно , эксперимент Комптона-Саймона неприменим к большинству современных измерений в квантовой области):

• Пусть A имеет спектральное разрешение
  $$A=\int \lambda \,d\operatorname {E} _{A}(\lambda ),$$
  где EA _— разрешение тождества (также называемого проекционнозначной мерой связанного с A. ) , Тогда вероятность того, что результат измерения лежит в интервале B из R, равна |E _A ( B ) ψ | ² . Другими словами, вероятность получается путем интегрирования характеристической функции B по счетно-аддитивной мере
  $$\langle \psi \mid \operatorname {E} _{A}\psi \rangle .$$
• Если измеренная величина содержится в B , то сразу после измерения система будет находиться в (вообще говоря, ненормированном) состоянии E _A ( B ) ψ . Если измеренное значение не лежит в B , замените B его дополнением для вышеуказанного состояния.

Например, предположим, что пространство состояний представляет собой n -мерное комплексное гильбертово пространство C ^н и A — эрмитова матрица с собственными значениями λ _i и соответствующими собственными векторами ψ _i . мера с проекционным значением, связанная с A , E _A Тогда , равна

$$\operatorname {E} _{A}(B)=|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|,$$

где B — борелевское множество, содержащее только одно собственное значение λ _i . Если система подготовлена ​​в состоянии

$$|\psi \rangle$$

Тогда вероятность того, что измерение вернет значение λ _i, можно вычислить путем интегрирования спектральной меры

$$\langle \psi \mid \operatorname {E} _{A}\psi \rangle$$

над Б _я . Это дает тривиально

$$\langle \psi |\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}\mid \psi \rangle =|\langle \psi \mid \psi _{i}\rangle |^{2}.$$

Характерным свойством схемы измерений фон Неймана является то, что повторение одного и того же измерения дает одни и те же результаты. Это еще называют постулатом проекции .

В более общей формулировке мера с проекционным значением заменяется мерой с положительным операторным значением (POVM). Для иллюстрации снова возьмем конечномерный случай. Здесь мы бы заменили проекции ранга 1

$$|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|$$

конечным набором положительных операторов

$$F_{i}F_{i}^{*}$$

сумма которого по-прежнему является тождественным оператором, как и раньше (разрешение тождества). Точно так же, как набор возможных результатов { λ ₁ ... λ _n } связан с проекционнозначной мерой, то же самое можно сказать и о POVM. Предположим, что результатом измерения является λ _i . Вместо того, чтобы свернуть в (ненормализованное) состояние

$$|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|\psi \rangle$$

после измерения система теперь будет в состоянии

$$F_{i}|\psi \rangle .$$

Поскольку операторы F _i F _i * не обязательно должны быть взаимно ортогональными проекциями, постулат фон Неймана о проекции больше не выполняется.

Та же формулировка применима и к общим смешанным состояниям .

В подходе фон Неймана трансформация состояния в результате измерения отличается от трансформации во времени по нескольким причинам. Например, эволюция во времени детерминирована и унитарна, тогда как измерение недетерминировано и неунитарно. Однако, поскольку оба типа преобразования состояний переводят одно квантовое состояние в другое, эта разница многими рассматривалась как неудовлетворительная. Формализм POVM рассматривает измерение как одну из многих других квантовых операций , которые описываются полностью положительными отображениями , не увеличивающими след.

В любом случае кажется, что вышеупомянутые проблемы могут быть решены только в том случае, если временная эволюция включала не только квантовую систему, но и, по существу, классическую измерительную аппаратуру (см. выше).

Список математических инструментов

Часть фольклора по этому предмету касается математической физики учебника «Методы математической физики», составленного Рихардом Курантом на курсах Давида Гильберта в Геттингенском университете . История рассказана (математиками), что физики отклонили этот материал как неинтересный для текущих областей исследований до появления уравнения Шредингера. В этот момент стало понятно, что в нем уже заложена математика новой квантовой механики. Также говорят, что Гейзенберг консультировался с Гильбертом по поводу его матричной механики, и Гильберт заметил, что его собственный опыт работы с бесконечномерными матрицами был основан на дифференциальных уравнениях, совет, который Гейзенберг проигнорировал, упустив возможность объединить теорию, как это сделали Вейль и Дирак. несколько лет спустя. Какова бы ни была основа этих анекдотов, математика теории была традиционной в то время, тогда как физика была радикально новой.

К основным инструментам относятся:

• линейная алгебра : комплексные числа, собственные векторы , собственные значения
• функциональный анализ : гильбертовые пространства , линейные операторы , спектральная теория
• дифференциальные уравнения : уравнения в частных производных , разделение переменных , обыкновенные дифференциальные уравнения , теория Штурма–Лиувилля , собственные функции
• гармонический анализ : преобразования Фурье

См. также

• Список математических тем квантовой теории
• Симметрия в квантовой механике

Ссылки

• Бойерле, Жерар Г.А.; де Керф, Эдди А. (1990). Алгебры Ли, Часть 1: Конечно- и бесконечномерные алгебры Ли и их приложения в физике . Исследования по математической физике. Амстердам: Северная Голландия. ISBN  0-444-88776-8 .
• Байрон, Фредерик В.; Фуллер, Роберт В. (1992). Математика классической и квантовой физики . Нью-Йорк: Курьерская корпорация. ISBN  978-0-486-67164-2 .
• Каркасси, Габриэле; Макконе, Лоренцо; Айдала, Кристин А. (16 марта 2021 г.). «Четыре постулата квантовой механики — это три». Письма о физических отзывах . 126 (11). Американское физическое общество (APS): 110402. arXiv : 2003.11007 . Бибкод : 2021PhRvL.126k0402C . дои : 10.1103/physrevlett.126.110402 . ISSN   0031-9007 . ПМИД   33798366 . S2CID   214623241 .
• Коэн-Таннуджи, Клод; Диу, Бернар; Лалоэ, Франк (2020). Квантовая механика. Том 2: Угловой момент, спин и методы аппроксимации . Вайнхайм: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA. ISBN  978-3-527-82272-0 .
• Дирак, ПАМ (1925). «Основные уравнения квантовой механики» . Труды Королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 109 (752): 642–653. Бибкод : 1925RSPSA.109..642D . дои : 10.1098/rspa.1925.0150 .
• Эдвардс, Дэвид А. (1979). «Математические основы квантовой механики». Синтезируйте . 42 (1). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 1–70. дои : 10.1007/bf00413704 . ISSN   0039-7857 . S2CID   46969028 .
• Гринштейн, Джордж; Зайонц, Артур (2006). Квантовый вызов . Садбери, Массачусетс: Jones & Bartlett Learning. ISBN  978-0-7637-2470-2 .
• Яух, Дж. М.; Вигнер, Е.П.; Янасэ, ММ (1997). «Некоторые комментарии относительно измерений в квантовой механике» . Часть I: Частицы и поля. Часть II: Основы квантовой механики . Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. стр. 475–482. дои : 10.1007/978-3-662-09203-3_52 . ISBN  978-3-642-08179-8 .
• Масанес, Луис; Галлей, Томас Д.; Мюллер, Маркус П. (2019). «Постулаты измерения квантовой механики функционально избыточны» . Природные коммуникации . 10 (1). Springer Science and Business Media LLC: 1361. arXiv : 1811.11060 . Бибкод : 2019NatCo..10.1361M . дои : 10.1038/s41467-019-09348-x . ISSN   2041-1723 . ПМК   6434053 . ПМИД   30911009 .
• Солем, Дж.К.; Биденхарн, LC (1993). «Понимание геометрических фаз в квантовой механике: элементарный пример». Основы физики . 23 (2): 185–195. Бибкод : 1993FoPh...23..185S . дои : 10.1007/BF01883623 . S2CID   121930907 .
• Стритер, Раймонд Фредерик; Вайтман, Артур Стронг (2000). РСТ, спин и статистика и все такое . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-07062-9 .
• Сакурай, Джун Джон; Наполитано, Джим (2021). Современная квантовая механика (3-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1-108-47322-4 .

Дальнейшее чтение

• Ауян, Санни Ю. (1995). Как возможна квантовая теория поля? . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета по запросу. ISBN  978-0-19-509344-5 .
• Эмч, Жерар Г. (1972). Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-23900-3 .
• Джакетта, Джованни; Манджаротти, Луиджи; Сарданашвили, Геннадий (2005). Геометрические и алгебро-топологические методы в квантовой механике . НАУЧНЫЙ МИР. arXiv : math-ph/0410040 . дои : 10.1142/5731 . ISBN  978-981-256-129-9 .
• Глисон, Эндрю М. (1957). «Меры на замкнутых подпространствах гильбертова пространства» . Журнал математики и механики . 6 (6). Математический факультет Университета Индианы: 885–893. JSTOR   24900629 .
• Холл, Брайан С. (2013). Квантовая теория для математиков . Тексты для аспирантов по математике. Том. 267. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. Бибкод : 2013qtm..книга.....H . дои : 10.1007/978-1-4614-7116-5 . ISBN  978-1-4614-7115-8 . ISSN   0072-5285 . S2CID   117837329 .
• Яух, Йозеф Мария (1968). Основы квантовой механики . Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. ISBN  0-201-03298-8 .
• Йост, Р. (1965). Общая теория квантованных полей . Лекции по прикладной математике. Американское математическое общество.
• Кун, Томас С. (1987). Теория черного тела и квантовый разрыв, 1894–1912 гг . Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN  978-0-226-45800-7 .
• Ландсман, Клаас (2017). Основы квантовой теории . Фундаментальные теории физики. Том. 188. Чам: Международное издательство Springer. дои : 10.1007/978-3-319-51777-3 . ISBN  978-3-319-51776-6 . ISSN   0168-1222 .
• Макки, Джордж В. (2004). Математические основы квантовой механики . Минеола, Нью-Йорк: Курьерская корпорация. ISBN  978-0-486-43517-6 .
• МакМахон, Дэвид (2013). Квантовая механика демистифицирована, 2-е издание (PDF) . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Prof Med/Tech. ISBN  978-0-07-176563-3 .
• Моретти, Вальтер (2017). Спектральная теория и квантовая механика . Юнитекст. Том. 110. Чам: Международное издательство Springer. дои : 10.1007/978-3-319-70706-8 . ISBN  978-3-319-70705-1 . ISSN   2038-5714 . S2CID   125121522 .
• Моретти, Вальтер (2019). Фундаментальные математические структуры квантовой теории . Чам: Международное издательство Springer. дои : 10.1007/978-3-030-18346-2 . ISBN  978-3-030-18345-5 . S2CID   197485828 .
• Пруговецкий, Эдуард (2006). Квантовая механика в гильбертовом пространстве . Минеола, Нью-Йорк: Публикации Courier Dover. ISBN  978-0-486-45327-9 .
• Рид, Майкл; Саймон, Барри (1972). Методы современной математической физики . Нью-Йорк: Академическая пресса. ISBN  978-0-12-585001-8 .
• Шанкар, Р. (2013). Принципы квантовой механики (PDF) . Спрингер. ISBN  978-1-4615-7675-4 .
• Тешль, Джеральд (2009). Математические методы в квантовой механике (PDF) . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-4660-5 .
• фон Нейман, Джон (2018). Математические основы квантовой механики . Принстон Оксфорд: Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-17856-1 .
• Уивер, Ник (2001). Математическое квантование . Чепмен и Холл/CRC. дои : 10.1201/9781420036237 . ISBN  978-0-429-07514-8 .
• Вейль, Герман (1950). Теория групп и квантовая механика . Минеола, Нью-Йорк: Курьерская корпорация. ISBN  978-0-486-60269-1 .