Связь между уравнением Шредингера и формулировкой квантовой механики, основанной на интеграле по путям.

Эта статья связывает уравнение Шредингера с формулировкой квантовой механики, основанной на интеграле по путям, с использованием простого нерелятивистского одномерного одночастичного гамильтониана, состоящего из кинетической и потенциальной энергии.

Фон

Уравнение Шрёдингера

Уравнение Шредингера в обозначениях Бра-кета имеет вид $$i\hbar {\frac {d}{dt}}\left|\psi \right\rangle ={\hat {H}}\left|\psi \right\rangle$$ где ${\hat {H}}$ — гамильтонов оператор .

Оператор Гамильтона можно записать $${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V({\hat {q}})$$ где $V({\hat {q}})$ – потенциальная энергия , m – масса, и для простоты мы предположили, что существует только одно пространственное измерение q .

Формальное решение уравнения есть

$$\left|\psi (t)\right\rangle =\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t\right)\left|q_{0}\right\rangle \equiv \exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t\right)|0\rangle$$

где мы предположили, что начальное состояние представляет собой пространственное состояние свободных частиц. $\left|q_{0}\right\rangle$.

Амплитуда вероятности перехода из начального состояния $\left|0\right\rangle$ до окончательного пространственного состояния свободных частиц $|F\rangle$ в момент Т времени

$$\langle F|\psi (T)\rangle =\left\langle F{\Biggr |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}T\right){\Biggl |}0\right\rangle .$$

Формулировка интеграла по траектории

Формулировка интеграла по траектории утверждает, что амплитуда перехода представляет собой просто интеграл величины $$\exp \left({\frac {i}{\hbar }}S\right)$$ по всем возможным путям от начального состояния к конечному. Здесь S — классическое действие .

Переформулировка этой амплитуды перехода, первоначально предложенная Дираком. и концептуализирован Фейнманом, составляет основу формулировки интеграла по путям.

От уравнения Шредингера к формулировке интеграла по траекториям

Следующий вывод использует формулу произведения Троттера , которая утверждает, что для самосопряженных операторов A и B (удовлетворяющих определенным техническим условиям) мы имеем $$e^{i(A+B)}\psi =\lim _{N\to \infty }\left(e^{iA/N}e^{iB/N}\right)^{N}\psi ,$$ даже если A и B не ездят на работу.

Мы можем разделить временной интервал [0, T ] на N отрезков длины $$\delta t={\frac {T}{N}}.$$

Тогда амплитуду перехода можно записать

$$\left\langle F{\biggr |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}T\right){\biggl |}0\right\rangle =\left\langle F{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right)\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right)\cdots \exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right){\bigg |}0\right\rangle .$$

Хотя операторы кинетической и потенциальной энергии не коммутируют, приведенная выше формула произведения Троттера говорит, что на каждом малом интервале времени мы можем игнорировать эту некоммутативность и писать

$$\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right)\approx \exp \left({-{i \over \hbar }{{\hat {p}}^{2} \over 2m}\delta t}\right)\exp \left({-{i \over \hbar }V\left(q_{j}\right)\delta t}\right).$$

Можно проверить, что вышеизложенное равенство сохраняется до первого порядка по δt , разложив экспоненту в степенной ряд.

Для простоты обозначений мы пока отложим эту замену.

Мы можем вставить единичную матрицу

$$I=\int dq\left|q\right\rangle \left\langle q\right|$$

N - 1 раз между экспонентами, чтобы получить

$$\left\langle F{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}T\right){\bigg |}0\right\rangle =\left(\prod _{j=1}^{N-1}\int dq_{j}\right)\left\langle F{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right){\bigg |}q_{N-1}\right\rangle \left\langle q_{N-1}{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right){\bigg |}q_{N-2}\right\rangle \cdots \left\langle q_{1}{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right){\bigg |}0\right\rangle .$$

Теперь мы реализуем замену, связанную с формулой произведения Троттера, так что мы фактически имеем

$$\left\langle q_{j+1}{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right){\bigg |}q_{j}\right\rangle =\left\langle q_{j+1}{\Bigg |}\exp \left({-{i \over \hbar }{{\hat {p}}^{2} \over 2m}\delta t}\right)\exp \left({-{i \over \hbar }V\left(q_{j}\right)\delta t}\right){\Bigg |}q_{j}\right\rangle .$$

Мы можем вставить личность

$$I=\int {dp \over 2\pi }\left|p\right\rangle \left\langle p\right|$$

в амплитуду, чтобы получить

$${\begin{aligned}\left\langle q_{j+1}{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right){\bigg |}q_{j}\right\rangle &=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}V\left(q_{j}\right)\delta t\right)\int {\frac {dp}{2\pi }}\left\langle q_{j+1}{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {p^{2}}{2m}}\delta t\right){\bigg |}p\right\rangle \langle p|q_{j}\rangle \\&=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}V\left(q_{j}\right)\delta t\right)\int {\frac {dp}{2\pi }}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {p^{2}}{2m}}\delta t\right)\left\langle q_{j+1}|p\right\rangle \left\langle p|q_{j}\right\rangle \\&=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}V\left(q_{j}\right)\delta t\right)\int {\frac {dp}{2\pi \hbar }}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {p^{2}}{2m}}\delta t-{\frac {i}{\hbar }}p\left(q_{j+1}-q_{j}\right)\right)\end{aligned}}$$

где мы использовали тот факт, что волновая функция свободной частицы равна $$\langle p|q_{j}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {\hbar }}}\exp \left({\frac {i}{\hbar }}pq_{j}\right).$$

Интеграл по p можно выполнить (см. Общие интегралы в квантовой теории поля ), чтобы получить

$$\left\langle q_{j+1}{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right){\bigg |}q_{j}\right\rangle ={\sqrt {-im \over 2\pi \delta t\hbar }}\exp \left[{i \over \hbar }\delta t\left({1 \over 2}m\left({q_{j+1}-q_{j} \over \delta t}\right)^{2}-V\left(q_{j}\right)\right)\right]$$

Амплитуда перехода за весь период времени равна

$$\left\langle F{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}T\right){\bigg |}0\right\rangle =\left({-im \over 2\pi \delta t\hbar }\right)^{N \over 2}\left(\prod _{j=1}^{N-1}\int dq_{j}\right)\exp \left[{i \over \hbar }\sum _{j=0}^{N-1}\delta t\left({1 \over 2}m\left({q_{j+1}-q_{j} \over \delta t}\right)^{2}-V\left(q_{j}\right)\right)\right].$$

Если мы возьмем предел больших N, амплитуда перехода уменьшится до

$$\left\langle F{\bigg |}\exp \left({-{i \over \hbar }{\hat {H}}T}\right){\bigg |}0\right\rangle =\int Dq(t)\exp \left({i \over \hbar }S\right)$$

где S — классическое действие , заданное формулой

$$S=\int _{0}^{T}dtL\left(q(t),{\dot {q}}(t)\right)$$

и L — классический лагранжиан, определяемый формулой

$$L\left(q,{\dot {q}}\right)={1 \over 2}m{\dot {q}}^{2}-V(q)$$

Любой возможный путь частицы, идущий от начального состояния к конечному, аппроксимируется ломаной линией и включается в меру интеграла $$\int Dq(t)=\lim _{N\to \infty }\left({\frac {-im}{2\pi \delta t\hbar }}\right)^{\frac {N}{2}}\left(\prod _{j=1}^{N-1}\int dq_{j}\right)$$

Это выражение фактически определяет способ получения интегралов по траекториям. Коэффициент перед выражением необходим для того, чтобы гарантировать, что выражение имеет правильные размеры, но он не имеет реального значения ни в каком физическом приложении.

Это восстанавливает формулировку интеграла по траекториям из уравнения Шредингера.

От формулировки интеграла по траекториям к уравнению Шрёдингера

Интеграл по путям воспроизводит уравнение Шредингера для начального и конечного состояния, даже когда присутствует потенциал. В этом легче всего убедиться, взяв интеграл по путям по бесконечно малым интервалам времени.

$$\psi (y;t+\varepsilon )=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x;t)\int _{x(t)=x}^{x(t+\varepsilon )=y}\exp \left(i\int _{t}^{t+\varepsilon }\left({\tfrac {1}{2}}{\dot {x}}^{2}-V(x)\right)dt\right)Dx(t)\,dx$$ ( 1 )

Поскольку временной интервал бесконечно мал, а компенсирующие колебания становятся серьезными при больших значениях ẋ , интеграл по траектории имеет наибольший вес для y, близкого к x . В этом случае до низшего порядка потенциальная энергия постоянна, и только вклад кинетической энергии нетривиален. (Это разделение членов кинетической и потенциальной энергии в показателе степени по сути является формулой произведения Троттера .) Экспонента действия равна

$$e^{-i\varepsilon V(x)}e^{i{\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}\varepsilon }$$

Первый член локально вращает фазу ψ ( x ) на величину, пропорциональную потенциальной энергии. Второй член — это распространитель свободных частиц, соответствующий i- кратному процессу диффузии. До низшего порядка по ε они аддитивны; в любом случае с (1) :

$$\psi (y;t+\varepsilon )\approx \int \psi (x;t)e^{-i\varepsilon V(x)}e^{\frac {i(x-y)^{2}}{2\varepsilon }}\,dx\,.$$

Как уже упоминалось, распространение ψ является диффузионным из-за распространения свободных частиц с дополнительным бесконечно малым вращением по фазе, которое медленно меняется от точки к точке от потенциала:

$${\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i\left({\tfrac {1}{2}}\nabla ^{2}-V(x)\right)\psi$$

и это уравнение Шрёдингера. Обратите внимание, что нормализацию интеграла по траекториям необходимо зафиксировать точно так же, как и в случае свободных частиц. Произвольный непрерывный потенциал не влияет на нормировку, хотя сингулярные потенциалы требуют осторожного обращения.