Супер алгебра Вирасоро

В математической физике супералгебра Вирасоро является расширением алгебры Вирасоро (названной в честь Мигеля Анхеля Вирасоро ) до супералгебры Ли . Есть два расширения, имеющие особое значение в теории суперструн : алгебра Рамона (названная в честь Пьера Рамона ) ^[1] и алгебра Невё – Шварца (названная в честь Андре Невё и Джона Генри Шварца ). ^[2] Обе алгебры имеют N = 1 суперсимметрию и четную часть, заданную алгеброй Вирасоро. Они описывают симметрию суперструны в двух разных секторах, называемых сектором Рамона и сектором Неве-Шварца .

N = 1 супералгебры Вирасоро

Существует два минимальных расширения алгебры Вирасоро с суперсимметрией N = 1: алгебра Рамона и алгебра Невё–Шварца. Обе они являются супералгебрами Ли, четная часть которых представляет собой алгебру Вирасоро: эта алгебра Ли имеет базис, состоящий из центрального элемента C и генераторов Lm _{) ,} (для целого числа m удовлетворяющих

$[L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {c}{12}}m(m^{2}-1)\delta _{m+n,0}$

где $\delta _{i,j}$ это дельта Кронекера .

Нечетная часть алгебры имеет базис $G_{r}$ , где $r$ является либо целым числом (случай Рамона), либо половиной нечетного целого числа (случай Неве – Шварца). В обоих случаях $c$ является центральным в супералгебре, а дополнительные градуированные скобки имеют вид

$[L_{m},G_{r}]=\left({\frac {m}{2}}-r\right)G_{m+r}$

$\{G_{r},G_{s}\}=2L_{r+s}+{\frac {c}{3}}\left(r^{2}-{\frac {1}{4}}\right)\delta _{r+s,0}$

Обратите внимание, что эта последняя скобка является антикоммутатором , а не коммутатором, поскольку обе образующие нечетны.

Алгебра Рамона имеет представление в виде двух генераторов и пяти условий; а алгебра Неве-Шварца имеет представление в виде двух образующих и девяти условий. ^[3]

Представительства

Унитарные представления этих алгебр со старшим весом имеют классификацию, аналогичную классификации алгебры Вирасоро, с континуумом представлений вместе с бесконечной дискретной серией. Существование этих дискретных рядов было предположено Дэниелом Фриданом , Зонганом Цю и Стивеном Шенкером (1984). Это было доказано Питером Годдардом , Адрианом Кентом и Дэвидом Оливом (1986), используя суперсимметричное обобщение конструкции смежного класса или конструкции GKO.

Приложение к теории суперструн

В теории суперструн фермионные поля на замкнутой струне могут быть либо периодическими, либо антипериодическими на окружности вокруг струны. Состояния в «секторе Рамона» допускают один вариант (периодические условия называются Рамона граничными условиями ), описываемые алгеброй Рамона, а состояния в «секторе Невё – Шварца» допускают другой вариант (антипериодические условия называются Граничные условия Невё–Шварца ), описываемые алгеброй Невё–Шварца.

Для фермионного поля периодичность зависит от выбора координат на мировом листе . В w-фрейме , в котором мировой лист состояния одной струны описывается как длинный цилиндр, состояния в секторе Неве – Шварца являются антипериодическими, а состояния в секторе Рамона – периодическими. В z-кадре , в котором мировой лист состояния одной струны описывается как бесконечная проколотая плоскость, верно обратное.

Сектор Неве–Шварца и сектор Рамона также определены в открытой струне и зависят от граничных условий фермионного поля на краях открытой струны.

См. также

Примечания

^ Рамон, П. (15 мая 1971 г.). «Двойная теория свободных фермионов». Физический обзор D . 3 (10). Американское физическое общество (APS): 2415–2418. Бибкод : 1971PhRvD...3.2415R . дои : 10.1103/physrevd.3.2415 . ISSN 0556-2821 .
^ Невё, А.; Шварц, Дж. Х. (1971). «Безтахионная двойная модель с траекторией положительного перехвата». Буквы по физике Б. 34 (6). Эльзевир Б.В.: 517–518. Бибкод : 1971PhLB...34..517N . дои : 10.1016/0370-2693(71)90669-1 . ISSN 0370-2693 .
^ Фэрли, Д.Б.; Нуйц, Дж.; Захос, СК (1988). «Презентация алгебр Вирасоро и супер-Вирасоро» . Связь в математической физике . 117 (4): 595. Бибкод : 1988CMaPh.117..595F . дои : 10.1007/BF01218387 . S2CID 119811901 .

Ссылки

Беккер, К.; Беккер, М.; Шварц, Дж. Х. (2007), Теория струн и М-теория: современное введение , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86069-7
Годдард, П .; Кент, А.; Олив, Д. (1986), "Унитарные представления алгебр Вирасоро и супер-Вирасоро" , Comm. Математика. Физ. , 103 (1): 105–119, Bibcode : 1986CMaPh.103..105G , doi : 10.1007/bf01464283 , S2CID 91181508 , заархивировано из оригинала 09 декабря 2012 г.
Грин, Майкл Б .; Шварц, Джон Х .; Виттен, Эдвард (1988a), Теория суперструн, Том 1: Введение , Издательство Кембриджского университета, ISBN 0521357527
Кац, Виктор Г.; Тодоров, Иван Т. (1985), "Суперконформные алгебры токов и их унитарные представления" , сообщение. Математика. Физ. , 102 (2): 337–347, Bibcode : 1985CMaPh.102..337K , doi : 10.1007/bf01229384 , S2CID 189831973
Казама, Ёичи; Судзуки, Хисао (1989), «Новые N теории суперконформного поля = 2 и компактификация суперструн», Nuclear Physics B , 321 (1): 232–268, Бибкод : 1989NuPhB.321..232K , doi : 10.1016/0550-3213( 89)90250-2
Мезинческу, Л.; Непомечье, И.; Захос, СК (1989). «(Супер)конформная алгебра на (супер)торе». Ядерная физика Б . 315 (1):43. Бибкод : 1989НуФБ.315...43М . дои : 10.1016/0550-3213(89)90448-3 .

[1] Рамон, П. (15 мая 1971 г.). «Двойная теория свободных фермионов». Физический обзор D . 3 (10). Американское физическое общество (APS): 2415–2418. Бибкод : 1971PhRvD...3.2415R . дои : 10.1103/physrevd.3.2415 . ISSN 0556-2821 .

[2] Невё, А.; Шварц, Дж. Х. (1971). «Безтахионная двойная модель с траекторией положительного перехвата». Буквы по физике Б. 34 (6). Эльзевир Б.В.: 517–518. Бибкод : 1971PhLB...34..517N . дои : 10.1016/0370-2693(71)90669-1 . ISSN 0370-2693 .

[3] Фэрли, Д.Б.; Нуйц, Дж.; Захос, СК (1988). «Презентация алгебр Вирасоро и супер-Вирасоро» . Связь в математической физике . 117 (4): 595. Бибкод : 1988CMaPh.117..595F . дои : 10.1007/BF01218387 . S2CID 119811901 .

[1]

[2]

[3]