Рамонд – Рамондское поле

В теоретической физике поля Рамона-Рамонда представляют собой поля дифференциальной формы в 10-мерном пространстве-времени типа II теорий супергравитации , которые являются классическими пределами теории струн типа II . Ранги полей зависят от того, какая теория типа II рассматривается. Как Джозеф Полчински утверждал в 1995 году, D-браны — это заряженные объекты, которые действуют как источники этих полей в соответствии с правилами электродинамики p-формы . Было высказано предположение, что квантовые поля RR не являются дифференциальными формами, а вместо этого классифицируются с помощью скрученной K-теории .

Прилагательное «Рамонд-Рамонд» отражает тот факт, что в формализме РНС эти поля появляются в секторе Рамон-Рамонда , в котором все векторные фермионы являются периодическими. Оба использования слова «Рамон» относятся к Пьеру Рамону , который изучал такие граничные условия (так называемые граничные условия Рамона ) и поля, удовлетворяющие им, в 1971 году. ^{[ 1 ]}

Определение полей

Поля в каждой теории

Как и в теории электромагнетизма Максвелла и ее обобщении, электродинамике p-формы , поля Рамона-Рамонда (RR) входят в пары, состоящие из p-формы потенциала C _p и ( p + 1)-формы напряженности поля G _{p +1} . Напряженность поля, как обычно, определяется как внешняя производная потенциала G _{p +1} = dC _p .

Как обычно в таких теориях, если допускать топологически нетривиальные конфигурации или заряженную материю ( D-браны ), то связи определяются только на каждом координатном участке пространства-времени, а значения на различных участках склеиваются с помощью функций перехода. В отличие от случая электромагнетизма, при наличии нетривиальной 3-формы напряженности поля Неве – Шварца напряженность поля, определенная выше, больше не является калибровочно-инвариантной, и поэтому ее также необходимо определять по кусочкам, при этом струна Дирака вне данного участка интерпретируется как D-брана. Это дополнительное усложнение ответственно за некоторые из наиболее интересных явлений в теории струн, таких как переход Ханани-Виттена .

Выбор допустимых значений p зависит от теории. В супергравитации типа IIA существуют поля для p = 1 и p = 3. В супергравитации типа IIB , с другой стороны, существуют поля для p = 0, p = 2 и p = 4, хотя поле p = 4 ограничено. для удовлетворения условия самодуальности G ₅ = * G ₅ где * — звезда Ходжа . Условие самодуальности не может быть наложено лагранжианом без введения дополнительных полей или нарушения явной суперпуанкаре-инвариантности теории, поэтому супергравитация типа IIB считается нелагранжевой теорией. Третья теория, называемая массивной или римской супергравитацией IIA , включает в себя напряженность поля G ₀ , называемую римской массой. Будучи нулевой формой, она не имеет соответствующей связи. Более того, уравнения движения предполагают, что масса Римляна постоянна. В квантовой теории Джозеф Полчински показал, что G ₀ — целое число, которое увеличивается на единицу при пересечении D8-браны .

Демократическая формулировка

Часто удобно использовать демократическую формулировку теорий струн типа II, которая была введена Полом Таунсендом в на p книге «Демократия -бранах» . В книге «Действия Весса-Зумино, Т-двойственность и космологическая постоянная» на D-бране Майкл Грин , Крис Халл и Пол Таунсенд построили напряженности полей и нашли калибровочные преобразования, которые оставляют их инвариантными. Наконец, в « Новых формулировках суперсимметрии D = 10 и доменных стенок D8-O8» авторы завершили формулировку, предоставив лагранжиан и объяснив роль фермионов. В эту формулировку включены все четные напряженности поля в IIA и все нечетные напряженности поля в IIB. Дополнительные напряженности поля определяются звездным состоянием G _p =*G _10-p . В качестве проверки непротиворечивости обратите внимание, что условие звезды совместимо с самодуальностью G ₅ , поэтому демократическая формулировка содержит то же количество степеней свободы, что и исходная формулировка. Подобно попыткам одновременно включить в электромагнетизм как электрический, так и магнитный потенциалы, двойные калибровочные потенциалы не могут быть добавлены к демократически сформулированному лагранжиану таким образом, чтобы сохранить явную локальность теории. Это связано с тем, что двойные потенциалы получаются из исходных потенциалов путем интегрирования состояния звезды.

Калибровочные преобразования Рамона – Рамона.

Ланграгианы супергравитации типа II инвариантны относительно ряда локальных симметрий , таких как диффеоморфизмы и преобразования локальной суперсимметрии . Кроме того, различные поля формы преобразуются под действием калибровочных преобразований Невё – Шварца и Рамона – Рамона.

В демократической формулировке калибровочные преобразования Рамона – Рамона калибровочных потенциалов, оставляющие действие инвариантным, имеют вид

C_{p}\rightarrow C_{p}+d\Lambda _{p-1}+H\wedge \Lambda _{p-3}

где H — напряженность поля 3-формы Неве-Шварца и калибровочные параметры $\Lambda _{q}$ являются q-формами. Поскольку калибровочные преобразования смешивают различные $\Lambda _{q}$ Следовательно, необходимо, чтобы каждая форма RR преобразовывалась одновременно, используя один и тот же набор калибровочных параметров. H-зависимые члены, не имеющие аналогов в электромагнетизме, необходимы для сохранения вклада в действие членов Черна–Саймонса , присутствующих в теориях супергравитации II типа.

Обратите внимание, что существует несколько калибровочных параметров, соответствующих одному и тому же калибровочному преобразованию, в частности, мы можем добавить к Lambda любую ( d + H )-замкнутую форму. Таким образом, в квантовой теории мы также должны оценивать калибровочные преобразования, а затем калибровать их, и так далее, пока размерности не станут достаточно малыми. В квантовании Фадеева–Попова это соответствует добавлению башни призраков. Математически в случае, когда H обращается в нуль, результирующая структура представляет собой когомологии Делиня пространства-времени. Было высказано предположение , что для нетривиального H после включения условия квантования Дирака оно соответствует дифференциальной K-теории .

Заметим, что благодаря H-членам в калибровочных преобразованиях напряженности поля также преобразуются нетривиальным образом

G_{p+1}\rightarrow G_{p+1}+H\wedge d\Lambda _{p-3}.

Улучшенная напряженность поля

Часто вводят улучшенную напряженность поля.

F_{p+1}=G_{p+1}+H\wedge C_{p-2}

которые калибровочно-инвариантны.

Хотя они и калибровочно-инвариантны, поля с улучшенной напряженностью не являются ни замкнутыми, ни квантованными, а лишь скрученно-замкнутыми. Это означает, что они удовлетворяют уравнению движения $dF_{p+1}=H\wedge F_{p-1}$ , что является тождеством Бьянки $0=d^{2}C_{p}$ . Они также подвергаются «скрученному квантованию» в том смысле, что можно преобразовать обратно к исходной напряженности поля, интегралы которой по компактным циклам квантованы. Именно исходная напряженность поля создается зарядом D-браны в том смысле, что интеграл от исходной напряженности поля p-формы G _p по любому сжимаемому p-циклу равен заряду D(8-p)-браны. связаны этим циклом. Поскольку заряд D-браны квантуется, _{G p} квантуется , а не улучшенная напряженность поля.

Уравнения поля

Уравнения и тождества Бьянки

Как обычно в калибровочных теориях p-формы , поля формы должны подчиняться классическим уравнениям поля и тождествам Бьянки . Первые выражают условие, согласно которому вариации действия по отношению к различным полям должны быть тривиальны. Сейчас мы ограничимся рассмотрением тех уравнений поля, которые возникают из вариаций полей Рамона–Рамонда (RR), но на практике их необходимо дополнить уравнениями поля, возникающими из вариаций B-поля Неве–Шварца : гравитон, дилатон и их суперпартнеры гравитино и дилатино.

В демократической формулировке тождество Бьянки для напряженности поля G _p+1 является классическим уравнением поля для его двойственного по Ходжу G _9−p , и поэтому будет достаточно наложить тождества Бьянки для каждого поля RR. Это как раз те условия, при которых RR-потенциалы C _p локально определены и поэтому действующая на них внешняя производная нильпотентна.

0=d^{2}C_{p}=dG_{p+1}=dF_{p+1}+H\wedge G_{p-1}.

D-браны являются источниками RR-полей

Во многих приложениях требуется добавить источники для полей RR. Эти источники называются D-бранами . Как и в классическом электромагнетизме, можно добавить источники, включив связь C _p ${\mathcal {J}}_{10-p}$ потенциала p-формы в ток (10-p)-формы ${\mathcal {J}}_{10-p}$ в лагранжевой плотности. В литературе по теории струн обычно принято не писать этот термин явно в действии.

Электрический ток ${\mathcal {J}}_{10-p}$ модифицирует уравнение движения, возникающее в результате изменения C _p . Как и в случае с магнитными монополями в электромагнетизме, этот источник также делает недействительным двойственное тождество Бьянки, поскольку это точка, в которой двойное поле не определено. В модифицированном уравнении движения ${\mathcal {J}}_{p+2}$ появляется в левой части уравнения движения вместо нуля. Для простоты в будущем мы также поменяем местами p и 7 − p , тогда уравнение движения при наличии источника будет иметь вид

{\mathcal {J}}_{9-p}=d^{2}C_{7-p}=dG_{8-p}=dF_{8-p}+H\wedge G_{6-p}.

(9-p)-форма ${\mathcal {J}}_{9-p}$ — ток Dp-браны, что означает, что он дуален по Пуанкаре мировому объему ( p + 1)-мерного расширенного объекта, называемого Dp-браной. Несоответствие единицы в схеме наименования является историческим и связано с тем, что одно из p + 1 направлений, охваченных Dp-браной, часто времениподобно, оставляя p пространственных направлений.

Приведенное выше тождество Бьянки интерпретируется как означающее, что Dp-брана, по аналогии с магнитными монополями в электромагнетизме, магнитно заряжена в RR p -форме C _{7− p} . Если вместо этого рассматривать это тождество Бьянки как уравнение поля для C _{p +1} , то говорят, что Dp-брана электрически заряжена в ( p + 1)-форме C _p+1 .

Из приведенного выше уравнения движения следует, что существует два способа получить заряд Dp-браны из окружающих потоков. Во-первых, можно проинтегрировать dG _8−p по поверхности, что даст заряд Dp-браны, пересекаемой этой поверхностью. Второй метод связан с первым теоремой Стокса . Можно интегрировать G _8−p по циклу, это даст заряд Dp-браны, связанный этим циклом. Тогда квантование заряда Dp-браны в квантовой теории подразумевает квантование напряженности поля G, но не улучшенной напряженности поля F.

искаженной K-теории Интерпретация

Было высказано предположение, что поля RR, как и D-браны, классифицируются с помощью скрученной K-теории . В этой связи приведенные выше уравнения движения имеют естественную интерпретацию. Уравнения движения без источника для улучшенных напряженностей поля F подразумевают, что формальная сумма всех F _p является элементом H-скрученных когомологий де Рама . Это версия когомологий Де Рама, в которой дифференциалом является не внешняя производная d, а вместо этого (d+H), где H — 3-форма Неве-Шварца. Обратите внимание, что (d+H), что необходимо для корректного определения когомологий, обращается в квадрат к нулю.

Улучшенные напряженности поля F существуют в классической теории, где переход от квантовой к классической интерпретируется как тензорное воздействие рациональных чисел. Таким образом, F должны быть какой-то рациональной версией извращенной К-теории. Такая рациональная версия, фактически характерный класс извращенной К-теории, уже известна. Это искривленный класс Черна, определенный в «Искаженной K-теории» и «K-теории расслоения Гербеса» Аланом Питером Боукнегтом , Л. Кэри , Варгезе Матаи , Майклом К. Мюрреем и Дэнни Стивенсоном и расширенный в характере Черна в «скрученной K-теории»: Эквивариантные и голоморфные случаи . Авторы показали, что скрученные характеры Черна всегда являются элементами H-скрученных когомологий де Рама.

В отличие от улучшенной напряженности поля, исходная напряженность поля G представляет собой раскрученные целые классы когомологий. Кроме того, G не являются калибровочно-инвариантными, что означает, что они не определены однозначно, а могут быть определены только как классы эквивалентности. Они соответствуют классам когомологий в конструкции спектральной последовательности Атьи Хирцебруха скрученной K-теории, которые определены только с точностью до членов, замкнутых относительно любой серии дифференциальных операторов .

Исходные термины кажутся препятствиями на пути существования класса K-теории. Другие уравнения движения, например, полученные путем изменения B-поля НС, не имеют интерпретации K-теории. Включение этих поправок в структуру К-теории является открытой проблемой. Чтобы узнать больше об этой проблеме, нажмите здесь .

См. также

Кальб-Рамондское месторождение

Примечания

^ Рамон, П. (15 мая 1971 г.). «Двойная теория свободных фермионов». Физический обзор D . 3 (10). Американское физическое общество (APS): 2415–2418. Бибкод : 1971PhRvD...3.2415R . дои : 10.1103/physrevd.3.2415 . ISSN 0556-2821 .

Ссылки

Хорошим введением в различные напряженности поля в теориях с терминами Черна-Саймонса являются термины Черна-Саймонса и «Три понятия заряда» Дональда Марольфа .
Демократическую формулировку 10-мерной супергравитации можно найти в « Новых формулировках суперсимметрии D=10 и доменных границ D8-O8» Ренаты Эрика Бергшоффа , Каллош , Томаса Ортина , Дидерика Руста и Антуана Ван Пройена . Он включает в себя множество деталей, отсутствующих в оригинальной статье Таунсенда, но ограничивает внимание топологически тривиальной 3-формой Неве-Шварца.

[1] Рамон, П. (15 мая 1971 г.). «Двойная теория свободных фермионов». Физический обзор D . 3 (10). Американское физическое общество (APS): 2415–2418. Бибкод : 1971PhRvD...3.2415R . дои : 10.1103/physrevd.3.2415 . ISSN 0556-2821 .

[ 1 ]

v т и Теория струн
Background	Strings Cosmic strings History of string theory First superstring revolution Second superstring revolution String theory landscape
Theory	Nambu–Goto action Polyakov action Bosonic string theory Superstring theory Type I string Type II string Type IIA string Type IIB string Heterotic string N=2 superstring F-theory String field theory Matrix string theory Non-critical string theory Non-linear sigma model Tachyon condensation RNS formalism GS formalism
String duality	T-duality S-duality U-duality Montonen–Olive duality
Particles and fields	Graviton Dilaton Tachyon Ramond–Ramond field Kalb–Ramond field Magnetic monopole Dual graviton Dual photon
Branes	D-brane NS5-brane M2-brane M5-brane S-brane Black brane Black holes Black string Brane cosmology Quiver diagram Hanany–Witten transition
Conformal field theory	Virasoro algebra Mirror symmetry Conformal anomaly Conformal algebra Superconformal algebra Vertex operator algebra Loop algebra Kac–Moody algebra Wess–Zumino–Witten model
Gauge theory	Anomalies Instantons Chern–Simons form Bogomol'nyi–Prasad–Sommerfield bound Exceptional Lie groups (G₂, F₄, E₆, E₇, E₈) ADE classification Dirac string p-form electrodynamics
Geometry	Worldsheet Kaluza–Klein theory Compactification Why 10 dimensions? Kähler manifold Ricci-flat manifold Calabi–Yau manifold Hyperkähler manifold K3 surface G₂ manifold Spin(7)-manifold Generalized complex manifold Orbifold Conifold Orientifold Moduli space Hořava–Witten theory K-theory (physics) Twisted K-theory
Supersymmetry	Supergravity Eleven-dimensional supergravity Type I supergravity Type IIA supergravity Type IIB supergravity Superspace Lie superalgebra Lie supergroup
Holography	Holographic principle AdS/CFT correspondence
M-theory	Matrix theory Introduction to M-theory
String theorists	Aganagić Arkani-Hamed Atiyah Banks Berenstein Bousso Curtright Dijkgraaf Distler Douglas Duff Dvali Ferrara Fischler Friedan Gates Gliozzi Gopakumar Green Greene Gross Gubser Gukov Guth Hanson Harvey 't Hooft Hořava Gibbons Kachru Kaku Kallosh Kaluza Kapustin Klebanov Knizhnik Kontsevich Klein Linde Maldacena Mandelstam Marolf Martinec Minwalla Moore Motl Mukhi Myers Nanopoulos Năstase Nekrasov Neveu Nielsen van Nieuwenhuizen Novikov Olive Ooguri Ovrut Polchinski Polyakov Rajaraman Ramond Randall Randjbar-Daemi Roček Rohm Sagnotti Scherk Schwarz Seiberg Sen Shenker Siegel Silverstein Sơn Staudacher Steinhardt Strominger Sundrum Susskind Townsend Trivedi Turok Vafa Veneziano Verlinde Verlinde Wess Witten Yau Yoneya Zamolodchikov Zamolodchikov Zaslow Zumino Zwiebach