Двойственность Спэньера – Уайтхеда

В математике , двойственность Спэнье-Уайтхеда — это теория двойственности в теории гомотопий основанная на геометрической идее о том, что топологическое пространство X можно рассматривать как двойственное к своему дополнению в n - сфере , где n достаточно велико. Его истоки лежат в теории двойственности Александера , в теории гомологии , касающейся дополнений в многообразиях . Теорию также называют S-дуальностью , но теперь это может вызвать возможную путаницу с S-дуальностью теории струн . Он назван в честь Эдвина Спэньера и Дж.Х.К. Уайтхеда , которые разработали его в статьях 1955 года.

Основной момент заключается в том, что дополнения сфер определяют гомологию, но не гомотопический тип вообще. Однако определяется стабильный гомотопический тип , который был задуман как первое приближение к гомотопическому типу. Таким образом, двойственность Спаньера-Уайтхеда вписывается в стабильную теорию гомотопий .

Заявление

Пусть X — компактный ретракт окрестностей в $\mathbb {R} ^{n}$ . Затем $X^{+}$ и $\Sigma ^{-n}\Sigma '(\mathbb {R} ^{n}\setminus X)$ являются двойственными объектами в категории заостренных спектров с продуктом смэша в виде моноидальной структуры. Здесь $X^{+}$ это союз $X$ и точка, $\Sigma$ и $\Sigma '$ соответственно сокращенные и нередуцированные суспензии .

Взятие гомологии и когомологии относительно спектра Эйленберга – Маклейна формально восстанавливает двойственность Александера .

Ссылки

Спэньер, Эдвин Х .; Уайтхед, JHC (1953), «Первое приближение к гомотопической теории», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 39 (7): 655–660, Bibcode : 1953PNAS...39..655S , doi : 10.1073/pnas.39.7.655 , MR 0056290 , PMC 1063840 , PMID 16589320

Спэньер, Эдвин Х .; Уайтхед, JHC (1955), «Двойственность в гомотопической теории», Mathematika , 2 : 56–80, doi : 10.1112/s002557930000070x , MR 0074823

Том Дик, Таммо (2008), Алгебраическая топология , Издательство Европейского математического общества, ISBN 978-3-03719-048-7