Конформная симметрия

В математической физике пространства конформная симметрия - времени выражается расширением группы Пуанкаре , известной как конформная группа . Расширение включает специальные конформные преобразования и расширения . В трёх пространственных измерениях плюс одном временном измерении конформная симметрия имеет 15 степеней свободы : десять для группы Пуанкаре, четыре для специальных конформных преобразований и одну для расширения.

Гарри Бейтман и Эбенезер Каннингем были первыми, кто изучил конформную симметрию уравнений Максвелла . Они назвали общее выражение конформной симметрии преобразованием сферической волны . Общая теория относительности в двух измерениях пространства-времени также обладает конформной симметрией. ^[1]

Генераторы

Алгебра Ли конформной группы имеет следующее представление : ^[2]

{\begin{aligned}&M_{\mu \nu }\equiv i(x_{\mu }\partial _{\nu }-x_{\nu }\partial _{\mu })\,,\\&P_{\mu }\equiv -i\partial _{\mu }\,,\\&D\equiv -ix_{\mu }\partial ^{\mu }\,,\\&K_{\mu }\equiv i(x^{2}\partial _{\mu }-2x_{\mu }x_{\nu }\partial ^{\nu })\,,\end{aligned}}

где $M_{\mu \nu }$ являются Лоренца генераторами , $P_{\mu }$ генерирует переводы , $D$ генерирует масштабирующие преобразования (также известные как расширения или расширения) и $K_{\mu }$ порождает специальные конформные преобразования .

Коммутационные отношения

Коммутационные соотношения следующие: ^[2]

{\begin{aligned}&[D,K_{\mu }]=-iK_{\mu }\,,\\&[D,P_{\mu }]=iP_{\mu }\,,\\&[K_{\mu },P_{\nu }]=2i(\eta _{\mu \nu }D-M_{\mu \nu })\,,\\&[K_{\mu },M_{\nu \rho }]=i(\eta _{\mu \nu }K_{\rho }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu })\,,\\&[P_{\rho },M_{\mu \nu }]=i(\eta _{\rho \mu }P_{\nu }-\eta _{\rho \nu }P_{\mu })\,,\\&[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i(\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })\,,\end{aligned}}

другие коммутаторы исчезают. Здесь $\eta _{\mu \nu }$ – метрический тензор Минковского .

Кроме того, $D$ является скаляром и $K_{\mu }$ является ковариантным вектором относительно преобразований Лоренца .

Специальные конформные преобразования задаются формулами ^[3]

x^{\mu }\to {\frac {x^{\mu }-a^{\mu }x^{2}}{1-2a\cdot x+a^{2}x^{2}}}

где $a^{\mu }$ — параметр, описывающий преобразование. Это специальное конформное преобразование также можно записать как $x^{\mu }\to x'^{\mu }$ , где

{\frac {{x}'^{\mu }}{{x'}^{2}}}={\frac {x^{\mu }}{x^{2}}}-a^{\mu },

из которого видно, что оно состоит из инверсии, за которой следует перевод, за которым следует вторая инверсия.

В двумерном пространстве-времени преобразования конформной группы являются конформными преобразованиями . . бесконечно много Их

В более чем двух измерениях евклидовы конформные преобразования отображают круги в круги, а гиперсферы в гиперсферы, причем прямая линия считается вырожденным кругом, а гиперплоскость - вырожденным гиперкругом.

В более чем двух лоренцевых измерениях конформные преобразования отображают нулевые лучи в нулевые лучи, а световые конусы — в световые конусы, при этом нулевая гиперплоскость является вырожденным световым конусом.

Приложения

Конформная теория поля

В релятивистских квантовых теориях поля возможность симметрии строго ограничена теоремой Коулмана-Мандулы при физически разумных предположениях. Самая большая возможная глобальная группа симметрии взаимодействующей несуперсимметричной теории поля является прямым продуктом конформной группы с внутренней группой . ^[4] Такие теории известны как конформные теории поля .

Фазовые переходы второго рода

Одним из конкретных приложений является изучение критических явлений в системах с локальными взаимодействиями. Колебания ^{[ нужны разъяснения ]} в таких системах конформно инвариантны в критической точке. Это позволяет классифицировать классы универсальности фазовых переходов в терминах конформных теорий поля.

Конформная инвариантность также присутствует в двумерной турбулентности при высоких числах Рейнольдса . ^{[ нужна ссылка ]}

Физика высоких энергий

Многие теории, изучаемые в физике высоких энергий, допускают конформную симметрию, поскольку она обычно подразумевается локальной масштабной инвариантностью . Известным примером является суперсимметричная теория Янга – Миллса d = 4, N = 4 из-за ее актуальности для соответствия AdS/CFT . Кроме того, мировой лист в теории струн описывается двумерной конформной теорией поля, связанной с двумерной гравитацией.

Математические доказательства конформной инвариантности в решетчатых моделях

Физики обнаружили, что многие решеточные модели становятся конформно-инвариантными в критическом пределе. Однако математические доказательства этих результатов появились гораздо позже и то лишь в некоторых случаях.

В 2010 году математик Станислав Смирнов был награжден Филдса «за доказательство конформной инвариантности перколяции медалью и планарной модели Изинга в статистической физике». ^[5]

В 2020 году математик Уго Думинил-Копен и его сотрудники доказали, что вращательная инвариантность существует на границе фаз во многих физических системах. ^[6]^[7]

См. также

Ссылки

^ «Гравитация. Что делает общую теорию относительности конформным вариантом?» . Обмен стеками по физике . Проверено 1 мая 2020 г.
^ Jump up to: ^а ^б Ди Франческо, Матье и Сенешаль 1997 , с. 98.
^ Ди Франческо, Матье и Сенешаль 1997 , стр. 97.
^ Хуан Мальдасена; Александр Жибоедов (2013). «Ограничивающие конформные теории поля с более высокой спиновой симметрией» . Физический журнал A: Математический и теоретический . 46 (21): 214011. arXiv : 1112.1016 . Бибкод : 2013JPhA...46u4011M . дои : 10.1088/1751-8113/46/21/214011 . S2CID 56398780 .
^ Ремейер, Джули (19 августа 2010 г.). «Профиль Станислава Смирнова» (PDF) . Международный конгресс математиков . Архивировано из оригинала (PDF) 7 марта 2012 года . Проверено 19 августа 2010 г.
^ «Математики доказывают симметрию фазовых переходов» . Проводной . ISSN 1059-1028 . Проверено 14 июля 2021 г.
^ Думинил-Копен, Гюго; Козловский, Кароль Каетан; Крачун Дмитрий; Манолеску, Иоан; Уламара, Мендес (21 декабря 2020 г.). «Вращательная инвариантность в критических моделях плоской решетки». arXiv : 2012.11672 [ мат.PR ].

Источники

Ди Франческо, Филипп; Матье, Пьер; Сенешаль, Дэвид (1997). Конформная теория поля . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-94785-3 .

[1] «Гравитация. Что делает общую теорию относительности конформным вариантом?» . Обмен стеками по физике . Проверено 1 мая 2020 г.

[FOOTNOTEDi_FrancescoMathieuSénéchal199798-2] Jump up to: ^а ^б Ди Франческо, Матье и Сенешаль 1997 , с. 98.

[FOOTNOTEDi_FrancescoMathieuSénéchal199797-3] Ди Франческо, Матье и Сенешаль 1997 , стр. 97.

[4] Хуан Мальдасена; Александр Жибоедов (2013). «Ограничивающие конформные теории поля с более высокой спиновой симметрией» . Физический журнал A: Математический и теоретический . 46 (21): 214011. arXiv : 1112.1016 . Бибкод : 2013JPhA...46u4011M . дои : 10.1088/1751-8113/46/21/214011 . S2CID 56398780 .

[fields_profile-5] Ремейер, Джули (19 августа 2010 г.). «Профиль Станислава Смирнова» (PDF) . Международный конгресс математиков . Архивировано из оригинала (PDF) 7 марта 2012 года . Проверено 19 августа 2010 г.

[6] «Математики доказывают симметрию фазовых переходов» . Проводной . ISSN 1059-1028 . Проверено 14 июля 2021 г.

[7] Думинил-Копен, Гюго; Козловский, Кароль Каетан; Крачун Дмитрий; Манолеску, Иоан; Уламара, Мендес (21 декабря 2020 г.). «Вращательная инвариантность в критических моделях плоской решетки». arXiv : 2012.11672 [ мат.PR ].

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]